湖南省长郡中学2019届高三12月(第四次)月考数学(理)试题(解析版)

湖南省长郡中学2019届高三12月（第四次）月考数学（理）

试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.在复平面上满足条件|z-2i|+|z+1|=的复数z所对应的点的轨迹是（）

A. 椭圆

B. 直线

C. 线段

D. 圆

2.若集合A={x||x|＞1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R），则（∁U A）∩B=（）

A. B. C. D.

3.某同学用收集到的6组数据对（x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的

散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：

=x+，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r＞0；②直线l恰好过点D；③

＞1；其中正确的结论是（）

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

4.数列2，，，，，，的前n项之和为：（）

A. B. C. D.

5.曲线y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程是（）

A. B. C. D.

6.在△ABC中，D为AB的中点，点E满足=4，则=（）

A. B. C. D.

7.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）

A. B. C. D.

8.曲线+=1与曲线＞的（）

A. 长轴长相等

B. 短轴长相等

C. 离心率相等

D. 焦距相等

9.设f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0），其中n∈N，n≥2，则函数G n（x）=f n（x）-2在

（，1）内的零点个数是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 与n有关

10.如图，在正六边形ABCDEF内随机取一点，则此点取自

阴影部分的概率是（）

A.

B.

C.

D.

11.直线y=-与椭圆C：＞＞交于A、B两点，以线段AB为直径的

圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）

A. B. C. D.

12.在空间直角坐标系O-xyz中，O为原点，平面xOz内有一平面图形a由曲线z=

与x轴围成，将该图形按空间向量=（x a，y a，z a）=（0，2，-2）进行平移，平移过程中平面图形a所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若x，y满足约束条件，目标函数z=2x+3y的最小值为2，则a=______．

14.数列1，，，……（n∈N*）的前49项和为______．

15.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人

至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为

______．（用数字作答）

16.设函数f（x）=e x（sin x-cos x）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极大值之和为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b．

（1）求角A的大小；

（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．

18.如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面

ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端

点），点N在线段BD上，且PM=DN．

（1）求证：直线MN∥平面PCD；

（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所

成的角的余弦值．

19.已知A，B，C为椭圆E：+y2=1上三个不同的点，O为

坐标原点，且O为△ABC的重心．

（1）如果直线AB、OC的斜率都存在，求证k AB k OC为定

值；

（2）试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个

定值，否则请说明理由．

20.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加

工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．

（Ⅰ）分别求出m，n的值；

（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；

（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

21.已知函数f（x）=ln x-ax2在x=1处的切线与直线x-y+1=0垂直．

（Ⅰ）求函数y=f（x）+xf′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的单调递增区间；

（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）+x2-（1+b）x，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥-1，且g（x1）-g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．

22.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度

单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．

23.已知f（x）=|x|+2|x-1|．

（1）解不等式f（x）≥4；

（2）若不等式f（x）≤|2a+1|有解，求实数a的取值范围．