第4章 扩散方程的数值解法及其应用

，
x 为网格间距
( x)e 设 Lx ( x) 为节点间距比 w
要获得由物理意义的解，各影响系数 均需大于等于零。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意
义的解；推荐使用全隐格式。
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4.2 多维非稳态导热的全隐格式
1、三种二维正交坐标系中的全隐离散方程
（1）直角坐标系
（a）二维非稳态导热方程：
（b）控制容积积分： 空间型线与一维问题相同；
时间型线为全隐格式；
界面上热流密度均匀。
4.3.1 非常数源项的线性化处理 4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
4.3.3 附加源项法
4.3.4 两种处理方法的比较
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4.3.1 非常数源项的线性化处理
1、线性化方法
源项是一个广义量，其代表不能包括在控制方程的非 稳态项、对流项与扩散项中的所有其它各项之和。 线性化表达式：对任意控制容积P其源项表示为：
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E 0 TP0 a P (1 f )aE (1 f )aW (1 f ) S P AP x
SC AP x
0.5 f 1
0 f 0.5
，初值问题格式绝对稳定；
，格式条件稳定：
at 1 2 x 2(1 2 f )
5、一维非稳态导热空间项时间取值的三种常见格式
（1）显式，
f 0
； ；
（2）全隐式，
f 1
（3）C-N格式， f
0.5 ；
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2 T 2TP TW TP TP0 a E t x 2
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
3、一般化时间型线下的积分结果

t t
t
t t t 0 Tdt fT (1 f ) T t fT (1 f ) T t
上角标（������+∆������）已删去，而上角标t则以0代替。f是在0与1之间 的加权因子。 代入型线，积分可得：
其中： aE
e Ae A , aW w w , ( x)e ( x) w
( c) P AP x a t
0 P
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0 aP faE faW aP fS P AP x
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4、稳定性分析结果
由von Neumann分析法得：
S f ( ) 在控制容积中P点的斜率。
以变量T为例：
SC , S P 对控制容积P均为常数，S P 是变量 的源项曲线
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4.3.1 非常数源项的线性化处理
2、线性化方法讨论与说明
（1）对与被求解变量有关的非常数源项，线性化比假 定为常数更合理：用 S f (T ) 来表示P的源项比
������
，在∆������时间间隔内对控制
( c) P AP x(T
t t t
t t P
T )
t P
t t
t
e Ae (TE TP ) w Aw (TP TW ) dt ( x)e ( x) w
需要选择对时间的型线
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AP ( SC S PTP )xt
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散 4.1.3 界面导热系数的确定方法
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
3
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程
A( x) 是与导热面积相
串联热阻叠加原则的反映
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4.1.3 界面导热系数的确定方法
3、两种方法的比较
设 ，热阻主要在E侧，网格均分时，但据算术平均：
( x)e
P
2
表明热阻由导热系数大的物体所决定，不符合传热学基本原理。 据调和平均：
( x)e
e

( x)e
E

( x) e
P

( x) e
网格均分
qP P
要求
E P (x) e
qE qP
qE E
P E (x) e
若： P E 则违反相容性原则。
8
补充
四项基本原则
（2）系数同号原则 控制容积中心节点和其相邻节点的系数都必须是大于 等于零的，即它们必须是同号的。 这一法则是基于这样一个自然现象而提出的，在其他条 件不变的情况下，一个网格节点处变量的增加将导致相 邻节点上该值的增加。 对于扩散系统，例如导热，某一点处温度的升高必然导 致其相邻区域的温度也升高，比如：

aP aW aE
aP anb
或更一般地写成，
更一般的，如果考虑源项和非稳态项的作用，必然有：
aP anb
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补充
四项基本原则
（4）负斜率源项原则
要求：源项的斜率必须小于等于0 依据：当源项是待求变量的函数时，即 S＝S（） 为了加速收敛过程，一般要对源项进行线性化除理， 即把源项写成下面的形式， S＝Sc+Sp 其中Sp是源项的斜率，该原则要求：
从而违反系数同号原则和相邻系数之和原则
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4.1.3 界面导热系数的确定方法
1、算术平均法
假设P,E之间，λ与x成线性关系， 则有：
E e e P ( x)e ( x) e
2、调和平均法
设P，E处导热系数不同，据界面连续原则：
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4.1.3 界面导热系数的确定方法
系数
aE ，aW
的物理意义：
充
四项基本原则
（1）控制界面上流的相容性原则 当一个面作为两个相邻控制容积的公共界面时，这两个控制 容积的离散化方程中必须用相同的表达式来表示通过该面的 通量，如热流密度，质量流量以及动量流量等等。
要求同一时间通过同一控制面的流应该相等
由此可得：
TM 1 TM 11
( x)(x) S


q B x

x
x
2
38
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
（b）对于第三类边界条件
分别代入具有一阶截差与二阶截差的表达式中，有：
h x TM 11 Tf TM 1 h x 1
33
4.3.1 非常数源项的线性化处理
34
4.3.1 非常数源项的线性化处理
3、线性化方法应用实例
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4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
对第二，第三类边界条件问题，边界温度未知，但它们 进入到内点的离散方程中，因此需做处理才能使离散方程
（代数方程）组封闭。两类方法：补充边界节点代数方程的
方法与附加源项法。
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4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
通过分析一个实例进行说明。
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4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
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4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
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4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
这只有当
f 1（全隐格式）才能满足。
从物理上分析——非稳态导热离散方程可写为：
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4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
非稳态项的积分：
扩散项（x项）的积分：
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4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系 扩散项（y项）的积分：
源项的积分：
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4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
整理上述各项结果成标准形式：
系数的物理意义：节点间的热导
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4.2 多维非稳态导热的全隐格式
E
( x)e
e

( x)e
E
( x) e 2E
调和平均法结果合理，比算术平均要好，其已广泛为国内外
学术界所接受。
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4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
1、一维非稳态导热通用控制方程
2、控制容积积分
设������������取t时刻之值，记为 ������������ 容积P做积分： 空间阶梯型型线
关的因子。
4
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
方程两边同时乘以 A( x) ：
假定源项可线性化： 采用分段线性型线； 对P控制容积做积分：
5
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
将 TP 置于等号前， TE ，TW 置于等号后：
采用下列符号式表示方法：
6
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
Sp 0
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补充
负斜率源项原则的由来 重复前面的离散化过程，对于一维稳态问题，可以证 明，源项线性化的差分方程变为：
aPP aW W aEE bP
其中aE 和aW 的定义没变，但是，
a P aW a E S p x bP Sc x
注意到：aE>0，aW>0。但是，当Sp>0时，有可能导致aP<0，
a
nb
S P V 。所以
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S P 0 可以确保代数方程迭代求解收敛。
4.3.1 非常数源项的线性化处理
（4）如果实际问题的 S P 0 可以人为地构造一个负的 S P 以有利于迭代过程收敛。 （5） S P 绝对值的大小对迭代收敛速度的影响
迭代算式：
分母增加，相邻两次迭代值之间的差别减小， 在一定迭代次数下，有利于强烈非线性问题迭代求解 的收敛，但迭代收敛速度减慢。