考研微分方程知识归纳

考研微分方程知识归纳

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微分方程部分

重点内容

1、变量可分离的微分方程 (1）形式 ()()dy

f x

g y dx

=或121()()()()0M x M y dx N x N y dy += （2）通解 ()()dy

f x dx C

g y =+⎰⎰

或1212()()()()M x N y dx dy C N x M y +=⎰⎰ 2、齐次方程 (1）形式

()dy y

dx x

ϕ=或()dx x dy y ψ=

（2）通解

()du dx C u u x ϕ=+-⎰⎰（令y u x =,则y xu =，dy du u x dx dx =+)或

()du dx C u u x ψ=+-⎰⎰(令x u y

=，则x yu =,dx du u y dy dy =+) 3、一阶线性微分方程

(1)形式 )()(x q y x p y =+'

(2)通解()()(())p x dx p x dx

y e q x e dx C -⎰

⎰=+⎰

4、可降阶的高阶微分方程 (１)()

()n y

f x =，其中()f x 为已知函数

积分n 次可得其通解 (2)(,)y f x y '''=（不显含y ）

令y p '=，则y p '''=。于是,原方程可化为

(,)p f x p '=（一阶）①

设①的通解为1(,)p x C ϕ=，即 1(,)y x C ϕ'=（一阶)② 由②可得通解 1

2

(,)y x C dx C

ϕ=

+⎰

(３)(,)y f y y '''=(不显含x )

令y p '=，则dp dp dy dp y p p dx dy dx dy '''==

==。于是，原方程可化为 (,)dp

p

f y p dy

=（一阶）① 设①的通解为1(,)p y C ψ=，即

1(,)y y C ψ'=（一阶）② 由②可得通解

21(,)dy

x C y C ψ=+⎰

5、二阶线性微分方程 （1）形式

非齐次 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' (1） 齐次 0)()(=+'+''y x q y x p y （２） （２）解的结构

定理1 若)()(21x 、y x y 为(２）的两个解,则)()(2211x y C x y C +为(２)的解。

定理2 若)()(21x 、y x y 为（2)的两个线性无关的解，则)()(2211x y C x y C +为（２)的通解。 )()(21x 、y x y 线性无关≡/⇔

)

((21x y x

y 常数。 定理3 若)()(21x 、y x y 为(1)的两个解,则)()(21x y x y -为（２）的解。 定理4 若)(0x y 为（２）的解,)(x y 为(1）的解,则)(0x y )(x y +为(1)的解。

定理５ 若)()(2211x y C x y C +为(2)的通解,)(x y *

为（1)的一个特解解,则(１)通解为

++=)()(2211x y C x y C y )(x y *

6、二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程

0=+'+''y q y p y （q p ,为常数)

的通解:特征方程2

0p q λλ++=的判别式q p 42

-=∆

1212x x y C e C e λλ=+(0>∆，有两相异实根12,λλ）

012()x y C C x e λ=+（0=∆，有两相等实根120λλλ==） 12(cos sin )x y C x C x e αββ=+(0<∆,有一对共轭复根

1,2i λαβ=±）

二阶常系数非齐次线性微分方程

)(x f y q y p y =+'+''(q p ,为常数，)(x f 为已知函数,称为自由

项）

特解的表示:

(１)若()()x

n f x P x e α=(其中()n P x 为n 次多项式），则可设特解

()k x n y x Q x e α*=

其中()n Q x 为(系数待定的)n 次多项式,0,1,2,k ααα⎧⎪

=⎨⎪⎩

不是特征根

是单特征根

是重特征根

注意 当()()n f x P x =即0α=时，也要考虑其是否为特征根！ （２）若()cos x

f x ae

x αβ=或()sin x f x be x αβ=，则可设特解 (cos sin )k x y x e A x B x αββ*=+

其中,A B 为（待定)常数，0,1,i k i αβαβ±⎧=⎨

±⎩不是特征根

是特征根

(3）若12()()()f x f x f x =+，且1y *

为

1()y py q y f x '''++=

的特解，2y *

为

2()y py q y f x '''++=

的特解,则1y y **=+2y *

为

12()()y py q y f x f x '''++=+

的特解(特解的可叠加性)。

7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 （1)三阶0y py qy ry ''''''+++=