张角定理在高考中的应用

张角定理在高考中的应用

张角定理：

由点P 发出的三射线PA 、PB 、PC ，α=∠APC ，β=∠CPB ，πβα<+=∠APB ，

那么A 、B 、C 三点在一直线上的充分必要条件是：PA

PB PC βαβαsin sin )sin(+=+

证明：如果三点共线，那么111∆+∆=∆ABC 所以βαβαsin 2

1sin 21)sin(21PC PB PC PA PB PA ∙+∙=+∙。 两边除以PC PB PA ∙∙2

1，即得所要证的等式。 反之，如果命题中等式成立，那么反推可得面积方程111∆+∆=∆ABC ， 这说明：0111=∆-∆-∆=∆PAB ABC ,即A 、B 、C 三点共线。

2017年江苏高考数学第12题：

如图，在同一个平面内，向量→OA ，→OB ，→OC 的模分别为1，1，2，→OA 与→OC 的夹角为α，且7tan =α，→OB 与→OC 的夹角为045。若→→→+=OB n OA m OC ，则=+n m 。

解：连接AB 交OC 于D ，则OA

OB OD 0

045sin sin )45sin(+=+αα。 7tan =α ，251

sin ,257

sin ==∴αα。1==OB OA ,3

2=∴OD 3==+∴OD

OC n m 点评：本题大部分都是建立坐标系，应用解析法来做的。难度不大，但是运算量大，解的过程较易出错。而利用张角定理与等和线来做，思路流畅，且计算量小，较为适宜。