成考数学教案_第3讲__函数2、3(指数函数和对数函数)

文化理论课教案
1
【组织教学】
1. 起立，师生互相问好
2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题
【导入新课】 【讲授新课】
第二章 函数 §2.2 函数（2） 一、指数函数
（一）指数的基本概念
1.正整数指数幂 n
n a a a a =⋅⋅⋅
个
（n 为正整数） 2.零指数幂 0
1n n
a a a
=
=（0a ≠）
3.负整数指数幂 n
1n
n
a
a a
--==（0a ≠）
4.分数指数幂
01m
n
m n
m n a a a
a -⎧=⎪⎪
>⎨=⎪⎪⎩
①正分数指数幂负分数指数幂 （）
② 5. 有理数指数幂 x a （x ∈R ）
（二）有理数指数幂的运算法则 ()0,0,,()x y x y x y xy
x x x a a a a a a b x y ab a b +⎧⎫
=⎪⎪=>>⎨⎬⎪⎪=⎩
⎭ 都是有理数.
例 化简9
9
10
10
2
91110⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪⎛⎫+⎨⎬⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭
解 9
9
99
18
10
10
1010
2
10
918
1811
1111101010⨯⎧⎫⎡⎤⎡⎤
⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+⎨⎬⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦
⎣⎦⎪⎪⎩
⎭
例 化简
1
1
2
112
()x y x
x y
y
-----
-+-+（）
解 原式=11=x y x y ---3
-3
+
+33
（）（）
例 化简
111
1
111
1
a a a
a
-----+-
+-
解 原式=1
2
1
2
1
11
2
1
1
2
2
2
2
(1)(1)
4444=
(1)(1)
1
11
1
a a
a a
a a a a a
a
a
a a -----------+-=
=
=
+-----
二、指数函数
1.定义 函数(0,1)x
y a a a =>≠ 叫做指数函数.
2
2.定义域 (,)-∞+∞
3.值域 (0,)+∞.
4.图像和性质 列表如下
例 计算
20.75
1
10.027+81
3
26
-----+1
-0
3（）（））
解 原式=13
3
-3
2
4
-1
3
3
4
11101310-632131036323627243
3
3
3
- ⨯-
+-+⨯=⨯-+-
+=
-+-
+=-（）（）（）
例 求10101010x x x
x
f x ---=
+（）的奇偶性、单调性和值域
解 因()x ()
x
101010101010=
==()10
10
10
10
1010
x x x x x x x x
x
x
f x f x -------------=
-
-+++（-），所以，为奇函数函数
因221010101=
101010
1x x x x
x
x
f x ----=
++（），x ∈R 且()1
()1x f x x f x →-∞=-⎧⎨→+∞=⎩时，时，故值域为(1,1)- 因212
1
1
2
2
1
21
21
2
1
22222222222222101101(10
1)(10
1)(101)(10
1)
2(1010
)
()==
10
1
10
1
(10
1)(10
1)
(10
1)(10
1)
x x x x x x x x x x x x x x f x ---+--+-∆=
-
++++++
且21x x >，故()>0f x ∆，函数是增函数. §2.3 函数（3）
一、对数
（一）对数的基本概念
1.对数的定义 如果0,1a a a >≠（）的b 次幂等于N ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b =.
2.对数的性质
(1)零和负数没有对数(因为0a >,b
a N =,使N 为零或负数的
b 并不存在). (2)1
log 0,log 1a a a ==
(3)log a N
a
N =
(4) 1a >,01x <<时,log 0a x <.
1a >,1x >时,1x a >,log 0a x >.
3
01a <<,01x <<时, log 0a x >. 01a <<,1x >时, log 0a x <.
(5) 单调性 l o g (1)a y x a => 在区间(0,)+∞是增函数,
log (01)a y x a =<< 在区间(0,)+∞是减函数.
（二）对数的运算法则
1. log ()log log a a a M N M N =+；
2. log ()log log a a a M M N N
=-
3. log ()log n a a M n M =；
4. 1log log a
a M n
=
（三）对数的换底公式 l o g l o g l o g c a c
N N a =
(四)常用对数与自然对数
以10为底的对数叫做常用对数：10log N ，简记为lg N
以e 为底的对数叫做自然对数：log e N ，简记为ln N . 2.7182818284590e = … 二、对数函数
1.定义 函数log (01)a y x a a =>≠且叫做对数函数
2.定义域与值域 定义域为(0,)+∞,值域为(,)-∞+∞.
3.图像和性质 列表如下
x
y
1.3log y x
=2log y x
=0.5log y x
=0.77log y x
=330.30.30.40.30.40.3()()[(1,0)][(1,0)]()().log log log log .
.
log log log log 0.50.4, 45; 0.5>0.5, 5<>>数数点的左边点的左边函数函数①同底异真对数值大小比较：
增函数真大对大，减函数真大对小如②异底同真对数值大小比较：
同性时：左边底大对也大，右边底大对却小 异性时：左边减大而增小，右边减小而增大 如0.4343343434log log log log log log log log log log 5; 0.5>0.5, 5<5
lg 2lg 2lg 2lg 2
68(61,81,68)lg 3
lg 4lg 3lg 4
>=+
=+
>⇒>③异底异真对数值大小比较：
同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较. 异性时：不易不求值而作比较，略. 如：y
4
例 求log (log )a a y x =的定义域
解 使log (log )a a y x =有意义的x 由下列不等式组确定
log 00a x x ⎧>⎨
>⎩ ① ②
即log log 10a a x x ⎧>⎨
>⎩ ① ②
当01a <<时，由①得x 增大，log a x 减小，要使log log 1a a x >成立，必须1x < 由②得0x >
0x >与1x <的公共部分: 01x <<，
当1a >时，由①得x 增大，log a x 增大，要使log log 1a a x >成立，必须1x > 由②得0x >
0x >与1x >的公共部分: 1x >， 因此，log (log
)a a
y x =的定义域为：01(01)
1(1)x a x a <<<<⎧⎨
>>⎩
时时 例[P.40(3)] 已知15log 5m =，求15log 3 解 1515
151515log 3log log 15log 515
m ==-=-
例[P.41(例3)]
求21lg 3
3
2
5816
10
lg
2lg
3
-+++的值
解 原式()(
)
12
213
22
3
2
11=2
3lg
lg =22
3lg
lg
422
-⨯-
-⎛⨯++⨯++ ⎝4
2
例[P.41(例4)] 计算()()4839lg 3lg 3lg 2lg 2++
()()439839=l o g 3l o g 2l o g 2l o g 3l o g 2l o g 2+++ 原式解
lg 3lg 2lg 2lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 33lg 2315
=
===2lg 2lg 32lg 33lg 2lg 32lg 32lg 22lg 33lg 22lg 3424
⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 例 （1）设13273x
⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，求x （2）1112733x
⎛⎫
≤≤ ⎪⎝⎭， （3）求x 求2
56
1()2x x f x -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭的单调区间
解（1）1
333log 3log 3log 27x -<<，13x <-<，31x -<<-
（2） 1
1
1
33
3
1113log log log 3
3
3
x ≥≥，3l x ≥≥，即l 3x ≤≤
（3）2
=26=(2)(3)y x x x x -+--的图像开口向上，且
05 2.52x -=-=，025241y ==44
---，即从点2.5
分别向左和向右，2
56
1()(
)
2x x f x -+=都分别减小，
故()f x 的单调区间是 2.52.5-∞⎧⎨
+∞⎩单调增区间单调减区间（，
）（，
）
2
2
6
2+⎝⎭
1.183
5
例[P .42(8)] αβ、为方程()2
2lg lg 20x x --=的两个根,求log log αββα+的值 解 ()
2
lg 2lg 20x x --=
,111
122
lg 110lg 110x x x x αβ⎧=-==⎨===⎩,
13
13
1110
10
log log =log
log
4αββα+
++=
+=-
【课堂总结】
一、课堂纪律和学习气氛 二、课程教学内容
1.函数(0,1)x y a a a =>≠ 叫做指数函数
2.如果0,1a a a >≠（）的b 次幂等于N ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作l o g a N b =函数l o g (01)
a y x a a =>≠且叫做对数函数 【布置作业】P.42练习2.3、P. 44(16)～(29).。