第4章 扩散方程的数值解法及其应用
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*
S SC S PTP 落后一个迭代步。
（2）任何复杂的函数总可以用线性函数来近似逼近； 线性又是建立线性代数方程所必须的。 （3）S P 0 是为保证代数方程迭代求解收敛所必须的；
代数方程 aPP
件是 aP
a
a
nb nb
b 迭代求解收敛的充分条
nb
，因为 aP
33
4.3.1 非常数源项的线性化处理
34
4.3.1 非常数源项的线性化处理
3、线性化方法应用实例
35
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
对第二，第三类边界条件问题，边界温度未知，但它们 进入到内点的离散方程中，因此需做处理才能使离散方程
（代数方程）组封闭。两类方法：补充边界节点代数方程的
方法与附加源项法。
23
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
非稳态项的积分：
扩散项（x项）的积分：
24
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系 扩散项（y项）的积分：
源项的积分：
25
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
整理上述各项结果成标准形式：
系数的物理意义：节点间的热导
26
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
aPP aEE aW W
P E
9
补充
四项基本原则
（3）相邻系数之和原则 依据：对于线性微分方程，如果不考虑它的定解问题，那 么如果为齐次方程的一个解，则（ +C)也必为方程的解。 离散化方程也必须反映这一事实。于是， aPP aW W aEE
aP (P C ) aW (W C ) aE (E C )
一阶截差
TM 1
TM 11
( x)(x) S
1
h x
h x Tf
二阶截差
39
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
2、内节点法
边界节点可以看成是第一种区域离散方法（外节点法） 中边界节点所代表的控制容积厚度 故第二类边界条件有：
x 0 时的极限。
，
x 为网格间距
( x)e 设 Lx ( x) 为节点间距比 w
要获得由物理意义的解，各影响系数 均需大于等于零。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意
义的解；推荐使用全隐格式。
22
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
1、三种二维正交坐标系中的全隐离散方程
（1）直角坐标系
（a）二维非稳态导热方程：
（b）控制容积积分： 空间型线与一维问题相同；
时间型线为全隐格式；
界面上热流密度均匀。
数值传热学（Numerical Heat Transfer)
第4章 扩散方程的数值 解法及其应用
1
扩散方程的数值解法及其应用
主要内容 4.1 一维导热问题
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
4.3 源项与边界条件的处理 4.4 求解代数方程的TDMA方法
4.5 管道内充分发展的对流传热概说
2
4.1 一维导热问题
TM 1 TM 11
第三类边界条件有：
q B x
为边界节点 与第一个内节点 之间的距离
x
h x TM 11 Tf TM 1 h x 1
形式上与外节点法一阶截差公式一样，但它却是内节点 法中具有二阶截差的公式。
40
方法补充
对图：
x 为节点间距
从而违反系数同号原则和相邻系数之和原则
12
4.1.3 界面导热系数的确定方法
1、算术平均法
假设P,E之间，λ与x成线性关系， 则有：
E e e P ( x)e ( x) e
2、调和平均法
设P，E处导热系数不同，据界面连续原则：
13
4.1.3 界面导热系数的确定方法
qP P
要求
E P (x) e
qE qP
qE E
P E (x) e
若： P E 则违反相容性原则。
8
补充
四项基本原则
（2）系数同号原则 控制容积中心节点和其相邻节点的系数都必须是大于 等于零的，即它们必须是同号的。 这一法则是基于这样一个自然现象而提出的，在其他条 件不变的情况下，一个网格节点处变量的增加将导致相 邻节点上该值的增加。 对于扩散系统，例如导热，某一点处温度的升高必然导 致其相邻区域的温度也升高，比如：
a
nb
S P V 。所以
32
S P 0 可以确保代数方程迭代求解收敛。
4.3.1 非常数源项的线性化处理
（4）如果实际问题的 S P 0 可以人为地构造一个负的 S P 以有利于迭代过程收敛。 （5） S P 绝对值的大小对迭代收敛速度的影响
迭代算式：
分母增加，相邻两次迭代值之间的差别减小， 在一定迭代次数下，有利于强烈非线性问题迭代求解 的收敛，但迭代收敛速度减慢。
系数
aE ，aW
的物理意义：
代表了E点对P点的影响，又称影响系数。
7
补充
四项基本原则
（1）控制界面上流的相容性原则 当一个面作为两个相邻控制容积的公共界面时，这两个控制 容积的离散化方程中必须用相同的表达式来表示通过该面的 通量，如热流密度，质量流量以及动量流量等等。
要求同一时间通过同一控制面的流应该相等
4.3.1 非常数源项的线性化处理 4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
4.3.3 附加源项法
4.3.4 两种处理方法的比较
30
4.3.1 非常数源项的线性化处理
1、线性化方法
源项是一个广义量，其代表不能包括在控制方程的非 稳态项、对流项与扩散项中的所有其它各项之和。 线性化表达式：对任意控制容积P其源项表示为：
aP aW aE
aP anb
或更一般地写成，
更一般的，如果考虑源项和非稳态项的作用，必然有：
aP anb
10
补充
四项基本原则
（4）负斜率源项原则
要求：源项的斜率必须小于等于0 依据：当源项是待求变量的函数时，即 S＝S（） 为了加速收敛过程，一般要对源项进行线性化除理， 即把源项写成下面的形式， S＝Sc+Sp 其中Sp是源项的斜率，该原则要求：
Sp 0
11
补充
负斜率源项原则的由来 重复前面的离散化过程，对于一维稳态问题，可以证 明，源项线性化的差分方程变为：
aPP aW W aEE bP
其中aE 和aW 的定义没变，但是，
a P aW a E S p x bP Sc x
注意到：aE>0，aW>0。但是，当Sp>0时，有可能导致aP<0，
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散 4.1.3 界面导热系数的确定方法
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
3
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程
A( x) 是与导热面积相
其中： aE
e Ae A , aW w w , ( x)e ( x) w
( c) P AP x a t
0 P
17
0 aP faE faW aP fS P AP x
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4、稳定性分析结果
由von Neumann分析法得：
18
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
通过分析一个实例进行说明。
19
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
Hale Waihona Puke Baidu
20
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
21
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
这只有当
f 1（全隐格式）才能满足。
从物理上分析——非稳态导热离散方程可写为：
关的因子。
4
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
方程两边同时乘以 A( x) ：
假定源项可线性化： 采用分段线性型线； 对P控制容积做积分：
5
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
将 TP 置于等号前， TE ，TW 置于等号后：
采用下列符号式表示方法：
6
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
3、一般化时间型线下的积分结果
t t
t
t t t 0 Tdt fT (1 f ) T t fT (1 f ) T t
上角标（������+∆������）已删去，而上角标t则以0代替。f是在0与1之间 的加权因子。 代入型线，积分可得：
（2）圆柱轴对称坐标系与极坐标系
圆柱轴对称
极坐标
27
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
2、三种二维正交坐标系中离散方程的统一表达式
28
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
s
R为名义半径，直角坐标系取1，圆柱与极坐标取r；
SX为标尺系数，直角、圆柱坐标取1，极坐标取r。
29
4.3 源项与边界条件的处理
0.5 f 1
0 f 0.5
，初值问题格式绝对稳定；
，格式条件稳定：
at 1 2 x 2(1 2 f )
5、一维非稳态导热空间项时间取值的三种常见格式
（1）显式，
f 0
； ；
（2）全隐式，
f 1
（3）C-N格式， f
0.5 ；
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2 T 2TP TW TP TP0 a E t x 2
E
( x)e
e
( x)e
E
( x) e 2E
调和平均法结果合理，比算术平均要好，其已广泛为国内外
学术界所接受。
15
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
1、一维非稳态导热通用控制方程
2、控制容积积分
设������������取t时刻之值，记为 ������������ 容积P做积分： 空间阶梯型型线
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E 0 TP0 a P (1 f )aE (1 f )aW (1 f ) S P AP x
SC AP x
由此可得：
TM 1 TM 11
( x)(x) S
q B x
x
x
2
38
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
（b）对于第三类边界条件
分别代入具有一阶截差与二阶截差的表达式中，有：
h x TM 11 Tf TM 1 h x 1
对于一维稳态含内热源的控制方程，二阶离散有：
TM 11 2TM 1 TM 11 S 0 2 ( x)
所以
TM 1 TM 11
( x)(x) S
q B x
x
x
2
37
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
采用控制容积平衡法有： 以进入区域的热量为正
������
，在∆������时间间隔内对控制
( c) P AP x(T
t t t
t t P
T )
t P
t t
t
e Ae (TE TP ) w Aw (TP TW ) dt ( x)e ( x) w
需要选择对时间的型线
16
AP ( SC S PTP )xt
S f ( ) 在控制容积中P点的斜率。
以变量T为例：
SC , S P 对控制容积P均为常数，S P 是变量 的源项曲线
31
4.3.1 非常数源项的线性化处理
2、线性化方法讨论与说明
（1）对与被求解变量有关的非常数源项，线性化比假 定为常数更合理：用 S f (T ) 来表示P的源项比
dT （a）对于第二类边界条件 dx
采用泰勒展开，一阶截差有：
1、外节点法
qB
x
x qB TM 1 TM 11
36
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
二阶截差，采用虚拟点法，在右边界 外虚设点 M 1 1 则：
TM 11 TM 11 qB 2 x
串联热阻叠加原则的反映
14
4.1.3 界面导热系数的确定方法
3、两种方法的比较
设 ，热阻主要在E侧，网格均分时，但据算术平均：
( x)e
P
2
表明热阻由导热系数大的物体所决定，不符合传热学基本原理。 据调和平均：
( x)e
e
( x)e
E
( x) e
P
( x) e
网格均分
S SC S PTP 落后一个迭代步。
（2）任何复杂的函数总可以用线性函数来近似逼近； 线性又是建立线性代数方程所必须的。 （3）S P 0 是为保证代数方程迭代求解收敛所必须的；
代数方程 aPP
件是 aP
a
a
nb nb
b 迭代求解收敛的充分条
nb
，因为 aP
33
4.3.1 非常数源项的线性化处理
34
4.3.1 非常数源项的线性化处理
3、线性化方法应用实例
35
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
对第二，第三类边界条件问题，边界温度未知，但它们 进入到内点的离散方程中，因此需做处理才能使离散方程
（代数方程）组封闭。两类方法：补充边界节点代数方程的
方法与附加源项法。
23
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
非稳态项的积分：
扩散项（x项）的积分：
24
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系 扩散项（y项）的积分：
源项的积分：
25
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
（1）直角坐标系
整理上述各项结果成标准形式：
系数的物理意义：节点间的热导
26
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
aPP aEE aW W
P E
9
补充
四项基本原则
（3）相邻系数之和原则 依据：对于线性微分方程，如果不考虑它的定解问题，那 么如果为齐次方程的一个解，则（ +C)也必为方程的解。 离散化方程也必须反映这一事实。于是， aPP aW W aEE
aP (P C ) aW (W C ) aE (E C )
一阶截差
TM 1
TM 11
( x)(x) S
1
h x
h x Tf
二阶截差
39
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
2、内节点法
边界节点可以看成是第一种区域离散方法（外节点法） 中边界节点所代表的控制容积厚度 故第二类边界条件有：
x 0 时的极限。
，
x 为网格间距
( x)e 设 Lx ( x) 为节点间距比 w
要获得由物理意义的解，各影响系数 均需大于等于零。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意
义的解；推荐使用全隐格式。
22
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
1、三种二维正交坐标系中的全隐离散方程
（1）直角坐标系
（a）二维非稳态导热方程：
（b）控制容积积分： 空间型线与一维问题相同；
时间型线为全隐格式；
界面上热流密度均匀。
数值传热学（Numerical Heat Transfer)
第4章 扩散方程的数值 解法及其应用
1
扩散方程的数值解法及其应用
主要内容 4.1 一维导热问题
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
4.3 源项与边界条件的处理 4.4 求解代数方程的TDMA方法
4.5 管道内充分发展的对流传热概说
2
4.1 一维导热问题
TM 1 TM 11
第三类边界条件有：
q B x
为边界节点 与第一个内节点 之间的距离
x
h x TM 11 Tf TM 1 h x 1
形式上与外节点法一阶截差公式一样，但它却是内节点 法中具有二阶截差的公式。
40
方法补充
对图：
x 为节点间距
从而违反系数同号原则和相邻系数之和原则
12
4.1.3 界面导热系数的确定方法
1、算术平均法
假设P,E之间，λ与x成线性关系， 则有：
E e e P ( x)e ( x) e
2、调和平均法
设P，E处导热系数不同，据界面连续原则：
13
4.1.3 界面导热系数的确定方法
qP P
要求
E P (x) e
qE qP
qE E
P E (x) e
若： P E 则违反相容性原则。
8
补充
四项基本原则
（2）系数同号原则 控制容积中心节点和其相邻节点的系数都必须是大于 等于零的，即它们必须是同号的。 这一法则是基于这样一个自然现象而提出的，在其他条 件不变的情况下，一个网格节点处变量的增加将导致相 邻节点上该值的增加。 对于扩散系统，例如导热，某一点处温度的升高必然导 致其相邻区域的温度也升高，比如：
a
nb
S P V 。所以
32
S P 0 可以确保代数方程迭代求解收敛。
4.3.1 非常数源项的线性化处理
（4）如果实际问题的 S P 0 可以人为地构造一个负的 S P 以有利于迭代过程收敛。 （5） S P 绝对值的大小对迭代收敛速度的影响
迭代算式：
分母增加，相邻两次迭代值之间的差别减小， 在一定迭代次数下，有利于强烈非线性问题迭代求解 的收敛，但迭代收敛速度减慢。
系数
aE ，aW
的物理意义：
代表了E点对P点的影响，又称影响系数。
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补充
四项基本原则
（1）控制界面上流的相容性原则 当一个面作为两个相邻控制容积的公共界面时，这两个控制 容积的离散化方程中必须用相同的表达式来表示通过该面的 通量，如热流密度，质量流量以及动量流量等等。
要求同一时间通过同一控制面的流应该相等
4.3.1 非常数源项的线性化处理 4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
4.3.3 附加源项法
4.3.4 两种处理方法的比较
30
4.3.1 非常数源项的线性化处理
1、线性化方法
源项是一个广义量，其代表不能包括在控制方程的非 稳态项、对流项与扩散项中的所有其它各项之和。 线性化表达式：对任意控制容积P其源项表示为：
aP aW aE
aP anb
或更一般地写成，
更一般的，如果考虑源项和非稳态项的作用，必然有：
aP anb
10
补充
四项基本原则
（4）负斜率源项原则
要求：源项的斜率必须小于等于0 依据：当源项是待求变量的函数时，即 S＝S（） 为了加速收敛过程，一般要对源项进行线性化除理， 即把源项写成下面的形式， S＝Sc+Sp 其中Sp是源项的斜率，该原则要求：
Sp 0
11
补充
负斜率源项原则的由来 重复前面的离散化过程，对于一维稳态问题，可以证 明，源项线性化的差分方程变为：
aPP aW W aEE bP
其中aE 和aW 的定义没变，但是，
a P aW a E S p x bP Sc x
注意到：aE>0，aW>0。但是，当Sp>0时，有可能导致aP<0，
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散 4.1.3 界面导热系数的确定方法
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
3
4.1.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程
A( x) 是与导热面积相
其中： aE
e Ae A , aW w w , ( x)e ( x) w
( c) P AP x a t
0 P
17
0 aP faE faW aP fS P AP x
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
4、稳定性分析结果
由von Neumann分析法得：
18
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
通过分析一个实例进行说明。
19
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
Hale Waihona Puke Baidu
20
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
21
4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解
这只有当
f 1（全隐格式）才能满足。
从物理上分析——非稳态导热离散方程可写为：
关的因子。
4
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
方程两边同时乘以 A( x) ：
假定源项可线性化： 采用分段线性型线； 对P控制容积做积分：
5
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
将 TP 置于等号前， TE ，TW 置于等号后：
采用下列符号式表示方法：
6
4.1.2 通用控制方程控制容积积分法的离散
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
3、一般化时间型线下的积分结果
t t
t
t t t 0 Tdt fT (1 f ) T t fT (1 f ) T t
上角标（������+∆������）已删去，而上角标t则以0代替。f是在0与1之间 的加权因子。 代入型线，积分可得：
（2）圆柱轴对称坐标系与极坐标系
圆柱轴对称
极坐标
27
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
2、三种二维正交坐标系中离散方程的统一表达式
28
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
s
R为名义半径，直角坐标系取1，圆柱与极坐标取r；
SX为标尺系数，直角、圆柱坐标取1，极坐标取r。
29
4.3 源项与边界条件的处理
0.5 f 1
0 f 0.5
，初值问题格式绝对稳定；
，格式条件稳定：
at 1 2 x 2(1 2 f )
5、一维非稳态导热空间项时间取值的三种常见格式
（1）显式，
f 0
； ；
（2）全隐式，
f 1
（3）C-N格式， f
0.5 ；
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2 T 2TP TW TP TP0 a E t x 2
E
( x)e
e
( x)e
E
( x) e 2E
调和平均法结果合理，比算术平均要好，其已广泛为国内外
学术界所接受。
15
4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化
1、一维非稳态导热通用控制方程
2、控制容积积分
设������������取t时刻之值，记为 ������������ 容积P做积分： 空间阶梯型型线
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E 0 TP0 a P (1 f )aE (1 f )aW (1 f ) S P AP x
SC AP x
由此可得：
TM 1 TM 11
( x)(x) S
q B x
x
x
2
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4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
（b）对于第三类边界条件
分别代入具有一阶截差与二阶截差的表达式中，有：
h x TM 11 Tf TM 1 h x 1
对于一维稳态含内热源的控制方程，二阶离散有：
TM 11 2TM 1 TM 11 S 0 2 ( x)
所以
TM 1 TM 11
( x)(x) S
q B x
x
x
2
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4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
采用控制容积平衡法有： 以进入区域的热量为正
������
，在∆������时间间隔内对控制
( c) P AP x(T
t t t
t t P
T )
t P
t t
t
e Ae (TE TP ) w Aw (TP TW ) dt ( x)e ( x) w
需要选择对时间的型线
16
AP ( SC S PTP )xt
S f ( ) 在控制容积中P点的斜率。
以变量T为例：
SC , S P 对控制容积P均为常数，S P 是变量 的源项曲线
31
4.3.1 非常数源项的线性化处理
2、线性化方法讨论与说明
（1）对与被求解变量有关的非常数源项，线性化比假 定为常数更合理：用 S f (T ) 来表示P的源项比
dT （a）对于第二类边界条件 dx
采用泰勒展开，一阶截差有：
1、外节点法
qB
x
x qB TM 1 TM 11
36
4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
1、外节点法
二阶截差，采用虚拟点法，在右边界 外虚设点 M 1 1 则：
TM 11 TM 11 qB 2 x
串联热阻叠加原则的反映
14
4.1.3 界面导热系数的确定方法
3、两种方法的比较
设 ，热阻主要在E侧，网格均分时，但据算术平均：
( x)e
P
2
表明热阻由导热系数大的物体所决定，不符合传热学基本原理。 据调和平均：
( x)e
e
( x)e
E
( x) e
P
( x) e
网格均分