高三资源-函数与导数专题复习

专题一—— 函数与导数

一、知识点

1、 切线方程：设切点00(,)x y ，则切线为000()()y y f x x x '-=-

2、 单调区间：()f x '的正负定增减，大小定陡缓。

3、 极值与极值点：极值点0x 是数不是点，满足0()0f x '=

极值是函数在极值点0x 处的函数值0()f x 。

极值点处定转折，极值大小定高低——用来确定图像

二、常考题型

1、 过一点求曲线的切线：分清是否为切点

（1） 已知切点，直接写

（2） 不是切点，设切点，写切线，代点定直线。

2、 不含参函数的单调区间：

步骤：1、定义域A 2、求()0f x '>的解集B

3、取A ，B 交集M

4、得结论()f x 在M 上递增，在A C M 上递减。

3、含参函数的单调区间：令()0f x '>，解含参不等式

一般步骤：

1、定义域分析化简不等式，

2、把不等式化成标准型

3、因式分解找根

4、讨论得解集，

5、分情况下结论

4、求极值与极值点：

求()0f x '=的根+检验两点（根是否在定义域内；根左右导数符号是否不同），代原函数得极值。

若定函数在含参区间上存有极值，则该区间至少包含一个极值点即可

5、含参函数在定区间存有极值：

解法一：令()0f x '=，分参，存有极值则有解当值域；存有几个极值，则化归为交点个数问题；不能分参或存有什么样的极值则根的分布

解法二：转化成不存有，令()0(0)f x '≥≤恒成立，然后取补集。

6、恒成立（或存有性）求参数范围问题：

首选分参求最值（特别是小题）；无法分参时，构造函数找最值

7、证明恒成立问题：

相同变量下，作差构造函数直接求最值；不同变量下，各自独立求最值

8、图像交点个数问题（或者是根的个数问题）：

分参定图像，平行直线与曲线相交，看交点个数。

9、不等式的证明问题：

（1）一般常借助上一问构造函数，利用新函数的单调性证明；（2）若定义域是*

N ，利用上一问的结论实行放缩，然后累加求和，一般和数列联系（较难）

三、典型例题：

1、已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．

(Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存有极值，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)设1()()1(1)x g x xf x a x ，若对任意(0,1)x 恒有()2g x ，求实数a 的取值范围．

2、已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（1，f(1)）处的切线方程。

（2）当0a >时，若()f x 在区间[1,e]上的最小值为-2，求实数a 的取值范围。

（3）若对任意的12,(0,),x x ∈+∞且121122,()2()2x x f x x f x x <+<+恒成立，求实数a 的取值范围。

3、已知函数()ln ,()22f x x g x x ==-，

(1)试判断函数F(x)=(2x +1)f(x)-g(x)在[1,)+∞上的单调性。

（2）当0

222()a b a a b

-+ (闭区间[m,n]的长度定义为n-m)

4、已知函数(),x f x e x R =∈

（1）求()f x 的反函数的图像上点（1，0）处的切线方程。 （2）证明：曲线()y f x =与曲线2112

y x x =

++有唯一的公共点。 （3）设,a b <比较()2a b f +与()()f b f a b a --的大小，并说明理由。

5、已知函数f （x ）=2(1)x ax x e +-，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．

（1）若a=1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；

（2）若a ＜0，求f （x ）的单调区间；

（3）若1a =-，函数f （x ）的图象与函数3211()32g x x x m =++的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围．

6、已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x =+

+的图像关于点A （0，1）对称. (1)求()f x 的解析式

(2)若2()[()]g x x f x a =-,且()g x 在区间[1,2]上为增函数,求实数a 的取值范围。

7、已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈

（1）求函数()f x 的单调区间

（2）设函数()a g x x

=-

，若至少存有一个0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围

8、设函数321()32

a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点（0，f(0)）处的切线方程为y=1. （1）求b,c 的值

（2）若a>0，求()f x 的单调区间。

（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间（-2，-1）内存有单调减区间，求实数a 的取值范围。

9、已知函数ln ()a x f x x

+=

（1）若a=4，求曲线()y f x =在点（e ，f(e)）处的切线方程.

（2）求()f x 的极值

（3）若函数()f x 的图像与()1g x =的图像在区间2(0,]e 上有公共点，求实数a 的取值范围。

10、设函数f(x)=ax+2，22()ln 2,g x a x x a R =-+∈，x ＞0，

(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程；

(2)是否存有负数a ，使f(x)≤g(x)对一切正数x 都成立？若存有，求出a 的取值范围；若不存有，请说明理由.

11、已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+

-（a R ∈） （1）当12

a ≤时，讨论()f x 的单调性。 （2）设2()24g x x bx =-+，当14

a =时，若对12(0,2),[1,2]x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 的取值范围。

12、已知1x =是函数()(2)x f x ax e =-的一个极值点

（1）求a 的值

（2）当12,[0,2]x x ∈时，证明：12()()f x f x e -≤

13、已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈

（1）当1a =时，求()f x 的单调区间。

（2）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，问：m 在什么范围内取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2

m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存有极值？

14、已知函数2()()7ln 1f x x a b x =+-+，其中a,b 是常数，且0a ≠

（1）若b=1时()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围。

（2）当247

b a =时讨论()f x 的单调性。 （3）设n 是正整数，证明：7222111111ln(1)(1...)7(1...)2323n n n +<+++++++++