高中数学 《曲线与方程》教案2 新人教选修2-1

2.5.2求曲线的方程

●教学目标

1．了解解析几何的基本思想；

2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；

3．初步掌握求曲线的方程的方法.

●教学重点

求曲线的方程

●教学难点

求曲线方程一般步骤的掌握.

●教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.

Ⅱ.讲授新课

1．解析几何与坐标法：

我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.

2．平面解析几何研究的主要问题：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

（2）通过方程，研究平面曲线的性质.

说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.

例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.

解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合M

|

2)7

2

2

2

+

=

+

x

-

y

x

+y

(

)3

(

(

)1

(-

)1

+

－

,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=

即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.

由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.

师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；

（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；

（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0;

（4）化方程f (x,y )=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.

师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.

例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.

解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B （图7—31），那么点M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P

由距离公式，点M 适合的条件可表示为：

2)2(22=--+y y x ①

将①式移项后再两边平方，得

x 2+(y －2)2=(y +2)2,化简得：28

1x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0,虽然原点O 的坐标（0，

0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是

28

1x y = (x ≠0) 。 师：上述两个例题让学生了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.

Ⅱ.课堂练习 课本P 39练习3

●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家初步认识坐标法研究几何问题的知识与观点，进而逐步掌握求曲线的方程的一般步骤.

● 课后作业

P 40习题A 组 3，4 B 组 2