第三章无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法

sjco so s i c no ,s 又 sj
因此 cossoin cos （带通变换关系 ）
带通变换的频率关系
图中0点正好映射在 0上，而映射在0，
0
1.0
图1 高通变换频率关系
0映射到即 z1
映射到 0 即 z 1
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相
对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模
拟低通变为数字高通,如图2。
图2 高通原型变换
应当明确：
所谓高通DF，并不是ω高到 ，由于数字频域存在 折叠频
率 ，对于实数响应的数字滤波器， 由 ~2部分只 是，高通由 也仅~指的0这镜一象段部的分高，端因，此即有到效的数字域为仅止是的部 分 。0~
b. 双线性变换法
（一）首先确定数字域临界频率c2fcT0.5
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临
界频率
c
2tgc
T 2
2 T
(三 ) s以/c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 1
H a(s) 1 2 (s/ c) 2 (s/ c)2 (s/ c)3
并将c 2/T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。
第三章无限长单位 脉冲响应滤波器的
设计方法
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤 波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临 界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数）
例如，fs4KH ,fcz1KH与zfs4K 0 H ,fcz1K 0 H的z 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。
最后得： H (Z ) 1 0 1 ..2 50 7 z 17 1 1 9 0 .1 1 .59 z 7 1 0 0 .5 1 0 .2 5 5 z 1 0 z 4 27 19
求得最小的N：
1 10lgA2
e(dB)
A2 101.9
S、 c、 A2及
Nccoos1s1hh A2s/ 1c/
wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s'); [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s'); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('') ylabel('幅度/dB')
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
H (s )a c c / 3 e j/6 c / 3 e j/6 s cs c ( 1 j3 )/2s c ( 1 j3 )/2
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 有
A 1 c ,s 1 c ;A 2 c /3 e j /6
z1，满足这一要求的双线性变换为：
sz e z j o 1 z (z 1 e ) j o z 2 2 z z 2 c 1 o o 1 s
图1 带通原型变换
z e
当
j 时
s e j2 2 e e j2 j c 1o o 1 s e j e e j j e 2 j co o s
[B,A]=butter(3,2*pi*1000,'s'); [num1,den1]=impinvar(B,A,4000); [h1,w]=freqz(num1,den1); [B,A]=butter(3,2/0.00025,'s'); [num2,den2]=bilinear(B,A,4000); [h2,w]=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),'-.',f,abs(h2),'-'); grid; xlabel('频率/Hz ') ylabel('幅值/dB')
合并上式后两项，并将 c2fcT0.5 代入，计算得：
H (Z ) T 1 1 0 1 .2 .50 7 Z 1 7 1 1 9 0 .1 1 .59 Z 7 1 0 0 .5 1 0 .5 2 5 Z 0 1 4 Z 2 7 1 9
可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 C 有关，即只与fc和fs的相 对值 fc / fs 有关，而与采样频率fs无直接关系。
高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型
预畸的临界频率时，应采用
k
T ctgk
2 2
,不必加负
号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。
例： 采样 fs1k0H ,T z10 u,0 s设计一个三阶切比雪夫
高通DF，其通过频率f 2.5kH（z但不必考虑 fs 5kHz 以上
的频率分量），通带内损耗不大于1dB。
s T 1 z1 2 1 z1
由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，
也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 j 轴仍
映射在单位圆上，只是方向颠倒了。
即
Z ej 时 ,s T 21 1 e e j j T 2jc t2 g j
T ctg
如图
2 2
1.0
T ctg
2 2
1 z 1 3 1 z 1 3 4 1 z 1 1 z 1 1 z 1 3
1 z 1
1 z 1 3 1 2 z 1 z 2 2 2 z 1 1 z 1
2 2 z 1 1 2 z 1 z 2
1 z 1 3 3 z 2 1 z 1 1 z 1
频率变换
模拟原型
数字低通、高通、带通、带阻
这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。 变换方法的选用： 脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只
能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使 用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响 应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用 于第一种方法中。 双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况 也是如此。 基于双线性变换法的高通滤波器设计： 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量 的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中 的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器. 即
s 2 c ( 1 j3 ) / 2 ; A 3 c /3 e j/ 6 , s 3 c ( 1 j3 ) / 2
将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：
H(Z)iN 11eA SiT i Z1
, S i --极点
并将 c c /T 代入，得：
H ( Z ) 1 e C /c T Z 1 1 ( e c / c ( 1 3 jT 3 ) )e /2 j Z / 6 1 1 (e c /c ( 1 3 j T 3 ) ) e /2 Z j /1 6
幅 度 /dB
频率/Hz
切比雪夫高通滤波器
三．带通变换 如图1 ,如果数字频域上带通的中心频率为 0，则带通变换
的目的是将:
模拟低通 00
0 映 射 0 0
0 映 射 0 0
（频率映射关系具有周期性, 幅频响应具有原点对称性）。
即将S的原点映射到 zej0 ，而将S j点映射到
1 2
1 z 1 3 3 z2
脉冲响应不变法 双线性变换法
fs/2 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响
我们也可以用 MATLAB 完成设计，在 MATLAB 中相关的语句有 butter（巴特沃兹滤波器）、impinvar（脉冲响应不变法）、 bilinear（双线性变换）， 具体的程序如下：
例1 设采样周期 T25s0 (fs4kh)z,设计一个三阶巴特沃
兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc
=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
2
解：首先确定数字域截止频率 12 f1 T0 .5 ,
则
1
Tctg1T
2 2 2
切比雪夫低通原型的模函数为：
Ha(j)212VN 21/1
VN (•) 为N阶切比雪夫多项式
通带损耗 1dB时， 100.1 10.5089
N=3时, 系统函数为（可由MATLAB计算获得）：
H a(s)0 .49 1 31 1 .2 3 0 .4 3 1 2 s 9 80 1 3.1 93 8 1 s 8 2 s 3 3
过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。
来自百度文库
模拟原型 模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻
设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。
即确定 k
转换为相应的 k
高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计
Ha(s)
H(Z)
② 直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关
系，一步完成各种数字滤波器的设计。
1
0.9
0.8
0.7
幅 值 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
频率/Hz 图3.14 三阶巴特沃兹滤波器的频率响应
图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法， 由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折
为方便，将 1 和 S 用T/2归一化，
~1T /121,
~ sTs 2
则 H a(~ s)0 .49 1 1 .20 3 .~ s 3 4 0 8 9 .91 8 ~ s2 3 8~ s3 3
于是
H (Z )H a(~ s)~ s 1 z 1 1
0 .13211 3 z 1 3 z 2z 3 10 .34 z 1 3 0 .2 60 z 2 4 0 .3 20 z 34
H(Z)Ha(s)sT 21 1 zz 1 1121 1 zz 1 121 11 zz 1 121 1 zz 1 13
1 z 1 3 2 1 z 1
1 z 1 3 1 z 1 2 2 1 z 1
2 1 z 1
1 z 1 3
1 z 1 3 1 z 1 3 2 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 3
H(a s)12s12s2s3 以 s / c代替其归一化频率，得：
H a(s)12(s/ c)2(s1/ c)2(s/ c)3
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha(s)。
将 c 2fc 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。
1 z
图3 三阶切比雪夫高通频响
例5（书上 ） 设计一数字高通滤波器，它的通带为400～ 500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz 的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。
确定最小阶数 N。 模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为
今 0.5, 2100 .110.1220184
叠频率处 Z1,形成一个三阶传输零点,这个三阶零点
正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。
因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲 响应不变法存在混淆,且没有传输零点。
二.高通变换
设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：
① 先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通