运筹学 0-1整数规划

(1) (2)
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工序B 只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（ ） 工序 3只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（1）和（2）就成为 ） 相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入0-1变量 相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入 变量
0, yi = 1,
B3采用B3i 加工方式 B3不采用B3i 加工方式
第四节 0－1整数规划
一、相互排斥的计划 某公司拟在市东、 南三区中建立门市部， – 例4.6 某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部， 有例7个点 个点A ＝ ， ， ， ）可供选择， 有例 个点 i（i＝1，2，…，7）可供选择，要求满 足以下条件： 足以下条件： 1) 在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在东区， 三个点中至多选两个； 2) 在西区，A4，A5两个点中至少选一个； 在西区， 两个点中至少选一个； 3) 在南区，A6，A7两个点为互斥点。 在南区， 两个点为互斥点。 4) 选A2点必选 5点。 点必选A – 若Ai点投资为 i万元，每年可获利润为 i万元，投资 点投资为b 万元，每年可获利润为c 万元， 总额为B万元 试建立利润最大化的0－ 规划模型 万元， 规划模型。 总额为 万元，试建立利润最大化的 －1规划模型。
0－1 整数规划求解方法
0－1 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的 － 整数规划是一种特殊形式的整数规划， 决策变量x 只取两个值0或 ，一般的解法为隐枚举法。 决策变量 i 只取两个值 或1，一般的解法为隐枚举法。 例一、求解下列0－ 例一、求解下列 －1 规划问题 max Z = 3 x 1 − 2 x 2 + 5 x 3
x 1 + 2 x 2 − x 3 ≤ 2 (1) x 1 + 4 x 2 + x 3 ≤ 4 (2) ≤ 3 (3) x1 + x 2 4 x 2 + x 3 ≤ 6 (4) x 1 , x 2 , x 3 = 0或1
两个值， 解：对于0－1 规划问题，由于每个变量只取 ，1两个值，一般会用穷举法来解， 对于 － 规划问题，由于每个变量只取0， 两个值 一般会用穷举法来解， 即将所有的0， 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。 即将所有的 ，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁 工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件， 琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快 的求得最优解。 的求得最优解。
约束条件 x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0 ) 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1) 0) 1) 0) 1) 0) 1) Z值 0 5 －2 3 3 8 1 6 0 2 1 1 Z≥8 (1) 0 －1 (2) 0 1 (3) 0 0 0 1 (4) 过滤条件 Z≥0 Z≥5
max z = 4 x1 + 5 x 2 + 6 x3 2 x1 + 4 x 2 + 8 x3 <= 500 2 x + 3 x + 4 x <= 300 1 2 3 s.t . x1 + 2 x 2 + 3 x3 <= 100 x1 , x 2 , x3 >= 0
若考虑固定费用就必须引入0—1变量： 变量： 若考虑固定费用就必须引入 变量
小号容器 2 2
中号容器 4 3 2 5 150
大号容器 限量 8 4 3 6 250 500 300 100
机器设备（ 月 机器设备（台/月） 1 利润（万元 台 利润（万元/台） 4 固定费用（万元） 固定费用（万元） 100
分别为小号容器、中号容器、大号容器的生产数量。 解：设x1、x2、x3分别为小号容器、中号容器、大号容器的生产数量。不考 虑固定费用， 虑固定费用，则问题的数学模型为
max z = 25 x1 + 40 x 2 0.3 x1 + 0.7 x 2 <= 250 0.2 x1 + 0.1 x 2 <= 100 s.t . 0.3 x1 + 0.5 x 2 <= 150 0.2 x + 0.4 x <= 120 1 2 x1 , x 2 >= 0, 且 为 整 数
资源 金属板（吨） 金属板（ 劳动力（ 月 劳动力（人/月） 小号容器 2 2 中号容器 4 3 2 5 150 大号容器 限量 8 4 3 6 250 500 300 100
机器设备（ 月 机器设备（台/月） 1 利润（万元 台 利润（万元/台） 4 固定费用（万元） 固定费用（万元） 100
资源 金属板（ 金属板（吨） 劳动力（ 月 劳动力（人/月）
min Z = 7 x2 + 3 x1 + x4 − x3 − x2 + 2 x1 − x4 + x3 ≥ 1 − x + x + 4 x + 6 x ≥ 8 2 1 4 3 ≥5 3 x2 + 5 x1 + x4 x j = 0, 1 j = 1, 2,3, 4
约束条件 x2. x1 . x4. x3 ( 0. 0. 0 0 ) ( 0. 0. 0 1 ) ( 0. 1. 0 0 ) Z值 0 -1 －2 (1) × × Z≥5 (2) (3) (4) 过滤条件
例二、求解下列 － 例二、求解下列0－1 规划问题
min Z = 7 x2 + 3x1 + x4 − x3
− x2 + 2 x1 − x4 + x3 ≥ 1 − x + x + 4 x + 6 x ≥ 8 2 1 4 3 ≥5 3 x2 + 5 x1 + x4 x j = 0, 1 j = 1, 2,3, 4
– 一般地，在建立数学模型时，若需从p个约束条件 一般地，在建立数学模型时，若需从 个约束条件 中选择q个约束条件 则可以引入p个 变量 个约束条件， 中选择 个约束条件，则可以引入 个0-1变量
0, yi = 1,
若选择第i个约束 若不选择第i个约束
i = 1,..., p
那么约束条件组
1, yi = 0,
当生产第i种容器即xi > 0时 当不生产第i种容器时即xi = 0
i = 1,2,3
则该问题的数学模型为
m ax z = 4 x1 + 5 x 2 + 6 x 3 - 1 0 0 y 1 - 1 5 0 y 2 - 2 0 0 y 3 2 x1 + 4 x 2 + 8 x 3 < = 5 0 0 2 x + 3 x + 4 x <= 300 2 3 1 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 < = 1 0 0 x1 - M y 1 < = 0 s .t . x2 - M y2 < = 0 x3 - M y3 < = 0 x1 , x 2 , x 3 > = 0 y , y , y = 0 o r1 1 2 3
( 0.1. 1. 1 )
3
例三、求解下列0－ 例三、求解下列 －1 规划问题
min Z = 10 x1 + 5 x 2 + 8 x 3 + 4 x4 + 2 x5 3 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 − x4 + x5 ≥ 4 − 2 x1 + x 2 − 4 x 3 + x4 − x5 ≥ −5 x = 0或1 ( j = 1.2.3.4.5) j
n ∑ a ij x j < = b i + M i y i j =1 p ∑1 y i = p - q i=
三、固定成本问题
某公司制造小、 大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、 例4.8 某公司制造小、中、大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、劳 动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示： 动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示： 不考虑固定费用， 大号容器每售出一个其利润分别为4万元 万元、 不考虑固定费用，小、中、大号容器每售出一个其利润分别为 万元、 5万元、6万元，可使用的金属板有 万元、 万元 可使用的金属板有500吨，劳动力有 万元， 万元 吨 劳动力有300人/月，机器有 人月 100台/月，另外若生产，不管每种容器生产多少，都需要支付一笔固定 台 月 另外若生产，不管每种容器生产多少， 费用：小号为100万元，中号为 万元， 万元， 万元。 费用：小号为 万元 中号为150万元，大号为 万元 大号为200万元。问如何制定 万元 生产计划使获得的利润对大？ 生产计划使获得的利润对大？
m a x z = 2 5 x1 + 4 0 x 2
i = 1, 2
则数学模型为
0 .3 x1 + 0 .7 x 2 < = 2 5 0 0 .2 x1 + 0 .1 x 2 < = 1 0 0 0 .3 x1 + 0 .5 x 2 < = 1 5 0 + M y 1 s .t . 0 .2 x1 + 0 .4 x 2 < = 1 2 0 + M y 2 y + y =1 2 1 x1 , x 2 > = 0 , 且 为 整 数 y1 , y 2 = 0 或 1
1, xi = 0, 建立0－ 规划模型如下 规划模型如下： 建立 －1规划模型如下：
解：设决策变量为
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i = 1, 2,..., 7
max ∑ ci xi
i =1
7
7 ∑ bi xi <= B i =1 x1 + x2 + x3 <= 2 s.t x4 + x5 >= 1 x + x = 1 7 6 x2 - x5 <= 0 xi = 0，或1, i = 1, 2,..., 7
令 y1=x5, y2=x4, y3=x2, y4=x3, y5=x1 得到下式
min Z = 2 y1 + 4 y2 + 5 y3 + 8 y4 + 10 y5 y1 − y2 − 2 y3 + 4 y4 + 3 y5 ≥ 4 (1) − y1 + y2 + y3 − 4 y4 − 2 y5 ≥ −5 (2) y = 0或1 ( j = 1.2.3.4.5) j
例二、求解下列 － 例二、求解下列0－1 规划问题
min Z = 3 x1 + 7 x2 − x3 + x4 2 x1 − x2 + x3 − x4 ≥ 1 x − x + 6x + 4x ≥ 8 1 2 3 4 x4 ≥ 5 5 x1 + 3 x2 + x j = 0, 1 j = 1, 2,3, 4
1, xi = 0, 建立0－ 规划模型如下 规划模型如下： 建立 －1规划模型如下：
解：设决策变量为
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i = 1, 2,..., 7
max ∑ ci xi
i =1
7
7 ∑ bi xi <= B i =1 1) 在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个； x1 + x2 + x3 <= 2 2) 在西区，A4，A5两个点中至少选一个； s.t x4 + x5 >= 1 x + x = 1 3) 在南区，A6，A7两个点为互斥点; 7 6 x2 - x5 <= 0 4) 选A2点必选A5点。 xi = 0，或1, i = 1, 2,..., 7
二、互排斥的约束条件
某产品有A 两种型号，需要经过B 例4.7 某产品有 1和A2两种型号，需要经过 1、B2、B3 三道工序，单位工时和利润、 三道工序，单位工时和利润、各工序每周工时限制见表 所示，问工厂如何安排生产，才能使总利润最大？（ ？（B 所示，问工厂如何安排生产，才能使总利润最大？（ 3 工序有两种加工方式B 产品为整数）。 工序有两种加工方式 31和B32，产品为整数）。 工序 型号 A1 A2
每周工时(小时 月 每周工时 小时/月) 小时
B1 0.3 0.7 250
B2 0.2 0.1 100
B3 B31 0.3 0.5 150 B32 0.2 0.4 120
百度文库
利润 （元/件） 件 25 40
– 解：设A1、A2产品的生产数量分别为 1、x2件，在不 产品的生产数量分别为x 考虑B 相互排斥的情况下， 考虑 31和B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为