第33讲 复数(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第33讲：复数

一、课程标准 1、了解复数的概念

2、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．

3、掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.基础知识回顾

二、知识梳理

1. 复数

(1)复数的意义：形如z ＝a ＋b i (a 、b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做实部，b 叫做虚部，复数集记作C ，数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是：N Z Q R C.

(2)复数的模：z ＝a ＋b i ，|z |＝a 2＋b 2．

(3)复数相等：z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1＝z 2，则a 1＝a 2，b 1＝b 2． (4)共轭复数：z ＝a ＋b i ，z －＝a －b i ；z 与z －互为共轭复数． 2. 复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则． 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）

（c ＋d i ）（c －d i ）

＝

（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i

c 2＋

d 2

(c ＋d i≠0)．

3. 复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

(2)实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．

4. 复数的几何表示

复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z(a ，b)及平面向量OZ →

＝(a ，b)(a ，b ∈R)是一一对应关系．

三、自主热身、归纳总结

1、(2017无锡期末） 已知复数z ＝2

1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为________．

2、(2017常州期末） 已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.

3、(2017苏州期末）已知复数z ＝1－i

2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．

4、(2018苏州期末） 已知i 为虚数单位，复数z ＝

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2

i 的模为________． 5、(2018常州期末）若复数z 满足z·2i ＝|z|2＋1(其中i 为虚数单位)，则|z|＝________． 6、(2017南京学情调研）设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．

7、(2017南京、盐城二模） 若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________. 8、(2017泰州期末） 如图，在复平面内，点A 对应的复数为z1，若z2

z1

＝i (i 为虚数单位)，则z2＝________.

四、例题选讲

考点一、复数的有关概念

例1、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ．

变式1、(2019南京三模）若复数z 满足z (1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限．

变式2、(2019南京、盐城二模） 若复数z 满足z

a ＋2i ＝i (i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值

为________．

变式3、已知i 是虚数单位，复数z ＝m 2(1＋i )－m(2＋3i )－4(2＋i )，当m 分别取何实数时，z 满足如下条件？

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．

方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a ＋b i (a ，b ∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a ＝0且b ≠0. 考点二、复数的运算

例2、、(2019苏锡常镇调研）已知复数34i

5i

z +=

，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 变式1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知复数z ＝2i

1－i －3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．

变式2、(2019泰州期末）复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．

变式3、(2019扬州期末） 若i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i )z ＝2，则|z|＝________．

变式4、(1)复数2

1－i

(i 为虚数单位)的共轭复数是

(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

＝_ ___． (3)若复数z 满足2z ＋z －＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝____．

方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．

(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z ＝a ＋b i ，再通过四则运算，计算出a ，b 的值．

考点三、复数的几何意义