浙大物理考研资料-普通热学课件-第三章

故平均两次碰撞之间走过 的距离即为平均自由程
vt v
Zt Z
平均自由程公式
Z 2nv
1 2n
vt v
Zt Z
表示对于同种气体，平均自由程与n成反比，
而与平均速率无关.
kT 2p
表示同种气体在温度一定时，平均自由程与 压强成反比。
例3.1 标准状况下空气平均自由程
•[例3.1] 试求标准状况下空气分子的平均自由程。 •[解] 标 准状况 下空气 分子的 平均速 率为 446 m.s-1，平均碰撞频率为,
§3.6.1碰撞（散射）截面
非对心碰撞. 定义 B 分子射向 A 分子时的轨迹线与离开A 分子时的轨迹线间的交角为偏折角
偏折角随 B 分子与 O 点间垂直距离 b 增大而
减小。
令当 b 增大到偏折角
开始变为零时的数值
为d, 则 d 称为分子
有效直径. 分子散射截面:
d2
§3.6.2分子间平均碰撞频率 • 分子间的平均碰撞频率: 单位时间内一个分子平
1 2
p0 1
exp(
2DAt LV
)
§3.3 热传导现象的宏观规律
当系统与外界之间或系统内部各部分之间 存在温度差时就有热量的传输.
热传递有热传导、对流与辐射三种方式， 本节将讨论热传导
§3.3.1傅里叶定律
•一, 傅里叶定律
•1822法国科学家傅里叶（Fourier）在热质说 思想的指导下发现了傅里叶定律。 该定律认为
自然对流的演示实验如下图所示.
§3.6气体分子平均自由程 • 气体的输运过程来自分子的热运动。 • 气体分子运动过程中经历十分频繁的碰撞。
• 碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使 分子行进了十分曲折的路程
碰撞使分子间不断交换能量与动量。 • 而系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。
本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物 理量： 碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。
均碰撞了多少次。
A 可视为截面积为 的一个圆盘，圆盘沿圆盘中 心轴方向以速率v12 运动。
只有那些其质心落在圆柱体内的分子才会与 A 发生碰撞。
单位时间内 A 分子 所扫出的“圆柱体” 中的平均质点数， 就是分子的平均碰 撞频率.
Z n d 2 v12
对于同种气体 v12 2 v 平均碰撞频率为
着一层流体，这一流体层与相邻的流体层之间 存在黏性力，故物体在运动过程中必须克服这
一阻力 f.
• 若物体是球形的，流体作层流流动，可以证 明球体所受阻力满足斯托克斯（Stokes）定 律
f =6vr • v 是球相对于静止流体的速度
• 斯托克斯定律适用条件为其雷诺数 Re 应比1
小得多. Re = v /r
§3.2扩散现象的宏观规律
• §3.2.1自扩散与互扩散 菲克定律
• 当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的 热运动使粒子从数密度高的地方迁移到数密 度低的地方的现象称为扩散。
(二)菲克定律（Fick’s law）
1855年法国生理学家菲克提出了描述扩散 规律的基本公式——菲克定律。
菲克定律认为在一维（如z )方向上的扩散 粒子流dN/dt 与粒子数密度梯度dn/dz 及 横截面积A成正比.
（2）固体和液体：
• 其分子的热运动形式为振动。温度高处分子热 运动能量较大，因而振动的振幅大；温度低处 分子振动的振幅小。
*§3.3.2热欧姆定律
把温度差 △T 称为“温压差”（ 以-△UT 表示) 把热流 dQ/dt 以IT 表示
傅里叶定律改写为
IT
UT L
A或UT
L
A
IT
RT IT
RT L / A T L / A
JT
dT dz
•若系统已达到稳态，即处处温度不随时间变化，
因而空间各处热流密度也不随时间变化，这时利
用傅里叶定律来计算传热十分方便。
若各处温度随时间变化，情况就较为复杂， 通常需借助热传导方程来求解。
（二） 热传导的微观机理：
•热传导是由于分子热运动强弱程度（即温度） 不同所产生的能量传递。
（1）气体：当存在温度梯度时，作杂乱无章 运动的气体分子，在空间交换分子对的同时交 换了具有不同热运动平均能量的分子，因而发 生能量的迁移。
斯托克斯定律在解释云雾形成过程时起重要 作用。
• 水滴在重力驱动下从静止开始加速下降。随
着v 的增加阻力 f 也增加，当 mg = f 时水
滴将以收尾速度 vmax 作匀速运动，
4 R3g
3
6Rvmax
vm a x
2gR2 9
收尾速度非常小，大量的水滴就构成云、雾。 收尾速度非常大， 气流托不住这种水滴而下 落。雨
V1 V表2 示一个分子的速度在另一个分子速度方 向上的投影的平均值
•设V2、V1间夹角为
V1 V2 v1v2 c os
v1v2 c os v1v2 c os 0
(v12 )2 (v1)2 (v2 )2, v12 (v1)2 (v2 )2
对于同种气体
v12 2 v
§3.6.4气体分子平均自由程
8L RF
RF
8L R4
流阻
rv v0
F =-ηAdv/dr= -η(2πrL)dv/dr
F´=A´Δp= πr2Δp
πr2Δp =-η(2πrL)dv/dr πr2Δp dr =-η(2πrL)dv
v Δp (R2 r 2 )
4L
v0
Δp
4L
R2
§3.1.3斯托克斯定律， 云、雾中的水滴 • 当物体在黏性流体中运动时，物体表面黏附
Z 6.5109 s1
v 6.9 10 8 m
z •空气分子有效直径 d = 3.5 10-10 m
•可见标准状况下
200 d
§3.7 气体分子碰撞的概率分布
• 若一分子在 x = 0处刚好被碰撞过，则以
后遭受第二次碰撞的时间完全是随机的。 所以它在两次碰撞之间走过的路程也是随 机的。 • 为了描述这种随机性质，必须找到它在
Z 2nvd 2 6.5109 s1
• [例3.10] 设处于平衡态的混合理想气体由“1” 与“2”两种分子组成，“1”分子与“2”分子的 平均速率分别为v1 和v2 ，试用近似证法求出“1” 分 子 相 对 于 “ 2” 分 子 运 动 的 相 对 运 动 平 均 速 率 v1，2
• 并证明对于纯气体，分子间相对运动的平均速 •率
‘蝴蝶效应’
•
水中的层流
水中的湍流 香烟烟雾(从层流变到湍流)
（四）稳恒层流中的黏性 牛顿黏性定律
通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两层 流体上作用有一对阻止它们相对“滑动”的 切向作用力与反作用力。 这种力为黏性力（viscous force），也称为 内摩擦力. 达到稳定流动时，每层流体的合力为零，
x 到 x + dx 范围内受到碰撞的概率，即 分子的自由程处于 x 到 x + dx 范围内的
概率。
§3.7.1气体分子的自由程分布
• 导出分子自由程分布的一种方法是制备N0 个
分子所组成的分子束。
• 分子束中的分子恰好在同一地点（x = 0处） 刚被碰过一次，以后都向 x 方向运动。
• 分子束在行进过程中不断受到背景气体分子的 碰撞，使分子数逐渐减少。
• 理想气体分子在两次碰撞之间可近似认为不受到 分子作用，因而是自由的。
• 分子两次碰撞之间所走过的路程称为自由程，以
λ表示。
• 任一分子的任一个自由程的长短都有偶然性，自 由程的平均值由气体的状态所唯一地确定。
• 一个以平均速率运动的分子，它在 t 秒内平均走
过的路程和平均经历的碰撞次数分别为
vt Zt
(二) 湍流
• 湍流是流体的不规则运动，是一种宏观的随机 现象.
湍流中流体流速随时间和空间坐标作随机的紊 乱变化.
(三)混沌
自然界中 普遍存在一类在决定性的动力学 系统中出现的貌似随机性的宏观现象，人们 称它为混沌。
动力学系统通常由微分方程等所描述,‘决定
性’指方程中的系数都是确定的,
没有概率性的因素.
§3.5对流传热
§3.5.1 自然对流
所谓对流传热是指借助流体流动来达到传热的 过程。在自然对流中驱动流体流动的是重力。
对流传热有自然对流与强迫对流之分。 当流体内部存在温度梯度，进而出现密度 梯 度时，较高温处流体密度一般小于较低温处流体 的密度。重力可能驱动流体做循环流动.
自然对流的实例：
若密度由小到大对应的空间位置是由低到高， 则受重力作用流体发生流动。
• 设一氧化碳向氮中扩散及氮向一氧化碳中扩散
的扩散系数都是 D ，试求出左边容器中一氧
化碳分压随时间变化的函数关系。
[解]设 n1 和 n2 分别为左、右两容器中一氧化
碳的数密度，
管道中一氧化碳的数密度梯度为(n1-n2)/L.
左边流向右边容器一氧化碳粒子流率为
dN1 D n1 n2 A
dt
§3.1.2泊肃叶定律（Poiseuille law）
流过半径为r，厚度为dr的 圆环的流量为
dQV=dSv=2πrdr v，
单位时间流过管道截面的 流体体积, 称为体积流量
dV
dt
QV
R
2rvdr
0
R
2r[
Δp
(R2
r 2 )]dr
0 4L
Δp
R
(rR 2
r3)dr
ΔpR4
Δp
2L 0
§ 3.1黏性现象的宏观规律
(一） 层流 流体在流速较小时将作分层平行流动，
流体质点轨迹是有规则的光滑曲线，
不同质点轨迹线不相互混杂。 这样的流体流动称为层流。 一般用雷诺数来判别流体能否处于层流状态。 雷诺数Re是一种无量纲因子，它可表示为
Re =v / r
层流是发生在流速较小，更确切些说是发生在 雷诺数较小时的流体流动，
dN D dn A
dt
dz
其比例系数 D 称为扩散系数，单位为
m2/s。式中负号表示粒子向粒子数密度减
少的方向扩散。
M D d A
t
dz
CO 和氮气互扩散的例
• [例5.3 ]两个容器的体积都为V，用长为L、截 面积A很小（LA << V）的水平管将两个容器
相联通，
• 开始时左边容器中充有分压为 p0 的一氧化碳 和分压为 p—p0 的氮气所组成的混合气体，右 边容器中装有压强为p的纯氮气，
Z 2nv
p nkT, v 8kT
m
Z
4p mk T
说明在温度不变时压强越大（或在压强不变 时，温度越低）分子间碰撞越频繁。
[例3.9] 估计标准状况下空气分子平均碰撞频率。
[解]：空气分子平均速率为446 m/s，洛施密特常
量为2.7×1025 /m3 ，空气分子有效直径为 3.5×1010 m
• 只要知道分子束在 x 到 x + dx范围内所减少 的分子数 dN 即可得到自由程分布。
•在 x 到 x + dx 距离内所减少的分子数 dN 与 x 处的分子数 N 成正比.
v12 2 v
• 其中 v 为该纯气体的分子相对于地面运动的
平均速率. [解] 因为相对运动速率是相对速度矢量的大小
（即绝对值），故
V122 V12 2 (v12 )2
• 其中V2与V1是从地面坐标系看“2”及“1”分子
的速度矢量，故 (V12
)
2
(V2 )2
2V2
V1
(V1)2
(V12 )2 (V2 )2 2V2 V1 (V1)2
第三章 输运现象与分子动理论的 非平衡态理论
非平衡过程 系统处于平衡态，内部无分子有序运动，只有热 运动。 系统处于非平衡态，内部出现“不均匀”。
温度不均匀—分子热运动动能不同。 定向速度不均匀—分子定向动量不同。 密度不均匀—分子数密度不同。
如果系统孤立，不均匀→均匀。 如果系统不孤立， 且在外界作用下维持这种不平 衡，则系统会始终处于存在宏观流的非平衡态。
L
dn1 D n1 n2 A
dt
VL
n1 n2 n0
dn1 DA dt
2n1 n0
LV
两边积分，考虑到在 t = 0 时，n1( 0 )= n0,
ln
2n1
(t) n0
n0
2DAt LV
p1 n1kT, p0 n0kT
n1 (t)
1 2
n0
1
exp(
2DAt LV
)
p1
热流 dQ /dt (单位时间内通过的热量）与温度 梯度 dT /dz 及横截面积 A 成正比，
dQ dT A
dt
dzBaidu Nhomakorabea
•其 中 比 例 系 数 称 为 热 导 系 数
（heat conductivity）,其单位
为 W/m·K.负号表示热量从温度 较高处流向温度较低处
热流密度JT
单位时间内在单位截面积上流过的热量为
实验测出流体层所受到的黏性力的大小是与 流体流动的速度梯度的大小成正比的。
黏性力的大小与 du / dz及切向面积A成正比 . 比例系数以η表示，称为流体的黏度或黏性系数、
黏滞系数,则
f du A
dz
称为牛顿黏性定律.
η的单位为泊（Pa·s)
（五) 气体黏性微观机理
常压下气体的黏性就是由流速不同的流体层之间的 定向动量的迁移产生的。