点、直线与抛物线之间的位置关系

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系：

已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0）

（1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）内⇔ 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上⇔ 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外⇔ 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系：

已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离：

（1）抛物线C 和直线l 相离⇔抛物线C 和直线l 无交点⇔方程组22x y =0

y px A B C =++⎧⎨

⎩无解，消去y

得 关于x 的方程设为 A 2x 2

+2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2

+2pBy+C=0…⑵)⇔方程（1）（或方程（2）无解）⇔ 方程（1）中的 判别式∆<0(方程（2） 中的 判别式0<∆'.)

抛物线C 和直线l 相切

（2）抛物线C 和直线l 相切⇔抛物线C 和直线l 有唯一交点⇔方程组I 22x y =0y px

A B C =++⎧⎨⎩

有一

组解⇔方程组I 消去y 得关于x 的方程设A 2x 2

+2(AC-pB)x+C=0（1)(或消去x 得关于y 的方

程Ay 2

+2pBy+C=0…⑵)有两个相等的实数解⇔方程（1）的 判别式0=∆（或方程（2）的判别式0=∆'.

抛物线C 和直线l 相交

（1） 抛物线C 和直线l 相交⇔抛物线C 和直线l 相交有一个交点或两个交点⇔方程组22x y =0

y px

A B C =++⎧⎨

⎩有一解或两解⇔抛物线C 和直线l 相交： 分类为：1.直线和双曲线有一个交点⇔方程组22x y =0

y px

A B C =++⎧⎨⎩有一解⇔消去y 得 关于x 的方

程设为mx 2

+nx+p=0 …… （1）方程（1）中的m=0且方程nx+p=0有解；

.直线和双曲线有两个交点⇔方程组22x y =0

y px A B C =++⎧⎨

⎩有两组不同实数解⇔消去y 得 关于x 的

方程设为mx 2+nx+p=0 ……（1）方程（1）有两个不同的实数根方程⇔方程（1）中的m ≠0.判别式∆>0.

若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0

y p

k AB = 则

当直线l

斜率是k

时12||AB y y =

=- 直线l

倾斜角为α

时1212||||AB x x y y =-=-

当直线过抛物线的焦点时p x x AB ++=21 4

221p x x = 2

21y y p -=

直线和双曲线有一个交点是直线和双曲线相切的必要不充分条件

三．解题技巧：

（1）抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

οοy p

y

或2(2,2)P pt pt P (,)x y o o ，其中

22y px =o o

（2）为方便消去未知数当直线在斜率存在且不为零或斜率不存的情况下方程可设成横

截式x=ty+m 和抛物线方程px y 22=联立易消去x

四。过x 2

=2py 外一点M(x 0，y 0)所作抛物线x 2

=2py(p>0)的 两 条 切 线 的 性质

过x 2

=2py 外一点M(x 0，y 0)作抛物线x 2

=2py(p>0)的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A(x 1，y 2)，B(x 2，y 2)则

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

=+=2

1021021)(21x x p y x x x 直线AB 的斜率p x k AB 0=

过点M(x 0，y 0)作抛物线x 2

=-2py(p>0)的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A(x 1，y 2)，B(x 2，y 2)则

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=+-=2

1021021)(21x x p y x x x 直线AB 的斜率p x k AB 0=

典型题题型精讲精炼：

题型一：直线与抛物线位置关系的判断

1.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：

(1)当k 时，l与C有一个公共点；

(2)当k 时，l与C有两个公共点；

(3)当k 时，l与C有没有公共点．

2.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点试求实数a的取值集合．

3.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )

4求斜率为1与抛物线y2=4x相切的直线方程.

5.求斜率为1与抛物线x2=4y相切的直线方程.

6.直线x-y+4=0与抛物线y2=ax相切求抛物线的方程.

7.过抛物线y2＝8x的焦点斜率为k=2的直线的方程.

8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．

题型二：弦长问题

1.过焦点的弦长问题

（1）求过抛物线y2＝8x的焦点斜率为k=1的直线被抛物线y2＝8x截得的弦长。

（2）过抛物线y2＝一4x的焦点斜率为k的直线被抛物线y2＝一4x截得的弦长为8，求k 的值

（3）已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π

4

的直线，被抛物

线所截得的弦长为6，求抛物线方程．

2..非过焦点弦问题

（1）.

（2）.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．

（3）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线y2＝4x截斜率为1的直线l所得的弦长|AB|＝35，求直线 l 的方程。

（4）．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝35，求此抛物线的方程．