巧思妙解2011年高考数学题

巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）
杨洪林
1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.
【参考答案】
（1）…….
（2）…….
（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，
则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.
代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .
因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 =
== -.
因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.
解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.
设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===
.
从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1
= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.
·巧思·
①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。

②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。

③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k
= k BC），必可得到k OA·k OD = -1
AB
（条件都已用到）。

·妙解·
设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.
且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.
k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.
【评注】
①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。

②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为
凡”。

③（1）中，根据“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”，便有：OQ=MQ（Q为MN
的中点）k= - k MN ==；（2）中，根据直线斜率的几何意义以及平行线等分线段
定理，便有：k = 2PC = 2OC = 2OE（AB交ON于E） d = 2OF（OF AB于F）= CE =（均比参考答案简洁，具体省略）。

2.（题19）已知a，b是实数，函数和是
的导函数，若≥0在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.
（1）设a＞0，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设a＜0且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a -b|的最大值.
【参考答案】
= 3x2+a, = 2x + b.
（1）……b≥2……
（2）令= 0，解得x=±.
若b＞0,由a＜0,得0∈（a, b）.又因为f ′（0）g ′（0）= ab＜0,
所以函数和在（a,b）上不是单调性一致的.因此b≤0.
现设b≤0. 当x∈（-∞，0）时，＜0；当x∈（-∞，-）时，＞0.
因此，当x∈（-∞，-）时，＜0.故由题设得a≥-,且b≥
-.
从而 -≤a＜0,于是 -≤b≤0.因此∣a - b∣≤，且当a = -，b = 0时等号成立.
又当a =-，b= 0时，= 6x（x2-）, 从而当x∈（-，0）时，
＞0，
故函数和在（-，0）上单调性一致.因此|a -b|的最大值为.
·巧思·
①由导函数和的连续性知：若在以a、b为端点的开区间上，≥0，则必定也有
f′（a）g′（a）≥0, f ′（b）g′（b）≥0.问题便转化为对“f ′（a）g′（a）≥0, f ′（b）g′（b）≥0”的探讨。

②由b≤0便知g′（a）＜0，g′（b）≤0，亦知f ′（a）≤0，f ′（b）≤0，从而问题得以方便、快捷地解决。

·妙解·
f ′（x）g′（x）≥0 f ′（a）g′（a）=（3a2 + a）（2a+ b）≥0, f ′（b）g′（b）=（3b2 + a）（2b + b）≥0.
f ′（0）g′（0）=ab及题设知b≤03a2 + a≤0,3b2 + a≤0 -≤a＜0, -≤b≤0∣a
- b∣≤
a = -＜x＜0 =b时，f ′（x）g′（x）=（3x2-）·2x＞0∣a - b∣max=.
【评注】
①题意是求满足“在以a、b为端点的开区间上，≥0”的条件，没有要求找
出使得“≥0”的所有区间，因此也就不必“多此一举”地求出方程= 0
的根以及的全部单调区间。

②解决问题要尽可能地简单、简洁、简便，就要尽可能地减少“多余劳动”、“重复劳动”、
“无效劳动”。

=1，前n项和为S n，已知3.（题20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛a n｝的首项a
1
对任意整数k属于M，当n＞k时，都成立.
（1）设M =｛1｝，，求的值；
（2）设M =｛3，4｝，求数列｛a n｝的通项公式.
【参考答案】
（1）……a5的值为8.
（2）由题设知，当k∈M =｛3,4｝且n＞k时，S n+k+S n
= 2S n + 2S k且S n+1+k + S n +1-k= 2S n+1
-k
+ 2S k,，
两式相减得a n+1+k + a n +1 -k= 2a n+1，即a n+1+k - a n+1 =a n+1 - a n +1 -k .所以当n≥8时，
a n - 6, a n - 3, a n, a n+ 3, a n+ 6成等差数列，且a n - 6, a n - 2, a n + 2, a n + 6也成等差数列.
从而当n≥8时，2a n= a n + 3+a n -3 =a n + 6+ a n - 6（ ），且a n + 6+ a n - 6 = a n + 2+ a n -2 .
所以当n≥8时，2a n= a n + 2 + a n -2 ，即a n + 2 - a n = a n - a n -2 .
, a n - 1, a n + 1, a n + 3成等差数列，从而a n + 3 + a n -3 = a n + 1 + a n - 1 .
于是当n≥9时，a n
-3
故由（*）知2a n= a n+ 1 + a n -1，即a n+ 1 - a n = a n - a n -1.当n≥9时，设d = a n- a n -1.
当2≤m≤8时，m + 6≥8,从而由（*）式知2a m + 6= a m+ a m + 12,
故2 a m + 7= a m + 1+ a m + 13.从而2（a m + 7 - a m + 6）= a m + 1-a m +（a m + 13- a m + 12），
于是a m + 1- a m= 2d–d =d.因此，a n + 1–a n= 2d对任意n≥2都成立.
又由S n + k + S n - k-2S n = 2S k（k∈｛3,4｝）可知（S n + k- S n）-（S n- S n -k）= 2S k ，
故9d = 2 S3且16d = 2S4.解得a4 =d,从而a2 =d，a1 =d.因此，数列｛a n｝为等差数列.
由a
1
=1知d = 2，所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 2n -1.
·巧思·
①将数列｛a
n ｝看成三个等差数列｛a3n
-1
｝、｛a3n｝、｛a3n + 1｝合成的数列（增加一项a
1
），
利用“数列｛b n｝为等差数列”“前n项之和T n可表示为an2 + bn”，可以避免求出公差d的“漫长”过程。

②定义S
= 0，则a n = S n - S n -1对任意n∈N*都适用，从而又避免了对n = 1和n≥2的分类讨论。

·妙解·
S n + 3 + S n -3 = 2(S n+ S3), S n + 4+ S n -2 = 2(S n + 1+ S3)a n + 4 + a n -2= 2a n + 1(n≥4)
数列｛a3n
-1
｝、｛a3n｝、｛a3n + 1｝(n≥1)都是等差数列
S n- a1为三个等差数列前若干项之和的和S n = an2 + bn + c（a、b、c为常数）；
S1=a1, S n + 3 + S n - 3 =2(S n+ S3),S n + 4 + S n - 4=2(S n+ S4) a + b + c = 1, 3b + c = 0, 4b + c = 0
a = 1,
b =
c = 0S n = n2 a n = S n - S n - 1（S0 = 0）=n2-（n -1）2= 2n -1.
【评注】
①“数列为等差数列”的一个充分必要条件是“数列的前n项之和可以表示为an2 + bn（a、b为常数）”，这个结论教师不仅应当传授给学生，而且还要经常地练习、运用，形成牢固的“印象”和熟练的“技术”。

②将一个整体看成几个部分之和，将一个大问题分解为几个小问题，是研究数学、思考数学的一种方法。

4.（题23）设整数n≥4，P（a, b）是平面直角坐标系x O y中的点，其中a,b∈｛1，2，3，…，n｝，a＞b.
（1）记A n为满足a- b= 3的点P的个数，求A n；
（2）记B n为满足是整数的点P的个数，求B n.
【参考答案】
（1）……A n= n-3.
（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件
以及a-b = 3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形。

由1≤b= a-3k≤n-3k知f n（k）= n -3k，且k≤.
设n-1 = 3m+ r，其中m∈N﹡, r∈｛0,1,2｝, k≤m.
所以B n=== mn-=.
将m=代入上式，化简得B n= - .
所以B n=
·巧思·
①将全体正整数按照对模3同余分类，构成三个集合：A =｛1，4,…，3m+ 1,…｝,B =｛2，5,…,3m+ 2,…｝,
C =（3，6,…,3m+ 3,…）（m∈N﹡）,则满足条件的a、b必属于同一个集合。

②计算a、b同属于集合A、B、C时点P的个数，只要利用从k个元素中选出2个元素的
组合数公式就可以了，因而也只要分别考虑n= 3m+ 1，n= 3m+ 2和n= 3m+ 3时的情形。

·妙解·
由集合｛1,4,…,3m+ 1｝，｛2,5,…,3m + 2｝，｛1,3,6,…,3m+ 3｝（m∈N﹡）知：
若n= 3m+ 1，则B n =+ 2==；
若n= 3m+ 2，则B n = 2+ ==；
若n= 3m+ 3，则B n = 3==.
【评注】
①将1，2,…, n进行分类并将三个集合展示，问题就很直观、很明了，分析就很具体、很方便。

②计算B
转化为计算三个集合中元素的个数，命题就很简单、很简明，计算就很容易、很
n
轻松。

③“参考答案”是为以后的教师教学和考生解题做“示范”的，因此要力求通俗易懂、简洁明快。

【小结】
①数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。

亦即：应当努力——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。

②如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当确保是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。

③如同长跑比赛不仅比耐力、而且比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短时间内顺利地完成答卷。

因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且还更是实际实在的需要、迫切急切的需要。

④“数学是思维的科学”（单墫）。

思绪明朗、思路开阔、思想活跃、思维科学了，问题就能迎刃而解；反之则犹豫不决、迷惑不解。

因此，数学教育者先教育思维的拓展，数学学习者先学习思维的拓展，就当然是“十分必要、极其重要、非常紧要”的。

注：作者系退休机关干部、中学数学教师。