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6.3.1 《二项式定理》课件ppt

6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√

=
1

C ·( 3 )n-k·

1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1

(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2

=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2

二项式定理 课件

二项式定理 课件
系数; (2)求x-1x9 的展开式中 x3 的系数. 解 (1)(1+2x)7 的展开式的第 4 项是 T3+1=C37×17-3×(2x)3 =C73×23×x3=35×8x3=280x3. 所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35,系数是 280.
(2)x-1x9 的展开式的通项是 Cr9x9-r-1xr=(-1)rCr9x9-2r. 根据题意,得 9-2r=3,r=3. 因此,x3 的系数是(-1)3C93=-84.
1+1x4=1+C141x+C241x2+C341x3+1x4=1+4x+
方法二 1+1x4=1x4(x+1)4=1x4[x4+C14x3+C24x2+C34x+1] =1+4x+x62+x43+x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么? 答 (1)它有 n+1 项,各项的系数 Ckn(k=0,1,…,n)叫二项 式系数; (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有 代表性? 答 (1)字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0,字母 b 按升 幂排列,次数由 0 递增到 n; (2)Cknan-kbk 叫二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项 Tk+1=Cknan-kbk.
=81x2+108x+54+1x2+x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化,例如求(1-x)5(1+x+x2)5 的展开式,可将原式变形为(1-x3)5,再展开较为方便.
跟踪训练 1 求1+1x4 的展开式.
解 方法一 x62+x43+x14.

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

新教材选择性必修二7.4.1二项式定理课件(37张)

9.二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是________;二项式系数是
__________.(用数字作答)
【解析】根据二项式的展开式通项公式可得Tr+1=C
r 5
x5-ryr,可得含x2y3的项为C
3 5
x2y3,所以其系数为10,二项式系数为C53 =10.
答案:10 10
10.设n∈N*,则C1n +Cn2 6+C3n 62+…+Cnn 6n-1=________.
x-2x n 展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)n的值;
(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.
【解析】(1)因为T3=C2n (
x
)n-2-2x
2
=4C2n
n-6 x2

T2=C1n (
x
)n-1-2x
=-2C1n
n-3 x2

依题意得4C2n +2Cn1 =162,所以2Cn2 +Cn1 =81,所以n2=81,n=9.
二项式定理 二项式定理
基础认知·自主学习
【概念认知】
二项式定理
(a+b)n= C 0 n a n + C 1 n a n - 1 b + + C n r a n - r b r + + C n n b n ( n N * ) .这个公式叫作二项式定
理,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,它一共有_n_+__1_项,其中
【解析】(1)根据题意得:C1m +Cn1 =7,即 m+n=7①,
f(x)的展开式中的x2的系数为C2m
+C2n
m(m-1) =2
n(n-1) +2
m2+n2-m-n

2

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)


①式中的每一项都含有82这个因数,故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底 数化成两数的和与差的情势,且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*,求证:1+2+22+…+25n-1能被31整除.
证明 1+2+22+23+…+25n-1=11--225n=25n-1=32n-1=(31+1)n-1 =31n+C1n×31n-1+…+Cnn-1×31+1-1=31×(31n-1+C1n×31n-2+… +Cnn-1), 显然括号内的数为正整数,故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a + bx)n(s+tx)m 的展开式中一般项为:Tk+1·Tr+1=Cknan-k(bx)k·Crmsm-r(tx)r,再 依据题目中对指数的特殊要求,确定 r 与 k 所满足的条件,进而求 出 r,k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x-
1
6
x
的展开式中,求:
(1)第3项的二项式系数及系数;
解 第 3 项的二项式系数为 C26=15,
又 T3=C26(2
x)4-
1x2=240x,
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.

Tk+1=Ck6(2
x)6-k-
1xk=(-1)k26-kCk6x3-k,
令3-k=2,解得k=1,
(2)(1+2x)3(1-x)4的展开式中,含x项的系数为
A.10
B.-10
√C.2
D.-2

二项式定理 课件

二项式定理     课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

第十章 第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

第十章  第三节 二项式定理 课件(共47张PPT)

赋值法求系数和的应用技巧 (1)“赋值法”对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a, b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), 偶次项系数之和为 a0+a2+a4+…=f(1)+2f(-1) ,奇次项系数之和为 a1+a3+a5+…=f(1)-2f(-1) .令 x=0,可得 a0=f(0).

x=1
代入2x-
1 x
6
=1;
故所有项的系数之和为 1;故选 AC.]
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 (常数项、参数值、特定项等)的步骤
(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr+1=Crn an-rbr,常把字 母和系数分离开来(注意符号不要出错);
(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整 数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出 r;
故选 B.]
3.(x+1x -2)6(x>0)的展开式中含 x3 项的系数为________.
解析:
法一:因为(x+1x -2)6=(
x

1 x
)12,所以其展开式的通项公
式为 Tr+1=C1r2 (
x
)12-r(-
1 x
)r=Cr12
(-1)r(
x )12-2r=Cr12 (-1)rx6-r,由 6
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ckn an-kbk 是二项展开式的第 k 项.( ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(a+b)n 的展开式中,每一项的二项式系数与 a,b 无关.( ) (4)(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的 二项式系数不同.( ) 答案: (1)× (2)× (3)√ (4)√

二项式定理(一)课件

二项式定理(一)课件

03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广

二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换,
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
,从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况, 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理,$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$,与给定的等式一致。
习题二:证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$,得到 $a^{2} - b^{2}$,与给定的等式一致。
习题三:综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理,$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时,公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立,证明当$n=k+1$时公式也成立。

二项式定理 课件

二项式定理 课件

1 x
4

(3
x
)4

C
1 4
(3
x
)3·1 x

C
2 4
(3
x)2
1 x
2+C34(3
x)·
1 x
3+C44
1 4 x
=81x2+108x+54+1x2+x12.
法二:3 x+ 1x4=3x+x 14=x12(1+3x)4
=x12[1+C14·3x+C24(3x)2+C34(3x)3+C44(3x)4]
易错警示
二项式系数与展开式的系数混淆
例4 x2-21x9 的 展 开 式 中 ,第 4 项的 二 项 式系 数是
________,第 4 项的系数是________.
【常见错误】 求解本题误认为第 4 项的二项式系数和第
4 项的系数是同一数,都填 C39.
【解析】
Tr+1=Cr9·(x2)9-
r·-21x
跟踪训练 1.化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+ 5(x-1). 解:原式= C05(x-1)5+ C15(x-1)4+ C25 (x-1)3+C35 (x- 1)2+ C45(x-1)+C55(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
题型二 求二项展开式的特定项
(1)求常数项;
(2)求中间两项.
解:Tr+1=Cr9(x3)9-r(
3 )r x
=Cr9·32r-9x9-32r.
(1)当 9-32r=0,即 r=6 时展开式是常数项,
即常数项为 T7=C69·33=2 268.
(2)(x3+
3 )9 x
的展开式共
10

二项式定理课件-完美版

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二项式定理的证明
二项式定理的证明可以采用数学归纳法,将其分成多个步骤,逐步推导出结 论。
二项式定理的应用
二项式定理在概率论、组合数学、排列组合等领域具有广泛的应用。它可以 用于求解二项式系数、展开多项式、计算概率等。
相关例题分析
通过具体的例题分析,我们可以更好地理解和应用二项式定理。我们将解答 一些典型的问题,帮助您掌握其中的关键思想和技巧。
二项式定理课件-完美版
欢迎来到二项式定理课件-完美版!在本次课程中,我们将深入探讨二项式定 理,包括定义、公式、证明、应用、相关例题分析、扩展以及结论和总结。
二项式定理的定义
二项式定理是一种代数公式,用于展开一个二项式的n次幂。
பைடு நூலகம்
二项式定理的公式
二项式定理的公式可以表示为:(a+b)×(a+b)=n!(n-k)!×a×a+b+n!k!×a×b+a
二项式定理的扩展
除了传统的二项式定理,还存在许多拓展的定理和公式,如多项式定理、卢 卡斯定理等。它们进一步延伸了二项式定理的应用范围。
结论和总结
通过学习本次课件,我们详细了解了二项式定理的定义、公式、证明、应用、 相关例题分析和扩展。希望您能够喜欢并从中获益。

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人:
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史,它起源于17世纪,是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式,即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式,即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数,以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布,即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率,即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立,即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质:在二项式定理中,我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$,这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质:在证明二项式定理的过程 中,我们还使用了指数的性质。例如 ,当 $n$ 为偶数时,$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ;当 $n$ 为奇数时,$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。

二项式定理ppt课件

二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中,前三项的 24 x
系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1,n ,
探究提高 用二项式定理处理整除问题,通常把 底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的 和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面 (或者是前面)一、二项就可以了. 同时,要注意余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈ [0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后, 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15,则2n=3r,且 C=rn 15,验证n=6时,r=4
合题意.
5.(2009·北京理,6)若(1+ 2)5=a+b 2(a、b为
有理数),则a+b=
(C )
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
( B)
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=[2+(x-2)]3,
∴展开式中含(x-2)2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

6.3.1二项式定理课件共15张PPT

和 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3的概括和推广,
它是以多项式的乘法公式为基础,以组合知识为工具,
用不完全归纳法得到的,其证明可用数学归纳法.
(2)对二项式定理的理解和掌握,要从项数、系数、指
数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式.通项公式
Tr 1 C a
r
率9%,按复利计算,10年后收回本金和利息。
试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资10年后大约
可多得利息多少元?
分析:本金10万元,年利率11%,按单利计算,10年后的本利和是
10×(1+11%×10)=21(万元);
本金10万元,年利率9%,按复利计算,10年后的本利和是10×(1+
9%)10;
x
60 12 1
64 x 192x 240x 160
2 3
x x
x
3
2
0 n
1 n 1
a

b

C
a

C

n
例题讲评
例2: 求 (2 x
解:
1 6
) 的展开式中
x
的展开式的通项:
根据题意,得
因此, 2 的系数是
x
x 的系数。
艾萨克·牛顿 Isaac
Newton (1643—1727) 英国
科学家.他被誉为人类历史上
最伟大的科学家之一.他不仅
是一位物理学家、天文学家,
还是一位伟大的数学家.
牛顿二项式定理
新课引入
某人投资10万元,有两种获利的可能供选择。一种是年
利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息。另一种是年利

二项式定理-PPT课件

二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a+b)2和(a+b)3展开后分别等 于什么?
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
2
问题提出
2.对于a+b,(a+b)2,(a+b)3, (a+b)4,(a+b)5等代数式,数学上统 称为二项式,其一般形式为(a+b)n
7
问题探究
根据归纳推理,你能猜测出
(a+b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗?
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想?
8
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理,等式右边叫做二项展
开式,其中各项的系数
C
k n
(k=0,1,2,
…,n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n+1项;字母a的最高次
数为n且按降幂排列;字母b的最高
次数为n且按升幂排列;各项中a与
b的指数幂之和都是n;各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a+b)n的二项展开式中,
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项,那么(a-b)n的二项展开式的通项
是什么?
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x+3y)20的二项展开式的通项是什 么?

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1(2)中,请思考: ①展开式中的第3项的系数为多少? ②展开式中的第3项的二项式系数为多少? ③你能直接求展开式的第3项吗?
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗?
解:④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数: 展开式共有n+1项.
②次数: 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列,由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列,由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式; x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项:Tk1 Cnk ankbk
思想方法:
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业: 课本36页习题1.3A组第2,4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x

二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册

二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册
解:
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2: 求 x 2 5 的展开式.
解:
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个,将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1.二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律,是 二项式定理的核心,它在求二项展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等)或项的系数等方面有着广泛的应用.
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析:1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2.二项式定理是一个恒等式. (1)利用二项式定理可以展开给定的二项式,逆用二项式定理可以化简、求和、 证明.
(2)对于任意的 a,b,该等式都成立.
例如:① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2

1.3.1二项式定理ppt课件

1.3.1二项式定理ppt课件

变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14:3,求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中,第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56:3,2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5,求n?
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13,求x2的系数?
n 36C71 34C73 32C75,求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列,求(1)展开式中含x的一次幂的项;
(2)展开式中所有x 的有理项;
7、求: ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

其展开式的第k+1项为Tk+1=Ck4(x2+x)4-kyk,
因为要求x3y2的系数,所以k=2, 所以T3=C24(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2. 因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2, 所以x3y2的系数是6×2=12.
法二 (x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,在 这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个 选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,故x3y2的系 数是C24·C12·C11=12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题, 只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定 的项,再求和即可.
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x-3) 1+1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A.-73 B.-61 C.-55 D.-63 (2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0, 则正实数a=________. 解析:(1)(2x-3)1+1x6的展开式中所有项的系数和为 (2-3)(1+1)6=-64,(2x-3)1+1x6=
为( )
A.-1
B.1
C.32
解析:由题意可得CC6162aa54bb=2=-13158,,
D.64
解得ab==1-,3,或ab==-3. 1,则(ax+b)6=(x-3)6, 令x=1得展开式中所有项的系数和为(-2)6=64,故选D. 答案:D
2.(2020·包头模拟)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+
[例2] (1)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )

二项式定理课件ppt

二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ,例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理,我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开,从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数,我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中,C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ,它具有与组合数相同的性 质,例如
1. 对称性:对于任何自然数n ,C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性:C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式:C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现,用于解决一些特殊的数学问题。
之后,许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广,使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础,可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中,二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上,通过解决 一些相对复杂的进阶题目,帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式,进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
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1 x
)4
C
5 6
(2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
2.先化简后展开
(2
x
1 x
)6
( 2x
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
64x3 192x2
240x 160
60 12 x x2
1 x3
例:求(2 x 1 )6 的展开式.
解:
x
(2
x
1 x
)6
(
2x
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
思考1:展开式的第3项 的系数是多少?
(a
b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)k
C
n n
(b)n
(1
x)n
C?n0
C
1 n
x
C
k n
xn
C
n n
xn
例:求 (2 x 1 )6的展开式.
x
例:求 (2 x 1 )6的展开式.
解: 直接展开 x
(2
x
1 x
)6
C60 (2
x )6 C61(2
x )5(
①项数:共有n+1项
②次数:各项的次数都等于n,
字母a按降幂排列,次数由n递减到0 ,
. 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
杨辉,南宋时期杰出 的数学家和数学教育

③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项: Tk1
C
k n
a
nk
bk
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
➢问题2: (a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 ) 展开式中 每一项是怎样构成的?
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项: a 3 a 2b ab2 b3

系数:C1
二项式定理研究的是 (a b)n 的展开式.
(a b)2 a?2 2ab b2 (a b)3 (?a b)2(a b) (a b)4 (?a b)3(a b)
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么? 每一项是怎样构成的?
②系数:C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a n k bk
n个(a b)相乘
k个(a b)中选b
C
k n
n k个(a b)中选a
③展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
1 x3
[ 2x 6
C16
2x5C62
2x 4
思考2:展开式的第3项
C63
2x3C46
2x2C56
2x
C
6 6
]
的二项式系数是多少? 64x3 192x2 240x 160
思考3:你能否直接求出 展开式的第3项?
60 12 1 x x2 x3 .
例:求(2 x 1 )6 的展开式.
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a3kbk
k 0,1,2,3
C
k 3
分析a2b (a b)(a b)(a b)
C (a b)(a b)(a b)
1
3
(a b)(a b)(a b)

展开式:(a
b)3
C30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C 33 b 3
探究1 推导 (a b)3的展开式.
(a
b)3
C
0a
3
3
C 31a 2b
C
2 3
ab2
C
3 3
b3
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n ?
探究3:请分析 (a b)n的展开过程,证明猜想. (a b)n (a b)( ab )(ab)
①项: a n a n1b n ankbk bn
1) x
C62(2
x )4( 2 1x )2 C63(2
x )3( 1 )3 2x
C64(2
x )2(
1 x
)4
C
5 6
(
2
x )(
1 x
)5
C66
(1 )6 x64 x 3192x2240x
160
60 x
12 x2
1 x3
例:求 (2 x 1 )6的展开式.
x
解: 先化简后展开
(2
x
x
解:
(2
x
1 x
)6
(
2x
x
1)6
1 x3
(2x
1)6
思考1:展开式的第3项
的系数是多少?
思考2:展开式的第3项
C
n0,C
1,
n
C
2 n
,,C
n n
有何性质.
杨辉,南宋时期杰出的 数学家和数学教育家
例:求(2 x 1 )6 的展开式.
x
解: 1.直接展开
(2
x
1 x
)6
C60
(2
x )6 C61(2
x )5 (
1 x
)
C62
(2
x )4 (
1 )2 x
C
3 6
(2
x )3(
1 x
)3
C64
(2
x )2(
1 x
)6
(2x 1)6 x
1 x3
(2x
1)6
1 x3
[(2 x )6
C61(2x)5
C62(2x)4
C
3 6
(2x)3
C64
(2
x)2
C65
(2x)
C66
]
64 x 3
192x2
240x
160
60 x
12 x2
1 x3
1.二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N * )
(1)二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项: Tk1 Cnkankbk
2.思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 用计数原理分析二项式的展开过程.
(3) 类比、等价转换的思想.
1、巩固型作业:
课本117页 练习 1、2、3
2、思维拓展型作业:
探究二项式系数

展开式:(a
b)3
C30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C 33 b 3
探究1 推导 (a b)3的展开式.
开式探究 项 a3 3a2b 3ab2 b3
1
系数
1
3
1
3

导 讨论 (a b)(a b)(a b)
3a2b
的构成
的 展
探究2 仿照上述过程,推导 (a b)的4 展开式.
(a b)2 C20a2 C212ab C22b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项: a 3 a 2b ab2 b3

系数:C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a3kbk
k 0,1,2,3
C
k 3
分析ab2 (a b)(a b)(a b)
C (a b)(a b)(a b)
1
3
(a b)(a b)(a b)
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