福建省三明市第一中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)试题

福建省三明市第一中学2015届高三上学期第二次月考数学

（理）试题

第I 卷(选择题 共50分)

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求. 请将答案填在答题卡的相应位置．） 1. 复数

5

34i

=+ ( ) A ．34i - Ｂ．34i + C ．

3455i - D ．3455

i + 2.已知随机变量ξ服从正态分布()

2

2,N δ，()40.84P ξ<=,则()24P ξ<<=（ ）

A ．0.68 Ｂ．0.34 C ．0.17 D ．0.16

3. 已知三个数2,8m ，构成一个等比数列,则圆锥曲线

22

12

x y m +=的离心率为（ ） （ C ）

A B C D

4. 若k R ∈，则“4k ≤-”是“方程

22

133

x y k k -=-+表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9

5

，则a 的可能值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

6. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

由下表可得回归直线方程0.5y x a ∧

∧

=+，据此模型预报身高为172cm 的男生的体重大约为（ ） A ．69.5 kg B ．70 kg C ．70.5 kg D ．71 kg

7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如上图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出 的人数为( ).

A ．25

B ．24

C ．23

D ．20

8．已知直线10ax y ++=经过抛物线24y x =的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为

（ ）

A ．6 Ｂ．7 C ．8 D ．9

9. 已知直线:l y x b =+与曲线:3C y =则b 的取值范围为（ ）

A ．[]3,3-

B ．3,1⎡+⎣

C ．1⎡-+⎣

D ．13⎡⎤-⎣⎦

10. 设Q P ,分别为()

262

2

=-+y x 和椭圆110

22

=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是

（ ）

A ．25 B.246+ C.27+ D .26

第II 卷（非选择题共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置．） 11. 已知,)31(7722107x a x a x a a x ++++=- 则=+++721a a a _； 12. 已知直线l 过圆22650x y y +-+=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程

是_________ ___；

13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排

在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答） 14. 在区间[]0,1内随机的取两个数,a b ，则满足1

02

a b ≤+≤

的概率是 ；（用数字作答）

15.若AB 是过圆锥曲线中心的任意一条弦，M 是圆锥曲线上异于A 、B 的任意一点，且

AM 、BM 均与坐标轴不平行，则对于椭圆22221x y a b

+=有2

2AM BM b k k a ⋅=-，类似地，

对于双曲线22

221x y a b

-=，有AM BM k k ⋅= .

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，请将答案写在答题卡的相应位置．） 16. （本小题满分13分）

已知1cos ,2a x →

⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，()sin cos ,1b x x →=+，()f x a b →→=⋅，

(Ⅰ)若02

π

α<<

，sin α=

，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 17. （本小题满分13分） 我国政府对PM2．5采用如下标准：

三明市环保局从180天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)． (Ⅰ) 求这10天数据的中位数.

（Ⅱ）从这已检测到的l0天数据中任取3天数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ

的分布列；

（Ⅲ）以这10天的PM2．5日均值估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．

18. （本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足2

2n n S a n =+，()0

n a n N *

>∈．

(Ⅰ) 求 123,,a a a ；

（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

2 8 2

3 8 2 1

4 4

5

6 3 8

7 7

19. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，

2,60AB BAD =∠=.

(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面;PAC

（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.

20. （本小题满分14分） 如图，已知椭圆

22221(0)x y a b a b +=＞＞

的离心率为2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F

为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究

11

AB CD

+

是否是个定值，若是，求出这个定值； 若不是，请说明理由.