微积分B(1)第12次习题课(函数项级数)答案

n =1
在区间 [0, +∞) 上有定义． ．
设 f ( x) = x e ， x ∈ [0, +∞) ，则
2 − nx
f ′( x) = e− nx (2 x − nx 2 ) = e− nx x(2 − nx)
2 令 f ′( x) = 0 ，得 x = 0, x = n ． 2 2 因为当 x ∈ (0, n ) 时， f ′( x) > 0 ，当 x ∈ ( , +∞) 时， f ′( x) < 0 ，所以 f ( x) 在 [0, +∞) 上的 n 4 最大值为 f ( 2 )= ，从而 n ne 4 1 0 ≤ nx e ≤ ⋅ ， x ∈ [0, +∞) ． e n n 因为级数 ∑ n 1 n 收敛，所以函数 S ( x) = ∑ nx e 在 [0, +∞) 上有界． 注：能用优势判别法判断一致收敛的级数的和函数均是有界函数． 7．证明：若函数列 { f ( x)} 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，而每一个 f ( x) 在区间 I 上有界， 则函数列 { f ( x)} 在区间 I 上一致有界． 证：因为 { f ( x)} 在 I 上一致收敛于 f ( x) ，所以对于 ε = 1 ， ∃N ，当 n > N 时，对 ∀x ∈ I 有 f ( x) − f ( x) < 1 ． 取定 n > N ，有
2 2 n
1, x ≠ 0, x2 = S ( x) = ∑ 2 n n =1 (1 + x ) 0, x = 0
∞ ∞
2 2 n
在 x = 0 处不连续，
所以级数 ∑ (1 +xx ) 在区间 (−∞, +∞) 上非一致收敛． 1 2．设函数 f ( x) 在区间 (−∞, +∞) 内具有连续导数， g ( x) = n[ f ( x + ) − f ( x)] ．求证： n （1）*在任意闭区间 [a, b] 上， {g ( x)} 一致收敛于 f ′( x) ； （2） lim ∫ g ( x)dx = f (b) − f (a) ． 证： （1）根据拉格朗日中值定理， 1 θ ( x, n) g ( x) = n[ f ( x + ) − f ( x)] = f ′( x + ) (0 < θ ( x, n) < 1) ． n n 因为 f ′( x) 在区间 (−∞, +∞) 内连续，所以在有界闭区间 [a, b + 1] 上一致连续．即对于任 意 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得当 x, y ∈ [a, b + 1] ，且 x − y < δ 时， f ′( x) − f ′( y ) < ε ． 1 取N >δ ，则当 n > N 时，对任意的 x ∈[a, b] ，取 y = x + θ ( xn, n) ，则有 x− y <δ ， 所以
3 x 3 a ≤2 ≤ ． n ln n 2 n ln n
∞
又因为级数 ∑ n lna n 收敛，所以级数 ∑ ln(1 + n lnx n ) 在区间 (−a, a) 上一致收敛．
n=2
2
n=2
2
nx （ 2 ）因为 1 +nx ≤ n x 2n x
5 2
5 2
=
1 2n
3 2
nx ，且级数 ∑ 21 收敛，所以级数 在区间 ∑ 1+ n x n
∞ ∞ n n n n =1 n =1 n =1 ∞ n n =1 ∞ n n n =1 ∞ n n =1 ∞ n n =1
0
0
对任意的 x ∈ (−1,1) ，取 δ = 1 +2x ，则 x < δ < 1 ． 对 ∀x ∈[−δ ,δ ] 及任意正整数 n ，都有 1 1 1 ( x + ) ≤ ( x + ) ≤ (δ + ) ． n n n 1 根据根式判敛法可知级数 ∑ (δ + 1 ) 收敛，所以级数 ∑ ( x + ) 在 [−δ , δ ] 上一致收敛． n n
n
n
2
2
n=0
n
n
∞
n
x →1
n=0
n
∞
n
n
n =1
∞
∞
∞
n
n
n
n =1
n =1
n =1
∞
n
n =1
n +1
n+2
n+ p
+
n
n +1
n+ 2
n+ p
Page 3
of 14
根据数项级数的 Cauchy 收敛准则可知级数 ∑ u (a) 收敛． 同理可证级数 ∑ u (b) 收敛． （2） 由 （1） 的证明过程可知， 对 ∀ε > 0 ，∃N ， 使得当 n > N 时， 对任意正整数 p ， 及 ∀x ∈[a, b] ， 都有 u ( x ) + u ( x) + ⋯ + u ( x ) ≤ε ． 由一致收敛的 Cauchy 准则可知 ∑ u ( x) 在 [a, b] 上一致收敛． 1 5．设函数 f ( x) = ∑ ( x + ) ． n （1）确定 f ( x) 的定义域 D ； （2）*证明 ∑ ( x + 1 ) 在 D 上不一致收敛； n （3）证明 f ( x) ∈ C (D) ．
+∞ ∞ n =1
3 2
n =1
5
2
上一致收敛． 1) （3）法 1：对任意的 x ∈ (−∞, +∞) ，级数 ∑ n(−−sin 均是莱布尼茨型交错级数，因为 x
(−∞, +∞)
∞ n n=2
(−1) n 1 < n − sin x n − 1
n
，
∞ n n=2
( −1) (−1) 且 lim n 1 = 0 ，所以数列 在 在区间 (−∞, +∞) 上一致趋向于零．故级数 ∑ n − sin x −1 n − sin x
1
∞ ∞ n=2 ∞ 2 n =1 ∞ 5 2 n n=2 ∞ n=2 ∞ 2 2 n n =1 n n =1 2 n
解： （1）当 x < a 时，因为 lim
ln(1 +
n →∞
x ) n ln 2 n = 1 x n ln 2 n
，所以当 n 充分大时， 有
2 2
ln(1 +
∞
x ) n ln 2 n
n n
lim ∫ g n ( x)dx = ∫ lim g n ( x)dx = ∫ f ′( x)dx = f (b) − f (a)
n →∞ a a n →∞ a
b
b
b
．
x ．设函数 S ( x) = ∑ 3 cos nπx ． x （1）证明：当 0 < L < 3 时，级数 ∑ 3 （2）求极限 lim S ( x) ．
∞
n n =1
∞
n
n =1
n +1
n+2
n+ p
∞
nn =1ຫໍສະໝຸດ ∞nn =1
∞
n
n =1
解： （1）因为
n →∞
1 1 lim n ( x + )n = lim x + = x n →∞ n n
，所以当 x < 1 时级数绝对收敛，当 x > 1 时级
∞ n
数发散． 1 1 又因为级数 ∑ (1 + 1 ) 与 ∑ (−1) (1 − ) 的通项不是无穷小量，所以级数 ∑ ( x + ) 在 n n n x = 1 时发散． 综上可知，函数 f ( x) = ∑ ( x + 1 ) 的定义域为 D = (−1, 1) ． n 1 （2） （反证法）假设级数 ∑ ( x + 1 ) 在区间 (−1,1) 上一致收敛．因为函数 ( x + ) (n = 1, 2,⋯) n n 在区间 [−1, 1] 上连续，所以级数 ∑ ( x + 1 ) 在 x = ±1 时收敛（见第 4 题证明） ． n 这与级数 ∑ ( x + 1 ) 在 x = 1 时发散矛盾． n （3）只须证 ∀x ∈ (−1, 1) ， f ( x) 在 x 连续．
∞ n n n =1
0
0
∞
2 − nx
n =1
n →∞
∞
lim
n + 1x 2 e− ( n +1) x n + 1 −x = lim e = e− x < 1 2 − nx n →∞ nx e n
，
所以级数 ∑ nx e ． 综上可知，函数 S ( x) = ∑
2 − nx
n =1
∞
nx 2 e − nx
0 0 0
n n n ∞ ∞ n n n =1 n =1
Page 4
of 14
1 又因为 ( x + 1 ) ∈ C[−δ , δ ] ，所以 f ( x) = ∑ ( x + ) 在 [−δ , δ ] 上连续． n n 特别地，函数 f ( x) 在 x 处连续． 由 x 的任意性可知 f ( x) ∈ C (−1,1) ． 6．证明：函数 S ( x) = ∑ nx e 在区间 [0, +∞) 上有定义且有界． 证：当 x = 0 时，级数显然收敛． x > 0 时，因为
一、函数项级数
．考察下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明 （1） ∑ ln(1 + n lnx n ) ， x < a ； （2） ∑ 1 +nx , x ∈ (−∞, +∞) ； n x 1) （3） ∑ n(−−sin ； （4） ∑ ln(1 + n lnx n ), x ∈ [1, +∞) ； x （5） ∑ 2 sin 31x , x ∈ (0, +∞) ； （6） ∑ (1 +xx ) , x ∈ (−∞, +∞) ．