关于用向量法证明垂直课件

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组

n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、用向量讨论垂直关系
设直l线 、m的方向向量方向别向为量 a和b分 ,
平面、的法向量分u别 ,v 为
拓展： 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M， 使得 D1M⊥平面 EFB1.
证明：分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
则 A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0， M(1,1，m)．∴A→C＝(－1,1,0)，
01
10 2
(1) 0
0
D1F
DE
01
1 1 (1) 1
2
2
0
则D1FD,AD1FDE
D A
x
E
C
F
y
B
则D1FD,AD1FDE ,又DADED
所以 D1F平面 ADE
例 4、在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、PB 的中点， PD＝AD.求证：平面 CEF⊥平面 PBC.
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解：设 AB 平 的 C面 一个法 n(向 x,y,量 z) 为
则 nA,BnA， C 因 A为 B （ -3， 4， 0） ,AC (3,0,2)
B→P＝(－1，－1,1)，∴－ －xx＝ －0y＋z＝0 ， ∴yx＝＝z0 ，令 z＝1，则 u＝(0,1,1)， ∵u·n＝0，∴u⊥n， ∴平面 CEF⊥平面 PBC.
点评：①证明直线 l1 与 l2 垂直时，取 l1、l2 的方向向 量 a、b，证明 a·b＝0.
②证明直线 l 与平面 α 垂直时，取 α 的法向量 n，l
（ 1） l m a b ab 0
l
a
b
m
（2）l a // u a u
l
u
a
C
A
B
（3） u v u v 0
β
uv
α
例3 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，
关于用向量法证明 垂直
学习目标: 1 掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系 2 认识到向量方法是解决立体几何的基本方法 重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题．
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
l是空间一直线，A、P是直线 l上任意两点，
则 AP 称为直线l 的方向向量
直线的方向向量不，唯并一且它们都是平行的
•l
A•
P
2、平面的法向量
l
l 如果直线l 平面 ，取直线 的方向向
量a ，则向量 a 叫做平面 的法向量
a
平面的法向量不唯一，
它们都是平行的
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，
1
1
z
A (1,0,0 ), D (0,0 ,0 ), E (1,1, 2 ), D1 (0,0,1), F (0, 2 ,0 ) D1
C1
则 D1F
(0, 1 , 1), DA 2
(1,0,0 ), DE
(1,1,
1 2
)
A1
B1
则 D1F
DA
z 则n DA 0, n DE 0因为DA (1,0,0), DE (1,1, 1)
2
D1
则x
x0 y 1 z
2
0解得z
x0 2 y
A
1
取y 1得n (0,1,2)
D
由n2D1F可知D1F//n
A
所以D1F平面ADE
x
C
1
B
1
E
C
F
y
B
例3 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别 是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
n·E→F＝0 n·E→C＝0
，∵E→F＝(0，12，12)，
E→C＝(－12，1,0)，∴12－y＋12x12＋z＝y＝0 0
，
∴zx＝＝－2yy ，令 y＝1，则 n＝(2,1，－1)．
设平面 PBC 的一个法向量 u＝(x，y，z)，
u·B→C＝0 则u·B→P＝0
，∵B→C＝(－1,0,0)，
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
所以n，（4，3，6）是平面的一个法向量
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
的方向向量 a，证明 a∥n.
或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e，证明 a·e＝0，b·e＝0.
③证明平面 α 与 β 垂直时，取 α、β 的法向量 n1、n2， 证明 n1·n2＝0
小结： 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐 标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证； ⑤转化为几何结论．
A ( 1 , 0 , 0 ) D ( , 0 , 0 , 0 ) E ( 1 , , 1 ,1 2 ) D 1 , ( 0 , 0 , 1 ) F ( , 0 ,1 2 , 0 ) 则 D 1 F ( 0 ,1 2 , 1 )
设平面ADE的一个法向量为n (x, y, z),
则n DA, n DE
证明：以 D 为原点，直线 DA、DC、DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如下图空间直角坐标系．
设 PD＝1，则 P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， ∴E(12，0,0)，F(12，12，12)，
设平面 CEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则