统计概率知识点梳理总结

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统计概率知识点梳理总结

第一章 随机事件与概率
一、教学要求
1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与
运算．

2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．
3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运
用这些公式进行概率计算．

4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．
5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率
计算有关事件的概率．

本章重点：随机事件的概率计算．

二、知识要点
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；
(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用表示，其中的每一个结果用
e
表示，e称为样本空间中的样本点，记作{}e．
2．随机事件
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在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现
某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作)与不可能事件
(记作)

看作特殊的随机事件．

3．**事件的关系及运算
(1) 包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记
作AB(或BA)．

(2) 相等：若两事件A与B相互包含，即AB且BA，那么，称事件A与B相
等，记作AB．

(3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事
件，记作AB；“n个事件1,2,,nAAA中至少有一事件发生”这一事件称为

1,2,,n
AAA
的和，记作12nAAA（简记为1niiA）．

(4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作
AB(简记为AB
)；“n个事件1,2,,nAAA同时发生”这一事件称为

1,2,,n
AAA
的积事件，记作12nAAA（简记为12nAAA或
1niiA

)．

(5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即
AB
，那么称事件A与B互不

相容(或互斥)，若n个事件1,2,,nAAA中任意两个事件不能同时发生，即
ij
AA
(1≤i1,2,,n

AAA
互不相容．

(6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即
AB
且

AB
，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作A．

(7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的
差事件，记作AB(或AB) ．
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(8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B有
ABBA，ABBA
．

(9) 结合律：对任意事件A，B，C有
()()ABCABC， ()()ABCABC
．

(10) 分配律：对任意事件A，B，C有
()()()ABCABAC， ()()()ABCABAC
．

(11) 德摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有
ABAB, ABAB
.

4．频率与概率的定义
(1) 频率的定义

设随机事件A在n次重复试验中发生了
An次，则比值A

n

／n称为随机事件A发生

的频率，记作()nfA，即
()AnnfAn
.

(2) 概率的统计定义
在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大
时，频率()nfA在一个稳定的值
p(0<1)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值

p
为概率，即()PAp．

(3) **古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：

(i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作12{,,,}neee;
(ii) 在每次试验中，每个样本点ie(
1,2,,in
）出现的概率相同，即
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12({})({})({})n
PePePe
．

在古典概型中，规定事件A的概率为

()AnAPAn
中所含样本点的个数中所含样本点的个数
．

(4) 几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区
域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为

()APA
的长度（或面积、体积）
样本空间的的长度（或面积、体积）
·

(5) 概率的公理化定义
设随机试验的样本空间为，随机事件A是的子集，
()PA
是实值函数，若满足

下列三条公理：

公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有
()PA
≥0；

公理2 (规范性) 对于必然事件，有
()1P
；

公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件
1,2,,,n

AAA
，有

11()()iiiiPAPA




，

则称()PA为随机事件Ａ的概率．
5．**概率的性质
由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质
(1)
()0P
．

(2) (有限可加性) 设n个事件
1,2,,n

AAA
两两互不相容，则有
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121()()nni
iPAAAPA




．

(3) 对于任意一个事件A：
()1()PAPA
．

(4) 若事件A，B满足AB，则有
()()()PBAPBPA
,

()()PAPB
．

(5) 对于任意一个事件A，有
()1PA
．

(6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有
()()()()PABPAPBPAB
.

对于任意n个事件1,2,,nAAA，有
111111()()()()(1)()nnniiijijkniijnijkniPAPAPAAPAAAPAA





.

6．**条件概率与乘法公式
设A与B是两个事件．在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，
记作(|)PAB．当()0PB，规定
()(|)()PAB
PABPB

.

在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质．
乘法公式：对于任意两个事件A与B，当()0PA,
()0PB
时，有

()()(|)()(|)PABPAPBAPBPAB
.

7．*随机事件的相互独立性
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如果事件A与B满足
()()()PABPAPB
，

那么，称事件A与B相互独立．
关于事件A，月的独立性有下列两条性质：
(1) 如果
()0PA，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是(|)()PBAPB
；

如果()0PB，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是(|)()PABPA．
这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”．
(2) 下列四个命题是等价的：
(i) 事件A与B相互独立；
(ii) 事件A与B相互独立；
(iii) 事件A与B相互独立；
(iv) 事件A与B相互独立．
对于任意n个事件
1,2,,n

AAA
相互独立性定义如下：对任意一个2,,kn，任意的

11k
iin
，若事件1,2,,nAAA总满足

11()()()kk
iiii
PAAPAPA
，

则称事件1,2,,nAAA相互独立．这里实际上包含了21nn个等式．
8．*贝努里概型与二项概率
设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率
()(01)PApp
，则在n次重复独立

试验中．，事件Ａ恰发生k次的概率为
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()(1),0,1,,knknnPkppknk



，

称这组概率为二项概率．
9．**全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式：如果事件
1,2,,n

AAA
两两互不相容，且1niiA，()0iPA，

1,2,,in
，则

1()(|)(|),1,2,,()(|)kkkniiiPAPBAPABknPAPBA



．

第二章 离散型随机变量及其分布
一、教学要求
1．理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分
布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用．

２．理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计
算有关事件的概率．

３．理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布．
4．掌握离散型随机变量独立的条件．
5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布．
本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算．

二、知识要点
1．一维随机变量