积分变换-第3讲_拉普拉斯变换(1)
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证明: 由Laplace变换的定义,并利用分部积分可得
L [ f (t )]
0
f (t )e st d t
st 0
f (t )e
s
0
f (t )e d t
st
sL [ f ( t )] f 0 Re s 0
有L [ f (t )] sF ( s) f 0 .
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
-4-
第1节 拉普拉斯变换的概念
这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质。 为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需 要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分 定理中的条件。在证明这些性质时, 不再重 述这些条件。
f (t ) e st dt
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半
平面内, F(s)为解析函数.
- 13 -
Mect f (t)
M
o
t
- 14 -
由条件2可知，对于任何 t 值(0 t ), 有
f (t )e st = f (t ) e t Me ( c ) t , Re( s )
- 15 -
第2节 Laplace变换的性质
1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.位移性质 5.延迟性质 6.初值定理与终值定理
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 16 -
第2节 Laplace变换的性质
s F ( s) s
n i 0
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
如果L [ f (t )] F ( s ), 则
n 1
n 1 i
f
i
0 Re s c
- 20 -
Xiaoming Huang, BJTU
二、微分性质
特别地，当 f 0 f 0
若令 c 0 (即 c c1 c ), 则
f (t )e st Me t
所以
0
f (t )e
st
dt Me
0
t
M dt
注1：大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);
注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
-6-
第1节 拉普拉斯变换的概念
Fourier变换的两个限制：
(2) 绝对可积的条件太强。许多简单函数的傅氏 变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
(1) 定义于[0， ), 而不必考虑t 0时取值的函数；
2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续;
(2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数
函数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| Mect, 0 t <
则 f (t)的拉氏变换
F ( s)
0
dt
f (t )e
( j ) t
dt s j
f (t )e st dt F s
-8-
f (t)
o f (t)u(t)et
t
o
t
-9-
1.定义
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，若对参数 s j , F ( s )
t t
f t =0,则
+
-
e t f t dt .
那麽 f t u t e t的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t )u (t )e
0
t
]
f (t )u (t )e e
0
t jt
0
1 st e dt e s 0
st
1 s
1 所以 L[u(t )] s
(Re( s ) 0)。
- 11 -
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t )] e e
0 kt st
dt e ( s k ) t dt
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
kt
0
e
( s k ) t
1 ( s k ) t dt e sk
0
1 sk
1 所以 L [e ] (Re( s ) k )。 sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s) > Re(k)。
- 12 -
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
-7-
t0 0, 设指数衰减函数 (t ) t ( 0). e , t 0
考虑 f t t , ,有 f t u t =f t t 0. 若存在 0, 使 lim e
0
f (t )e st dt
f (t )称为F ( s )的Laplace逆变换，记为
- 10 -
0 t 0 的拉氏变换。 例1 求单位阶跃函数 u(t ) 1 t 0
st 根据拉氏变换的定义, 有 L[u(t )] 0 e dt
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
即 移项化简得
k 2L cos kt s 2L cos kt s,
s L [cos kt ] 2 s k2
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
(Re( s ) 0).
- 22 -
利用微分性质求函数f (t)= tm的Laplace变换 (其中m是正整数). 由于 f (0) f (0) f ( m 1) (0) 0, 而 f ( m ) (t ) m !. 所以
Xiaoming Huang, BJTU
-2-
第 3 讲
拉普拉斯变换(1)
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
第2章 拉普拉斯变换
Laplace变换的概念 Laplace变换的性质 卷积 Laplace逆变换 Laplace变换的应用
m
(Re( s ) 0).
- 23 -
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU
象函数的微分性质
若L [ f (t )] F ( s )，则
F ( s ) -L [tf (t )] Re s c
推论:
F
( n)
0
f (t )e st dt 在s平面的某一
区域内收敛，则称其为 f (t )的Laplace变换，记为 L[ f (t )] F s f (t ) L1[ F ( s )] F ( s )称为像函数，f (t )称为原像函数.
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
《复变函数与积分变换》(课程编号: 70L148Q)
(Complex Functions and Integral Transform)
复变函数与积分变换
Xiaoming Huang
xmhuang@bjtu.edu.cn
北京交通大学理学院
本课程第二部分(8学时)
积分变换
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 19 -
二、微分性质
它表明一个函数的导数的Laplace变换等于 这个函数的Laplace变换乘以参变数s，再减去 函数的初值 .
L [ f (t )] s 2 F ( s) sf 0 f 0 n n n 1 n 2 ( n1) L [ f (t )] s F ( s) s f 0 s f 0 f 0
( s ) 1 L [t f (t )] Re s c
n n
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
学习时，注意和Fourier变换比较区分。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming H源自文库ang, BJTU
-5-
第1节 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分
0
f (t )e st dt
（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决 定的函数可写为 st
有
f（n1） 0 0时，
L [ f (t )] sF ( s)
2 L [ f (t )] s F ( s)
L [ f (t )] s F ( s).
n
n
此性质可以使我们有可能将 f t 的微分方程 转化为F s 的代数方程。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
- 21 -
利用微分性质求函数 f(t)=cos kt 的Laplace变换.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 2 L k cos kt L f ( t ) s L f (t ) sf (0) f (0)
这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于 各个函数Laplace变换的线性组合。它的证明只需 根据定义就可推出。
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- 18 -
二、微分性质
如果L [ f (t )] F ( s ), 有 L [ f (t )] sF ( s ) f 0
L [m !] L [ f ( m ) (t )]
s mL [ f (t )] s m 1 f (0) s m 2 f (0)
m m L [ m !] s L [ t ] 即
f ( m 1) (0)
m! 而 L [m !] m !L [1] s
所以
m! L [t ] m 1 s
- 17 -
一、线性性质
设 L [ f1 (t )] F1 ( s), L [ f2 (t )] F2 ( s) , , 是常数,则
f1 ( t ) f 2 ( t ) L f1 ( t ) L f 2 ( t ) L -1 -1 -1 L F ( s ) F ( s ) L F ( s ) L 2 1 1 F2 ( s )
F ( s)
0
f (t )e dt , (2.1)
称 F ( s)为 f (t )的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数， 记为 L f (t )，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t为 ) F (的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换） s) 或象原函数，记 L -1 F (s) ,即 f (t ) L -1 F (s)
这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质。 为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需 要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分 定理中的条件。在证明这些性质时, 不再重 述这些条件。
学习时，注意和Fourier变换比较区分。
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Xiaoming Huang, BJTU
L [ f (t )]
0
f (t )e st d t
st 0
f (t )e
s
0
f (t )e d t
st
sL [ f ( t )] f 0 Re s 0
有L [ f (t )] sF ( s) f 0 .
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第1节 拉普拉斯变换的概念
这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质。 为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需 要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分 定理中的条件。在证明这些性质时, 不再重 述这些条件。
f (t ) e st dt
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的半
平面内, F(s)为解析函数.
- 13 -
Mect f (t)
M
o
t
- 14 -
由条件2可知，对于任何 t 值(0 t ), 有
f (t )e st = f (t ) e t Me ( c ) t , Re( s )
- 15 -
第2节 Laplace变换的性质
1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.位移性质 5.延迟性质 6.初值定理与终值定理
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- 16 -
第2节 Laplace变换的性质
s F ( s) s
n i 0
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如果L [ f (t )] F ( s ), 则
n 1
n 1 i
f
i
0 Re s c
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二、微分性质
特别地，当 f 0 f 0
若令 c 0 (即 c c1 c ), 则
f (t )e st Me t
所以
0
f (t )e
st
dt Me
0
t
M dt
注1：大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);
注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.
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-6-
第1节 拉普拉斯变换的概念
Fourier变换的两个限制：
(2) 绝对可积的条件太强。许多简单函数的傅氏 变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
(1) 定义于[0， ), 而不必考虑t 0时取值的函数；
2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续;
(2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数
函数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| Mect, 0 t <
则 f (t)的拉氏变换
F ( s)
0
dt
f (t )e
( j ) t
dt s j
f (t )e st dt F s
-8-
f (t)
o f (t)u(t)et
t
o
t
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1.定义
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，若对参数 s j , F ( s )
t t
f t =0,则
+
-
e t f t dt .
那麽 f t u t e t的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t )u (t )e
0
t
]
f (t )u (t )e e
0
t jt
0
1 st e dt e s 0
st
1 s
1 所以 L[u(t )] s
(Re( s ) 0)。
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例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t )] e e
0 kt st
dt e ( s k ) t dt
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
kt
0
e
( s k ) t
1 ( s k ) t dt e sk
0
1 sk
1 所以 L [e ] (Re( s ) k )。 sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s) > Re(k)。
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t0 0, 设指数衰减函数 (t ) t ( 0). e , t 0
考虑 f t t , ,有 f t u t =f t t 0. 若存在 0, 使 lim e
0
f (t )e st dt
f (t )称为F ( s )的Laplace逆变换，记为
- 10 -
0 t 0 的拉氏变换。 例1 求单位阶跃函数 u(t ) 1 t 0
st 根据拉氏变换的定义, 有 L[u(t )] 0 e dt
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
即 移项化简得
k 2L cos kt s 2L cos kt s,
s L [cos kt ] 2 s k2
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(Re( s ) 0).
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利用微分性质求函数f (t)= tm的Laplace变换 (其中m是正整数). 由于 f (0) f (0) f ( m 1) (0) 0, 而 f ( m ) (t ) m !. 所以
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第 3 讲
拉普拉斯变换(1)
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第2章 拉普拉斯变换
Laplace变换的概念 Laplace变换的性质 卷积 Laplace逆变换 Laplace变换的应用
m
(Re( s ) 0).
- 23 -
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象函数的微分性质
若L [ f (t )] F ( s )，则
F ( s ) -L [tf (t )] Re s c
推论:
F
( n)
0
f (t )e st dt 在s平面的某一
区域内收敛，则称其为 f (t )的Laplace变换，记为 L[ f (t )] F s f (t ) L1[ F ( s )] F ( s )称为像函数，f (t )称为原像函数.
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU
《复变函数与积分变换》(课程编号: 70L148Q)
(Complex Functions and Integral Transform)
复变函数与积分变换
Xiaoming Huang
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北京交通大学理学院
本课程第二部分(8学时)
积分变换
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
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- 19 -
二、微分性质
它表明一个函数的导数的Laplace变换等于 这个函数的Laplace变换乘以参变数s，再减去 函数的初值 .
L [ f (t )] s 2 F ( s) sf 0 f 0 n n n 1 n 2 ( n1) L [ f (t )] s F ( s) s f 0 s f 0 f 0
( s ) 1 L [t f (t )] Re s c
n n
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学习时，注意和Fourier变换比较区分。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
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-5-
第1节 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分
0
f (t )e st dt
（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决 定的函数可写为 st
有
f（n1） 0 0时，
L [ f (t )] sF ( s)
2 L [ f (t )] s F ( s)
L [ f (t )] s F ( s).
n
n
此性质可以使我们有可能将 f t 的微分方程 转化为F s 的代数方程。
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- 21 -
利用微分性质求函数 f(t)=cos kt 的Laplace变换.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 2 L k cos kt L f ( t ) s L f (t ) sf (0) f (0)
这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于 各个函数Laplace变换的线性组合。它的证明只需 根据定义就可推出。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
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- 18 -
二、微分性质
如果L [ f (t )] F ( s ), 有 L [ f (t )] sF ( s ) f 0
L [m !] L [ f ( m ) (t )]
s mL [ f (t )] s m 1 f (0) s m 2 f (0)
m m L [ m !] s L [ t ] 即
f ( m 1) (0)
m! 而 L [m !] m !L [1] s
所以
m! L [t ] m 1 s
- 17 -
一、线性性质
设 L [ f1 (t )] F1 ( s), L [ f2 (t )] F2 ( s) , , 是常数,则
f1 ( t ) f 2 ( t ) L f1 ( t ) L f 2 ( t ) L -1 -1 -1 L F ( s ) F ( s ) L F ( s ) L 2 1 1 F2 ( s )
F ( s)
0
f (t )e dt , (2.1)
称 F ( s)为 f (t )的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数， 记为 L f (t )，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t为 ) F (的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换） s) 或象原函数，记 L -1 F (s) ,即 f (t ) L -1 F (s)
这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质。 为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需 要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分 定理中的条件。在证明这些性质时, 不再重 述这些条件。
学习时，注意和Fourier变换比较区分。
本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q)
Xiaoming Huang, BJTU