《高二数学间接证明》PPT课件
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间接证明
h
1
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件
已知定义 已知公理
本题结论
已知定理
h
2
直接证明方法有几种？
有两种：综合法、分析法
证法有什么异同？ 相同 都是直接证明
不同 综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止
h
10
2. 设函数 f(x)2x2m xn,
求证：f(1), f(2), f(3) 中至少有一个不小于1.
h
11
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
h
12
原结论词 反设词 原结论词 反设词
f (x)0，且 f(xy)f(x)f(y)成立。求证：
对定义域内任意 x都有 f (x)0.
h
8
2. 求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
h
9
练习
1.若a,b,c均为实数，且 ax22y,
by2 2z, cz2 2x,
Leabharlann Baidu
2
求证：a,b3,c中至少有一6个大于0.
反证法的思维方法：
正难则反
h
6
原结论词 反设词 原结论词 反设词
至少有一 一个也没有 对所有x成 存在某个不
个
立
成立
至多有一 至少有两 对任意x不 存在某个x
个
个
成立 成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q p且q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q p或q
h
7
例1.设函数 f (x) 对定义域内任意实数都有
否定结论
导致矛盾
合理的推理
否定命题不成立
h
原结论成立
5
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真；
（2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
至少有一 一个也没有 对所有x成 存在某个不
个
立
成立
至多有一 至少有两 对任意x不 存在某个
个
个
成立 成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q p且q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q p或q
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13
分析法：从问题的结论出发，追溯导致结
论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成
立的条件和已知条件吻合为止
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3
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
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4
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.
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1
一、知识回顾：
1直接证明概念
直接从原命题的条件逐步推得命题成立
2 直接证明的一般形式：
本题条件
已知定义 已知公理
本题结论
已知定理
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2
直接证明方法有几种？
有两种：综合法、分析法
证法有什么异同？ 相同 都是直接证明
不同 综合法：从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止
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10
2. 设函数 f(x)2x2m xn,
求证：f(1), f(2), f(3) 中至少有一个不小于1.
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11
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； (4)结论为 “唯一”类命题；
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原结论词 反设词 原结论词 反设词
f (x)0，且 f(xy)f(x)f(y)成立。求证：
对定义域内任意 x都有 f (x)0.
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2. 求证： 2 是无理数。
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
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练习
1.若a,b,c均为实数，且 ax22y,
by2 2z, cz2 2x,
Leabharlann Baidu
2
求证：a,b3,c中至少有一6个大于0.
反证法的思维方法：
正难则反
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原结论词 反设词 原结论词 反设词
至少有一 一个也没有 对所有x成 存在某个不
个
立
成立
至多有一 至少有两 对任意x不 存在某个x
个
个
成立 成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q p且q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q p或q
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例1.设函数 f (x) 对定义域内任意实数都有
否定结论
导致矛盾
合理的推理
否定命题不成立
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原结论成立
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间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤：
（1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真；
（2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
（3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
至少有一 一个也没有 对所有x成 存在某个不
个
立
成立
至多有一 至少有两 对任意x不 存在某个
个
个
成立 成立
至少有n个 至多有n-1个 p或q p且q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q p或q
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分析法：从问题的结论出发，追溯导致结
论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成
立的条件和已知条件吻合为止
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直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
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4
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法.
反证法是一种常用的间接证明方法.