用导数研究三次函数

一、知识点解析 1、定义：

定义1、形如3

2

(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2

/

≠++=a c bx ax x f ，我们把

)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。

2、三次函数图象与性质的探究：

1、单调性

一般地，当032

≤-ac b 时，三次函数)0(2

3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032

>-ac b 时，三次函数)0(2

3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

2、对称中心

三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点

))3(,3(a

b

f a b --

，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题

（1）当032≤-=∆ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，

可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在)

,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时：

①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。 4、极值点问题

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)

在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。 当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

5、最值问题。

函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。 6、过三次函数上一点的切线问题

设点P 为三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

7、过三次函数外一点的切线问题

设点

)

,(00y x P 为三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有

直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）

8、32

()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：

二、经典题型

一、考查函数的奇偶性和单调性

例1 已知函数f(x)=x 3

+px+q(x ∈R)是奇函数，且在R 上是增函数，则（ ）

A 、p=0,q=0

B 、p ∈R,q=0

C 、p ≤0,q=0

D 、p ≥0,q=0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D 二、考查函数图象的对称性

例2 函数f(x)=x 3-3x 2

+x-1的图象关于（ ）对称

A 、直线x=1

B 、直线y=x

C 、点(1,-2)

D 、原点

解析 由f(x)=ax 3

+bx 2

+cx+d(a ≠0)的图象关于(

)

2

3

27233,a b

a bc a

b d +--成中心对称知选C 例3、（2013课标全国，16）若函数))(1()(2

2b ax x x x f ++-=的图像关于直线x=-2对称，则)(x f 的最大值为____________.

解析：函数))(1()(2

2

b ax x x x f ++-=的图象关于直线x=-2对称，则⎩⎨

⎧-=-=)

5()1()

4()0(f f f f

解得a=8，b=5，所以)158)(1()(2

2

++-=x x x x f 可以解得)(x f 的最大值为16。 三、运用函数的性质和数形结合思想解题

例4 已知函数f(x)=ax 3+bx 2

+cx+d 的图象如图所示，则（

A 、b ∈(-∞,0)

B 、b ∈(0,1)

C 、b ∈(1,2)

D 、b ∈(2,+ ∞)

解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又f(x)= ax 3-3ax 2

+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A

引申 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0） 例5（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ ）

（A ）∃x α∈R,f(x α)=0

（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减

（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =

解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则0)(='x f 由两个不相等的实数根

)(,2121x x x x <,))((323)(212x x x x b ax x x f --=++=',则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在),(21x x 上为减函数，在（x 2，,∞+)上为增函数，故C 错。D 正确。选C 。

四、考查单调区间、极值、最值的问题

x