公开课教案函数的单调性

课题：函数的单调性

考纲要求：

1．理解函数的单调性及其几何意义.

2．会运用函数的图象理解和研究函数的性质；

3．帮助学生树立函数思想和全面分析问题的方法，增强意志力。

学情分析：

该教学班共有学生 62 人，数学基础普遍不好，对函数的理解不深，

在一轮复习中必须把握基础，注重思想与方法的渗透。

高考预测：

对函数单调性的理解，利用函数的单调性定义判断、讨论、证明函数的单调性。 利用函数的单调性研究函数。.

重点：函数的单调性及其几何意义.

难点：讨论函数的单调性，利用单调性研究函数。

教学过程：

课前热身：

1．x 1，x 2 是函数 f (x )定义域内的两个值，且 x 1＜x 2，有 f (x 1)＞f (x 2)，则 f (x )是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．常数函数

D ．增减性不定

2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1

B ．

y

x

1 C ．y ＝x 2－4x ＋5

D ．y ＝x ＋x

1

3．函数 f (x )＝x ＋x 的单调增区间是( )

A ．[－1，0)，[1，＋∞)

B ．(0，1]

C ．(－∞，－1]，[1，＋∞)

D ．[－1，0)

要点回顾：

1．函数的单调性概念：

(1)单调函数的定义；一般地，设函数 f (x )的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内

某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1，x 2，当 x 1

图 象 特 征

例 1：试讨论 f (x )＝ 2 x －1

(2)单调区间的定义：

若函数 f (x )在区间 D 上是

或

，则称函数 f (x )在这一区间上具有(严

格的)单调性，区间 D 叫做 f (x )的单调区间．

2．函数单调性的判断方法

①定义法：取值、作差、变形、定号、结论．

②图象法：利用图象研究函数的单调性．

③导法数：利用导数研究函数的单调性．

④复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

⑤基本函数法

典例精析：

题型一、判断函数的单调性

ax

，x ∈(－1，1)的单调性(a ≠0)．

点评：

1.证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以应用导数理论．

2．判断函数的单调性或者求函数的单调区间的常用方法有：①定义法；

②导数法；③图象法；④复合函数法；⑤化归基本初等函数法．

结论：

1．两个增(减)函数的和为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增 (减)函数；

2．奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相

反的单调性.

1

3．当 f (x)恒为正或恒为负时， f(x)与 y ＝f (x)的单调性相反.

4．如果 f (x)在区间 D 上是增(减)函数，那么 f (x)在 D 的任一子区间上也是增(减)

函数

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2 x

.

题型二、求函数的单调区间

【例 2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋3x －2；

(2) f (x )＝－x 2＋2|x |＋3.

思路分析：

求函数的单调区间通常采用以下方法：

①利用已知函数的单调性；

②图象法；

③定义法(利用单调性的定义探讨)；

④导数法.

⑤基本初等函数法

方法归纳：

函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定

函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.

题型三 函数单调性的应用

例 3：已知函数 f (x )的定义域为[－1,1]，且对于任意的 x 1，x 2∈[－1,1]，当 x 1≠2 时，都有 ＞0.

(1)试判断函数 f (x )在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论； (2)解不等式 f (5x －1)＜f (6x 2).

思路分析 ：

(1)由函数单调性的定义不难判断其单调性；

(2)解此类不等式关键是利用函数 f (x)在[－1,1]上的单调性去掉“f ”符号.

方法归纳：

(1)解含有抽象符号“f ”的不等式时，关键是符号“f ”的“穿”和“脱”.

(2)单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化如果 f (x )在 D 上

为增函数，则∀x ，x ∈D ，x

1

2 1 2 1 2

手段.

3．已知函数f (x )＝ － (a > 0，x > 0)．

体验高考：

(2013 广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

1 A.y ＝ln(x ＋2)

B.y ＝－ x ＋1

C.y ＝(2)x

1

D.y ＝x ＋x

(2013 陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

1

A.y ＝x ＋1

B.y ＝－x 3

C.y ＝x

D.y ＝x |x |

课堂小结：

1.讨论函数单调性，必须确定函数定义域

2.函数单调性可借助函数的图象

3.导数是解决函数单调性问题的有力工具

测评练习：

1.已知定义在 R 上的奇函数 f (x )满足 f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记 a ＝

1

f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则 a ，b ，c 的大小关系为 (

)

A.a >b ＝c

B.b >a ＝c

C.b >c >a

D.a >c >b

2．函数y ＝log ( x 2＋2 x －3)，当x ＝2时，y ＞0，求此函数的单调减区间? a

1 1

a x

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在上的值域是[ 1 ，2],求a 的值

2

4.已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax 2+1

(1)讨论函数 f(x)的单调性；

(2)设 a<-1.如果对任意 x ,x ∈(0,+∞),

1 2

∣f(x )-f(x )∣≧4∣x - x ∣,求 a 的取值范围。

1

2

1

2