微积分在高中物理学习中的应用_王露萱

脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行． 设滑板是光滑的，若运动员
与滑板 的 总 质 量 为 m = 70kg ，滑 板 的 总 面 积 为 S = 0． 12m2 ，水的密度为 ρ = 1． 0 × 103 kg / m3 ． 理论研究表明： 当滑 板与水平方向的夹角为 θ （ 板前端抬起的角度） 时，水对板的 作用力大小为 FN = ρSv2 sin2 θ ，方向垂直于板面（ 式中 v 为快 艇的牵引速度，S 为滑板的滑水面积） 求： 为使滑板能在水面 上滑行，快艇水平牵引的最小速度． （ 水的阻力忽略不计） ．
槡3 3
，sin2
θ
=
2 3
，即 umax
=
2槡3 9
．
槡 代入速度表达式中得： vmin =
3槡3 mg 2ρS
．
2 定积分在高中物理学习中的应用
定积分是无限分割的极限思想的体现，本质是连续函数
的求和． 高中物理常利用这种思想方法，按照定积分的定义，
∫t 2
变速直线运动路程可写成 s = v（ t） dt ； 变力做功问题可表
Abstract： This paper mainly introduces the applications of derivative and definite integral in high school physics learning，such as using derivatives to define a new physical quantity，finding the extreme value of physical quantities，and solving the high school physics problems by definite integral and so on． And it is instructed by examples．
运用导数方法求某个物理量的最值问题，方法固定，不 需太多解题技巧． 步骤如下： （ 1） 应用物理规律将已知量和
未知量之间建立函数式； （ 2） 求导并令其导数为零，得相关 方程，解此方程可得自变量或其表达式； （ 3） 将自变量代入
原函数式中求出的最值，即为所求物理问题的解． 例 1： 如图 1 所示，运动员在快艇的水平牵引力作用下，
［2］舒幼生． 高中物理竞赛培优教程［M］． 2 版． 浙江： 浙江大 学出版社，2012： 93 － 380．
［3］沈晨． 更高更妙的物理 冲刺全国高中物理竞赛［M］． 4 版． 浙江： 浙江大学出版社，2012： 30 － 150，171 － 264．
［4］张大同，范小辉，张伟平，等． 名牌大学自主招生高效备 考·物理［M］． 5 版． 上海： 华东师范大学出版社，2014： 216 － 234．
B2 l2 Ｒ
x
dx
0
∫v
= － m dv ③，解得 x
v0
=
mＲ（ v0－ v） B2 l2
④，当金属杆走完全部路
程 x0 时，金属杆的速度为零，因而 x0
=
mＲv0 B2 l2
⑤
，又
x
=
λx0
⑥，由④⑤⑥式得 v = v0 （ 1 － λ） ⑦ ，又 P = Fv ⑧ ，由①⑦⑧
式得 P
=
（1
－
2017 年 1 月 第 31 卷 第 1 期
阴山学刊 YINSHAN ACADEMIC JOUＲNAL
Jan． 2017 Vo1． 31 No． 1
微积分在高中物理学习中的应用* ?
王 露 萱1 ，云 文 在2
（ 1． 包头市第九中学； 2． 包头师范学院，内蒙古 包头 014030）
摘 要： 本文主要介绍了微积分中导数和定积分在高中物理学习中的应用，如用导数定义新物理量、求物 理量的最值，以及利用定积分解决高中物理问题等，同时通过实例给予说明．
=
ds dt
、α
=
dv dt
，合外力 F
=
dp dt
、瞬时功率 P
=
dW dt
、电流强度
I
=
dq dt
、电场强度 E
=
（
du dx
）
n
、感应电动势 ε
=
n
dφ dt
等．
其数学本质
都是导数，即通过对某一物理量的函数式求导，得到一个新的物理 量的定义，同时还可求得某些物理量的瞬时值．
1． 2 利用导数求物理量的最值
112
S 一定，v 是 θ 的函数． 当 θ 取一定值时 v 有最大值．
图 3 例 2 示意图
wk.baidu.com
图 2 例 1 中人受力分析 设 u = sin2 θcosθ ，则当 u 取最大值时，引牵速度 v 最小．
对 u 求导并令其为零：
du dθ
= 2sinθcosθ2
－ sin3 θ
=
0 ，解得
cosθ
=
关键词： 导数 ； 定积分； 物理量 中图分类号： G632． 0 文献标识码： A 文章编号： 1004 － 1869（ 2017） 01 － 0112 － 02 DOI： 10． 13388 / j． cnki． ysajs． 20161110． 001
人教版高中数学选修 2 － 2 教材新增加的微积分内容， 为解决高中物理问题提供了新的数学手段和方法． 高中物理
Ｒesearch on Application of Calculus in High School Physics Learning
WANG Lu － xuan1 ，YUN Wen － zai2 （ 1． No． 9 High School of Baotou； 2． Baotou Teachers College，Baotou 014010）
t1 b
∫ 示为 W = F（ x） dx 等． a
在高考、全国中学生物理竞赛及自主招生中经常用到定
积分解决相关问题． 仅以一例来说明定积分方法在解决物理
问题时的重要作用．
例 2（ 2012 年华约自主招生） ： 如图 3 所示，平行长直金
属导轨水平放置，导轨间距为 l ，一端接有阻值为 Ｒ 的电阻；
图 1 例 1 图示
分析： 滑水运动员在快艇牵引下的滑行过程中，滑板与
水平方向间的夹角 θ 与快艇的牵引速度 v 等都是相互联系
的． 要解决“快艇牵引滑板的最小速度”问题，需先弄清 S 、
v 、θ 等物理量之间函数关系．
解： 取滑板与运动员作为研究对象，滑板与运动员共受
三个力： 重 力 mg 、水 对 滑 板 的 弹 力 FN （ 方 向 与 滑 板 面 垂 直） 、绳子对运动员的拉力 F ． 因水的阻力忽略不计，故受力
课本中很多物理概念的建立和物理规律推导的过程中，都渗 透了微积分的思想，在高考试题、竞赛试题和自主招生试题
中也经常考查微积分的应用． 高中阶段的微积分知识主要包 括导数和定积分，在碰到具体问题时，要能够合理区分，选用
适合的方法处理问题．
1 导数在高中物理学习中的应用
1． 1 利用导数定义新物理量
高中物理中有些物理量可以用变化率来定义，如瞬时速度 v
率为：
P
=
（1
－
λ） 2 B2 l2 v0 Ｒ
．
证明： 设金属杆运动速度为 v ，所受到的安培力的大小
为 F ，经过的路程为 x ． 则有：
F
=
B2 l2 Ｒ
v
①，规定向右为正方
向，运动的起点为坐标原点，根据牛顿 第 二 定 律 有： － F =
∫ ma，即
－
B2 l2 v Ｒ
=
m
dv dt
②
，分 离 变 量，两 端 积 分
整个导轨处于 竖 直 向 下 的 匀 强 磁 场 中，磁 感 应 强 度 大 小 为
B ． 一根质量为 m 的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触
良好． 已知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为 v0 ，方 向平行于导轨． 忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦． 证明金
属杆运动到总路程的 λ（ 0 ≤ λ ≤ 1） 倍时，安培力的瞬时功
Key words： Derivative； Definite integral； Physical quantities
113
如图 2 所示．
由物体平衡条件可得； FN cosθ － mg = 0 ，又已知： FN =
槡 ρSv2 sin2 θ ，可得牵引速度为 v =
mg ρSsin2 θcosθ
，当
mg
、ρ
、
* 收稿日期： 2016 － 11 － 04 基金项目： 包头师范学院“质量工程”项目． 作者简介： 王露萱（ 1999 － ） ，女，内蒙古包头人． 通讯作者： 云文在（ 1964 － ） ，蒙古族，内蒙古土左旗人，教授，研究方向： 稳定性．
λ） 2 B2 l2 v0 Ｒ
．
总之，在高中阶段运用微积分的思想方法，可以为高中
生的物理学习提供有效的帮助，也能够为学生在进入大学之
后的学习打好基础，拓展学生的视野．
〔参考文献〕
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