功能原理 能量守恒定律
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12
36.9 º
(2)物体从 点反弹到最高点 物体从C点反弹到最高点 物体从 点反弹到最高点D 的过程中，反弹高度为h’ 的过程中，反弹高度为 初态机械能
r f
h’
1 2 Ec = k( BC ) 2 末态机械能 E D = mgh' 由功能原理 A外 + A 非保内 = ∆E
36.9º
h' 1 2 − f CD = − f = mgh'− k( BC ) sin 36.9° 2
5
四、功能原理和机械能守恒定律
1.质点系的功能原理 1.质点系的功能原理 利用质点系的动能定理： 利用质点系的动能定理：A外
+ A内 = ∆Ek
n
其中内力作功的代数和项 A内 =
∑
i =1
Ai内 可分为： 可分为：
系统内部保守力的功和内部非保守力的功， 系统内部保守力的功和内部非保守力的功， 内部保守力的功
1 1 2 2 Ai外 + Ai内 = mi vi − mi v0i 2 2 1 1 2 2 对所有质点求和： 对所有质点求和： Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ mi vi − ∑ mi v0i ∑ 2 2
4
令
Ek = ∑ Eki
i =1
n
为质点系的动能， 为质点系的动能，
有： A外 + ∑ A内 = Ek − Ek 0 = ∆Ek ∑
定义机械能为物体系的动能与势能之和。 定义机械能为物体系的动能与势能之和。 为物体系的动能与势能之和
E = Ek + E p A外 + A非保内 = ∆( Ek + Ep ) = ∆E
外力与非保守内力作功之和， 外力与非保守内力作功之和， 等于系统机械能的增量。 等于系统机械能的增量。 注意： 注意： 功能原理
11
质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有 定轴转动刚体的系统。 定轴转动刚体的系统。 机械能守恒定律只是普遍的能量转化和守恒定律 的特殊形式。各种形式的能量是可以相互转换的， 的特殊形式。各种形式的能量是可以相互转换的，但 是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭， 是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，只 能从一种形式转换成另一种形式， 能从一种形式转换成另一种形式，这一结论叫做能量 守恒定律。 守恒定律。 应用机械能守恒定律解题的思路和方法： 应用机械能守恒定律解题的思路和方法：明确物理过程 首先确定研究对象，研究对象必须是质点系； 后，首先确定研究对象，研究对象必须是质点系；然后 进行受力分析，只分析外力和非保守内力， 进行受力分析，只分析外力和非保守内力，判断它们作 功是否为零；若满足机械能守恒条件， 功是否为零；若满足机械能守恒条件，则用机械能守恒 定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点， 定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点，写 出初末状态的机械能，列出方程，求解。 出初末状态的机械能，列出方程，求解。
7
例：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s从斜面的点 ， 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的摩擦力为 8N，到达点 B 处下滑， ， 时，压缩弹簧20cm 达到C点停止，然后又被弹送回 压缩弹簧 达到 点停止， 求弹簧的劲度系数k和物体最后能到达的高度 和物体最后能到达的高度h’。 去。求弹簧的劲度系数 和物体最后能到达的高度 。 设弹簧系统的质量略去不计。 设弹簧系统的质量略去不计。 r f 以物体+弹簧 地球为研究对象， 弹簧+地球为研究对象 解：(1) 以物体 弹簧 地球为研究对象， v
A外 + A内 = ∆Ek
外力作功与内力作功代数和， 外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动能 的增量。 的增量。 ——质点系的动能定理 质点系的动能定理 注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的 注意：内力能改变系统的总动能， 总动量。 总动量。 因为内力总是成对出现， 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。但是由 于质点系内各质点间可以有相对位移， 于质点系内各质点间可以有相对位移，内力的功不一 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。
3
r r12
r dr2
二、质点系的动能定理
研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和， 研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和， 从而得到质点系所遵循的规律。 从而得到质点系所遵循的规律。 对其中第i个质点，动能定理可写为： 对其中第 个质点，动能定理可写为： 个质点
1 1 2 2 Ai = mi vi − mi v0i 2 2
A外 = 0, A非保内 = A阻 = ∆E
1 1 2 2 则 − f ( AC ) = k( BC ) − ( mvA + mgh ) 2 2
1 2 mvA + mg ( AC ) sin 36.9° − f ( AC ) 3 -1 k=2 =1.39 10N⋅m × 1 2 ( BC ) 2 9
Ai是作用在第 个质点上的所有力对质点 所作的功， 是作用在第i个质点上的所有力对质点 所作的功， 个质点上的所有力对质点i所作的功 它既包括质点系以外其它物体所施的作用力—外力的 它既包括质点系以外其它物体所施的作用力 外力的 功Ai外，又包括质点系内其它质点所施的作用力—内力 又包括质点系内其它质点所施的作用力 内力 外 的功A 内 的功 i内。
（机械能原理） 机械能原理）
1.注意与动能定理的区别：动能定理给出的是动能的 注意与动能定理的区别： 注意与动能定理的区别 改变与功的关系， 改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的 功能原理给出的是机械能的改变与功的关系， 功；功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，它， 只须计算保守内力之外的其它力的功。 只须计算保守内力之外的其它力的功。 2. 功能定理也只适用于惯性系。 功能定理也只适用于惯性系。
功能原理 能量守恒定律
1
质点系：由相互作用着的两个以上质点组成的系统。 质点系：由相互作用着的两个以上质点组成的系统。 质点系以外的物体对系内各质点的作用力称为外 质点系内各质点间的相互作用力称为内力。 力，质点系内各质点间的相互作用力称为内力。
一、内力的功
1.一对作用力与反作用力的功 一对作用力与反作用力的功 r r 是质点m 设 f12与 f21是质点 1、m2的一对作 r r 用力反作用力 f12 = − f21
m1
r r1
f 12
r r dr1
r r dr2 f 21
m2
o
r r12
dt时间内， m1和m2相对于某参照系有 时间内， r 时间内 r 这一对相互作用力作功之和为： 位移 dr1 和 dr2 。 这一对相互作用力作功之和为：
r r r r r r r r r r dA = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f12 ⋅ d (r1 − r2 ) 令 r1 −r2 = r12
r r = f12 ⋅ dr12
r 相对于m 的位移。 dr12 为m1相对于 2的位移。
2
r r r 相对于m 的位移。 dA = f12 ⋅ dr12 dr12 为m1相对于 2的位移。
r r 同理： 同理： dA = f 21 ⋅ dr21
r r1
m1
r r dr1
f12 r f 21
一对相互作用力的总功等于其 中一个质点受的力点乘其相对另一 m2 个质点的位移。 个质点的位移。由于一对作用力的 功只取决于两质点间的相对位移， 功只取决于两质点间的相对位移， 因而与参照系的选择无关。 因而与参照系的选择无关。 计算物体之间一对相互作用力作的功： 计算物体之间一对相互作用力作的功：将其中一个质 点看作静止而以它所在的位置为坐标原点， 点看作静止而以它所在的位置为坐标原点，再计算另 一质点在此坐标系中运动时它所受的力所作的功。 一质点在此坐标系中运动时它所受的力所作的功。 2.内力的功 内力的功 一般情况下， 一般情况下，由于质点系内各质点间可以有相对 位移，内力的功不一定为零。 位移，内力的功不一定为零。
A
受力分析， 受力分析， 重力、 重力、弹力是保守力不 考虑， 考虑，斜面的支持力 N 不作 功不考虑，只有摩擦力 f---系 功不考虑， 系 统内部非保守力作功， 统内部非保守力作功，
h
36.9º
重力 0 势点选在最低点 C，弹力 0 势点选在弹 ， 簧原长处 B 点，
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1 2 初态机械能： 初态机械能：E A = mvA + mgh h = AC sin 36.9° 2 r f 1 2 末态机械能： 末态机械能： = k( BC ) EC vA 2 A 由功能原理： 由功能原理： 外 + A 非保内 = ∆E
k( BC ) h' = = 0.84m 2(mg + f / sin 36.9°)
2
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2.机械能守恒定律 2.机械能守恒定律 由质点系的功能原理 若 A外 = 0且
A外 + A非保内 = ∆E
A非保内 = 0 ∆E = 0 机械能守恒定律
即 E−E =0 0
E0 = E = 恒量
对于一个系统， 对于一个系统，当合外力的功与内部非保守力的功 都为0时 系统的机械能守恒。 都为 时，系统的机械能守恒。 注意： 注意： 1.机械能守恒定律的条件是：A外=0且A非保内=0，不是 机械能守恒定律的条件是： 机械能守恒定律的条件是 且 ， A外+A非保内=0。 。 2.只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互转 只有保守力作功时， 只有保守力作功时 且转换的量值一定相等， 换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势 能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。 能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。
Q A = −∆Ep 保守力作功等于势能增量的负值 保 ∴ A外 + A内 = A外 + A非保内 + A保内
= A外 + A非保内− ∆Ep = ຫໍສະໝຸດ BaiduEk A外 + A非保内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆ ( Ek + E p )
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A外 + A非保内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆( Ek + E p )
36.9 º
(2)物体从 点反弹到最高点 物体从C点反弹到最高点 物体从 点反弹到最高点D 的过程中，反弹高度为h’ 的过程中，反弹高度为 初态机械能
r f
h’
1 2 Ec = k( BC ) 2 末态机械能 E D = mgh' 由功能原理 A外 + A 非保内 = ∆E
36.9º
h' 1 2 − f CD = − f = mgh'− k( BC ) sin 36.9° 2
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四、功能原理和机械能守恒定律
1.质点系的功能原理 1.质点系的功能原理 利用质点系的动能定理： 利用质点系的动能定理：A外
+ A内 = ∆Ek
n
其中内力作功的代数和项 A内 =
∑
i =1
Ai内 可分为： 可分为：
系统内部保守力的功和内部非保守力的功， 系统内部保守力的功和内部非保守力的功， 内部保守力的功
1 1 2 2 Ai外 + Ai内 = mi vi − mi v0i 2 2 1 1 2 2 对所有质点求和： 对所有质点求和： Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ mi vi − ∑ mi v0i ∑ 2 2
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令
Ek = ∑ Eki
i =1
n
为质点系的动能， 为质点系的动能，
有： A外 + ∑ A内 = Ek − Ek 0 = ∆Ek ∑
定义机械能为物体系的动能与势能之和。 定义机械能为物体系的动能与势能之和。 为物体系的动能与势能之和
E = Ek + E p A外 + A非保内 = ∆( Ek + Ep ) = ∆E
外力与非保守内力作功之和， 外力与非保守内力作功之和， 等于系统机械能的增量。 等于系统机械能的增量。 注意： 注意： 功能原理
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质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有 定轴转动刚体的系统。 定轴转动刚体的系统。 机械能守恒定律只是普遍的能量转化和守恒定律 的特殊形式。各种形式的能量是可以相互转换的， 的特殊形式。各种形式的能量是可以相互转换的，但 是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭， 是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，只 能从一种形式转换成另一种形式， 能从一种形式转换成另一种形式，这一结论叫做能量 守恒定律。 守恒定律。 应用机械能守恒定律解题的思路和方法： 应用机械能守恒定律解题的思路和方法：明确物理过程 首先确定研究对象，研究对象必须是质点系； 后，首先确定研究对象，研究对象必须是质点系；然后 进行受力分析，只分析外力和非保守内力， 进行受力分析，只分析外力和非保守内力，判断它们作 功是否为零；若满足机械能守恒条件， 功是否为零；若满足机械能守恒条件，则用机械能守恒 定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点， 定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点，写 出初末状态的机械能，列出方程，求解。 出初末状态的机械能，列出方程，求解。
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例：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s从斜面的点 ， 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的摩擦力为 8N，到达点 B 处下滑， ， 时，压缩弹簧20cm 达到C点停止，然后又被弹送回 压缩弹簧 达到 点停止， 求弹簧的劲度系数k和物体最后能到达的高度 和物体最后能到达的高度h’。 去。求弹簧的劲度系数 和物体最后能到达的高度 。 设弹簧系统的质量略去不计。 设弹簧系统的质量略去不计。 r f 以物体+弹簧 地球为研究对象， 弹簧+地球为研究对象 解：(1) 以物体 弹簧 地球为研究对象， v
A外 + A内 = ∆Ek
外力作功与内力作功代数和， 外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动能 的增量。 的增量。 ——质点系的动能定理 质点系的动能定理 注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的 注意：内力能改变系统的总动能， 总动量。 总动量。 因为内力总是成对出现， 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。但是由 于质点系内各质点间可以有相对位移， 于质点系内各质点间可以有相对位移，内力的功不一 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。
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r r12
r dr2
二、质点系的动能定理
研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和， 研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和， 从而得到质点系所遵循的规律。 从而得到质点系所遵循的规律。 对其中第i个质点，动能定理可写为： 对其中第 个质点，动能定理可写为： 个质点
1 1 2 2 Ai = mi vi − mi v0i 2 2
A外 = 0, A非保内 = A阻 = ∆E
1 1 2 2 则 − f ( AC ) = k( BC ) − ( mvA + mgh ) 2 2
1 2 mvA + mg ( AC ) sin 36.9° − f ( AC ) 3 -1 k=2 =1.39 10N⋅m × 1 2 ( BC ) 2 9
Ai是作用在第 个质点上的所有力对质点 所作的功， 是作用在第i个质点上的所有力对质点 所作的功， 个质点上的所有力对质点i所作的功 它既包括质点系以外其它物体所施的作用力—外力的 它既包括质点系以外其它物体所施的作用力 外力的 功Ai外，又包括质点系内其它质点所施的作用力—内力 又包括质点系内其它质点所施的作用力 内力 外 的功A 内 的功 i内。
（机械能原理） 机械能原理）
1.注意与动能定理的区别：动能定理给出的是动能的 注意与动能定理的区别： 注意与动能定理的区别 改变与功的关系， 改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的 功能原理给出的是机械能的改变与功的关系， 功；功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，它， 只须计算保守内力之外的其它力的功。 只须计算保守内力之外的其它力的功。 2. 功能定理也只适用于惯性系。 功能定理也只适用于惯性系。
功能原理 能量守恒定律
1
质点系：由相互作用着的两个以上质点组成的系统。 质点系：由相互作用着的两个以上质点组成的系统。 质点系以外的物体对系内各质点的作用力称为外 质点系内各质点间的相互作用力称为内力。 力，质点系内各质点间的相互作用力称为内力。
一、内力的功
1.一对作用力与反作用力的功 一对作用力与反作用力的功 r r 是质点m 设 f12与 f21是质点 1、m2的一对作 r r 用力反作用力 f12 = − f21
m1
r r1
f 12
r r dr1
r r dr2 f 21
m2
o
r r12
dt时间内， m1和m2相对于某参照系有 时间内， r 时间内 r 这一对相互作用力作功之和为： 位移 dr1 和 dr2 。 这一对相互作用力作功之和为：
r r r r r r r r r r dA = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f12 ⋅ d (r1 − r2 ) 令 r1 −r2 = r12
r r = f12 ⋅ dr12
r 相对于m 的位移。 dr12 为m1相对于 2的位移。
2
r r r 相对于m 的位移。 dA = f12 ⋅ dr12 dr12 为m1相对于 2的位移。
r r 同理： 同理： dA = f 21 ⋅ dr21
r r1
m1
r r dr1
f12 r f 21
一对相互作用力的总功等于其 中一个质点受的力点乘其相对另一 m2 个质点的位移。 个质点的位移。由于一对作用力的 功只取决于两质点间的相对位移， 功只取决于两质点间的相对位移， 因而与参照系的选择无关。 因而与参照系的选择无关。 计算物体之间一对相互作用力作的功： 计算物体之间一对相互作用力作的功：将其中一个质 点看作静止而以它所在的位置为坐标原点， 点看作静止而以它所在的位置为坐标原点，再计算另 一质点在此坐标系中运动时它所受的力所作的功。 一质点在此坐标系中运动时它所受的力所作的功。 2.内力的功 内力的功 一般情况下， 一般情况下，由于质点系内各质点间可以有相对 位移，内力的功不一定为零。 位移，内力的功不一定为零。
A
受力分析， 受力分析， 重力、 重力、弹力是保守力不 考虑， 考虑，斜面的支持力 N 不作 功不考虑，只有摩擦力 f---系 功不考虑， 系 统内部非保守力作功， 统内部非保守力作功，
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36.9º
重力 0 势点选在最低点 C，弹力 0 势点选在弹 ， 簧原长处 B 点，
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1 2 初态机械能： 初态机械能：E A = mvA + mgh h = AC sin 36.9° 2 r f 1 2 末态机械能： 末态机械能： = k( BC ) EC vA 2 A 由功能原理： 由功能原理： 外 + A 非保内 = ∆E
k( BC ) h' = = 0.84m 2(mg + f / sin 36.9°)
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2.机械能守恒定律 2.机械能守恒定律 由质点系的功能原理 若 A外 = 0且
A外 + A非保内 = ∆E
A非保内 = 0 ∆E = 0 机械能守恒定律
即 E−E =0 0
E0 = E = 恒量
对于一个系统， 对于一个系统，当合外力的功与内部非保守力的功 都为0时 系统的机械能守恒。 都为 时，系统的机械能守恒。 注意： 注意： 1.机械能守恒定律的条件是：A外=0且A非保内=0，不是 机械能守恒定律的条件是： 机械能守恒定律的条件是 且 ， A外+A非保内=0。 。 2.只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互转 只有保守力作功时， 只有保守力作功时 且转换的量值一定相等， 换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势 能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。 能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。
Q A = −∆Ep 保守力作功等于势能增量的负值 保 ∴ A外 + A内 = A外 + A非保内 + A保内
= A外 + A非保内− ∆Ep = ຫໍສະໝຸດ BaiduEk A外 + A非保内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆ ( Ek + E p )
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A外 + A非保内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆( Ek + E p )