用导数研究三次函数
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一、知识点解析 1、定义:
定义1、形如3
2
(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数,称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2
/
≠++=a c bx ax x f ,我们把
)3412422ac b ac b -=-=∆(,叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究:
1、单调性
一般地,当032
≤-ac b 时,三次函数)0(2
3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数;当032
>-ac b 时,三次函数)0(2
3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、对称中心
三次函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称,且对称中心为点
))3(,3(a
b
f a b --
,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y =f(x)图象的对称中心在导函数y =的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题
(1)当032≤-=∆ac b 时,由于不等式0)(≥'x f 恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根。
(2)当△=032>-ac b 时,由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ,不妨设21x x <,
可知,))(,(11x f x 为函数的极大值点,))(,(22x f x 为极小值点,且函数)(x f y =在)
,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增,在[]21,x x 上单调递减。 此时:
①若0)()(21>⋅x f x f ,即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧,图象均与x 轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f ,即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧,图象与x 轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根。
③若0)()(21=⋅x f x f ,即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等。 4、极值点问题
若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x)),则称函数f(x)
在点x 0处取得极大值(或极小值),称点x 0为极大值点(或极小值点)。 当0∆>时,三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0∆≤时,三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若,且,则:()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =;。 6、过三次函数上一点的切线问题
设点P 为三次函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点,则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心,则过点P 有且只有一条切线;若点P 不是三次函数图象的对称中心,则过点P 有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题
设点
)
,(00y x P 为三次函数)0()(2
3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外,则过点P 一定有
直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。(具体情况分析不作要求)
8、32
()0f x ax bx cx d a =+++>()类似于二次函数的图像和性质表:
二、经典题型
一、考查函数的奇偶性和单调性
例1 已知函数f(x)=x 3
+px+q(x ∈R)是奇函数,且在R 上是增函数,则( )
A 、p=0,q=0
B 、p ∈R,q=0
C 、p ≤0,q=0
D 、p ≥0,q=0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D 二、考查函数图象的对称性
例2 函数f(x)=x 3-3x 2
+x-1的图象关于( )对称
A 、直线x=1
B 、直线y=x
C 、点(1,-2)
D 、原点
解析 由f(x)=ax 3
+bx 2
+cx+d(a ≠0)的图象关于(
)
2
3
27233,a b
a bc a
b d +--成中心对称知选C 例3、(2013课标全国,16)若函数))(1()(2
2b ax x x x f ++-=的图像关于直线x=-2对称,则)(x f 的最大值为____________.
解析:函数))(1()(2
2
b ax x x x f ++-=的图象关于直线x=-2对称,则⎩⎨
⎧-=-=)
5()1()
4()0(f f f f
解得a=8,b=5,所以)158)(1()(2
2
++-=x x x x f 可以解得)(x f 的最大值为16。 三、运用函数的性质和数形结合思想解题
例4 已知函数f(x)=ax 3+bx 2
+cx+d 的图象如图所示,则(
A 、b ∈(-∞,0)
B 、b ∈(0,1)
C 、b ∈(1,2)
D 、b ∈(2,+ ∞)
解析 显然f(0)=d=0,由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0,又f(x)= ax 3-3ax 2
+2ax 比较系数可知b=-3a<0,故选A
引申 试确定的a,b,c,d 符号(答:a>0,b<0,c>0,d=0) 例5(2013课标全国Ⅱ卷,10)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ,下列结论中错误的是( )
(A )∃x α∈R,f(x α)=0
(B )函数y=f(x)的图像是中心对称图形
(C )若x α是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x α)单调递减
(D )若x 0是f (x )的极值点,则()0'0f x =
解析:由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,A 正确;由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点,则0)(='x f 由两个不相等的实数根
)(,2121x x x x <,))((323)(212x x x x b ax x x f --=++=',则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在),(21x x 上为减函数,在(x 2,,∞+)上为增函数,故C 错。D 正确。选C 。
四、考查单调区间、极值、最值的问题
x