非惯性坐标系中的静止液体

重力两部分组成：
f a g
z
将上式代入基本方程得：
1 g a p
其直角坐标系下的分量式为：
1 p
1 p
gx ax x , g y ay y ,
-→a 0
→
f
→g
x
→a
1 p
gz az z
3
则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表 示为：
dp [(gx ax )dx (g y ay )dy (gz az )dz]
x
xω2
0 rθ y
x
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由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为
-a，大小为rω2，其分量为
ax r 2 cos x 2 ay r 2 sin y 2
y yω2 rω2
x
xω2
0 rθ y
x
ω
az 0
于是，容器中液体所受的单位质量力为：
fx=2rcos =2 x
fy= 2rsin =2 y
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高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重 力。此时，压力全微分公式-gdz项可以忽 略，即
dp= (2 xdx+ 2 ydy-gdz)
可简化为：
dp=ρω2(xdx+ydy)
而等压液面方程则近似为：
2 r 2/ 2=C
近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径 为r0。
19
r0
20
积分：
p
r
dp 2rdr
60cm
¼ 水量
Φ30cm
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②等角速度旋转容器内液体的相对平衡
如图，是一个旋转容器，容器 半径为R。静止状态时，装有深度 为H的液体。
当容器以角速度ω做等速旋转 时，液体除受到重力作用外还要受 到离心惯性力的作用。
则单位质量流体的重力分量为
gx 0, g y 0, gz g ω
z
Oh
x
y yω2 rω2
压强分布为:
p g( 1 2r 2 z) C
2g
z
Oh
z0 x z
r 0, z 0, p p0 , C p0
p
p0
g( 1
2g
2r2
z)
g ( z0
z)
gh
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③高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓，转速少则几百转，
多则数万转。那么这种情况下，液体内 部的压力分布及自由面是什么样呢？
adx=-gdz
积分得
z =-ax/g+c
自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程
为：
zs
a g
x
说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为：
p (ax gz) c
7
z
可确定 c p0 则：
p p0 (ax gz)
改写成：
p
p0
g( a
g
x
z)
o
x
h
p0
r0
整理后：
p
p0
2

(r 2
r02 )
该式为离心机设计和操作分析中经常用到的 压力分布关系式。
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例:有一容器绕o-o‫׳‬轴匀速旋转，n=60000rpm， 已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,静止时水 面高度h=900mm。试求：r=30mm处的压强。
fz=-g
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将质量力代入全微分公式有：
dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)
由于等压面上dp=0,则等压面方程:
z
2 xdx+2 ydy -gdz=0
积分:
Oh
z0 x z
2 x2 y2 gz C , 1 2r2 gz C
2
2
r 0,
z 0, C 0,
z0
1 2g
2r2
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由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：
p [( gx ax )x (g y ay ) y (gz az )z] c
其中：c为积分常数，由具体问题确定。
4
例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽 车以等加速度a→做水平运动，车内液高H，试 求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状。 假定自由液面的压力为p0。
1
①直线等加速运动容器中的静止液体
如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直
线匀加速运动，其加速度 a为：
a ax i ay j az k
z
-→a 0
→
f
→g
x
→a
如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据
达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到
惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为
-a。
2
于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和
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例1 一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水 深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强。
解： p ax gz
a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入
p
g
1.15mH2O
注意坐标的正负号
z
x o
B
a
例3图
11
例2：
一加满水的柱体直径为30cm，60cm高，问逐 渐加上多少加速度会溢出1/4的水量？1/2的水量？ 全部的水量？
非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的， 在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其 表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因 此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
a→
式中 (ax / g z)项正好等于液体自由液面以下
的垂直深度h，
p p0 gh
此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力 同样只是液体深度的函数。
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1.平面上的等加速运动(非惯性/动坐标系)
X a,Y 0, Z g
z
ya
o
x
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
a
1
p x
0
p y
0
图2-12（a）
dp adx gdz 0
Z
1
p z
0
g
1
p z
0
等压面方程
dp 0
压强分布方程
p pa ax gz
ax gz 0
p ax gz c
x y z 0, p pa
dz
dx
a g
自由液面方程
边界条
9
件
2.容器沿斜面的等加速运动
质量力分量 X a g sin,Y 0, Z g cos
全微分方程 dp dW [(a g sin)dx g cosdz]
z
ya
o
x
p c (a g sin )x g cos z
x 0, z 0, p pa
a
c pa
压强分布方程 等压面方程
p pa (a g sin )x g cos z
dp 0
dz a g sin dx g cos
z
o
x
h
a→
5
解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于 静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质 量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：
gx 0, g y 0, gz g ax a, ay 0, az 0
带入压力全微分公式：
dp (adx gdz)
z
o
x
h
a→
由于自由液面为等压面，dp=0，所以有 6