新定义数列与不等式应用精讲

第3讲新定义数列与

不等式应用精讲

教师备案

一、总体架构安排

1．总体说明

数列在北京高考中有简单题与难题两类，不等式常常作为工具与其它知识结合考查．

数列的简单题考查等差与等比数列的基本量、性质与求和，是一轮复习的重点．难题多以新的递推形式、数列的新定义性质等方式出现，有时会与不等式、函数等内容综合，这是二轮复习的重点．不等式的直接考查多是线性规划问题，已经在一轮复习时进行总结，这里主要解决恒成立的转化问题、函数与不等式结合的问题等．

本讲例题安排：

2．时间安排

本讲难度适中，建议课时3小时．

二、一轮、二轮、三轮复习衔接

一轮复习时，我们用5讲来复习本块知识．数列部分详细梳理了等差与等比数列的基本量、性质与证明、数列的递推求通项与数列的求和方法，以及数学归纳法；不等式部分梳理了不等式的性质、解不等式、不等式证明的各种方法，以及数列与不等式综合中的简单放缩法．

二轮复习以数列的创新小题、数列与其它知识的综合问题、不等式的恒成立转化问题为重点，通过这些较综合的问题更加深入理解数列与不等式，也让学生提前感受一下数列创新题的解决思路，为三轮复习作准备．

三轮复习中的数列与不等式问题只在快速解决选择填空与创新小题两讲中个别涉及，在创新大题一讲中涉及到一些与数列与不等式相关的压轴题类型，不再系统地复习数列与不等式．

<教师备案>

本版块分为两部分，数列部分主要回顾等差数列与等比数列的基本量、性质与求和；不等式部分回顾了不等式的性质、解不等式与均值不等式．

建议时间20分钟，星级表示难度，星星越多，难度较高．建议尖子班讲一星、二星的问题为主，目标班与目标123班着重讲三星的问题． 一、数列

1． （★）小题快练：

⑴（广东文）若等比数列{}n a 满足2412

a a =

，则2

135a a a =______． ⑵（江西）设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____． ⑶（石景山高三期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =_____．

⑷（海淀高三期末）若数列{}n a 满足：119a =，()

*

13n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为

_______．

⑸ （东城高三期末）在等差数列{}n a 中，若574a a +=，682a a +=-，则数列{}n a 的公差等于；其前n 项和n S 的最大值为．

⑹（石景山一模）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________．

⑺（全国卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前100项和为_________．

⑻（海淀一模）在等比数列{}n a 中，18a =，435a a a =，则7a =________．

⑼（东城一模）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为______． ⑽（新课标）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=_______．

二、不等式

知识回顾

2．（★）（江西文）不等式29

02

x x ->-的解集是___________．

3．（★★）已知a b c d ，，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．（★★）（浙江理）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <

或1

b a

>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．（★★★）（福建）下列不等式一定成立的是（）

A ．()2

1lg lg 04

x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝

⎭

B ．()1

sin 2πsin x x k k x

+

∈Z ≥≠， C ．()2

12x x x +∈R ≥

D ．

()21

11

x x >∈+R 6．（★★★）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）

A ．3

B ．4

C ．

92

D ．

112

解析与答案： 1．⑴

14；⑵35；⑶72；⑷7；⑸357-，；⑹10；⑺100101；⑻18

；⑼-；⑽7-． 2．(3,2)(3,)-+∞；

3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．B ．

知识纵横

<教师备案>

该版块列出了数列与不等式的知识点网络体系，可以作为学生对自己的知识体系与基本方法掌握程度的检验．数列部分的重点是等差数列与等比数列的性质与求和；不等式部分的重点是一元二次不等式．补充一些知识点如下：

【补充1】从函数角度看等差数列的通项公式与前n 项和公式．（只考虑0d ≠）

11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，n a 是关于n 的一次函数，一次项系数为公差d ，数列一定单调增加或单

调减少；

211(1)222n n n d d S na d n a n -⎛

⎫=+

=+- ⎪⎝

⎭，n S 是关于n 的二次函数，且常数项为零，二次项系数是2d ．0d >时，n S 有最小值；0d <时，n S 有最大值．n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是等差数列，公差为2d ． 例：等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问n =______，n S 有最大值． 解：由10a >，917S S =知0d <，n S 对应的图象的对称轴为917

132

n +==，故13S 为最大值． 更多补充例题见知识回顾数列5与例1⑵．

【补充2】等比数列前n 项和公式的形式．（只考虑1q ≠）

111n n n a a a q q q -==

⋅，111(1)111n n n a q a a

S q q q q

-==-+---； 它们都是指数函数进行伸缩或平移得到的．

例：等比数列{}n a 的前n 项和n n S b r =+，问r =_____． 解：由等比数列前n 项和的公式形式直接可得1r =-．

【补充3】等差数列与等比数列有相同项的一个结论：

如果一个等差数列的连续三项构成等比数列，则这个等差数列必为常数列．

可以从函数角度直接得到这个结论，因为一个一次函数与一个指数函数最多有两个交点， 所以连续三项既是等差又是等比，则这个数列只可能为常数列．