二项展开式系数的性质

又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法 也可按以下分类进行：
甲组
乙组
取法数
0个 1个 2个 LL
n个 n 1个 n2个
Cn0Cnn Cn1Cnn1 Cn2Cnn2
n个
0个
CnnCn0
由加法原理，Cn0Cnn Cn1Cnn1 Cn2Cnn2 L CnnCn0 C2nn ，
即 (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 L (Cnn )2 C2nn .
100
1 2
3i 2
又
1 2
3 2
50
i
C500
1 2
50
C510
1 2
49
3 2
i
C520
1 2
48
2
3 2
i
L
其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 3 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证：
1
1
1
1
2n1
L
1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)!
第
5
项系数最大，即
105
x
5 3
。
8
2. (1) 求 (1 2x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2x)7 展开式中系数最大的项。
解：(1) CC77kk
2k 2k
C7k 1 2k 1 C7k 1 2k 1
T6 C75 (2x)5 672x5
13 k 16 k 5
4n Cn1 4n1 (1) Cn2 4n2 (1)2 L
C n1 n
4
(1)n1
Cnn
(1)n
4n 4n1Cn1 4n2 Cn2 L
4
(1)n
1
C n1 n
(1)n
Cnn
(2) 1 Cn2 Cn4 Cn6 L
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
k
1
1
Cnk
n
1
1
C k 1 n1
Q (1 x)2n (1 x)n (x 1)n，
它们的展开式中各项系数对应相等。
考察 xn1 的系数，得 Cn1Cn0 Cn2Cn1 L
CnnCnn1
C n1 2n
5. 组合定义法
求证：(Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 L (Cnn )2 C2nn.
证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2nn 。
8 k 11 k 3
3
3
5
5
T4 C130 23 x 2 15x 2 系数绝对值最大。
当 k 为偶数时，系数才可能最大：
C100 20 ,
C120 22 ,
C140 24 ,
C160 26 ,
C180 28 ,
C10 10
210
即1, 45 , 105 , 105 , 45 , 1 。 4 8 32 256 1024
C1k0
2k
C k 1 10
2(k
1)
C1k0
2k
C k 1 10
2(k 1)
k k
10! !(10
10! !(10
k k
) )
! !
1 2k
1 2k
(k (k
10! 1)!(9
k
)!
1 2k 1
10! 1)!(11
k
)!
1 2k 1
k 1
10 k 11 k k
1 2
2
注意到 Cn1
Cnn1,
Cn2
C n2 n
,
L
两式相加，得 2s nCn1 nCn2 L nCnn1 2n
n(Cn0 Cn1 L
C n1 n
Cnn
)
n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2n
s n 2n1
3. 通项归一法
(1) 求证：Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn n 2n1
证明：Q kCnk nCnk11 ,
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①
又
2
cos
4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(1 Cn2 Cn4 Cn6 L ) i(Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L ) ②
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
2. 倒序相加法
求证：Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn n 2n1
证明：记 s Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn ， 则 s Cn1 2Cn2 3Cn3 L (n 1)Cnn1 n
s (n 1)Cnn1 (n 2)Cnn2 L 2Cn2 Cn1 n
3
3
(2) 系数最大项必在中间或偏右，只需比较 T5 和 T7 。
Q
C74 (2)4 C76 (2)6
5 4
1,
T5 C74 (2x)4 560x4
3.
1 2
3 2
i
50
的展开式中，按
1 2
降幂排列后，偶数项之和
等于多少？
解：记 1 3 i ，则
22
1 2
3 2
50 i
(2 )50
二项展开式系数的性质
1. Cn0 Cn1 Cn2 L Cnn 2n
2. 奇数项系数之和等于偶数项系数之和。 Cn0 Cn2 Cn4 L Cn1 Cn3 Cn5 L
3. 二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
左边
n
1 1
(Cn11
C2 n1
C3 n1
L
C n1 n1
)
1 (2n1 1) 右边 n 1
4. 比较系数法
求证：Cn0Cn1 Cn1Cn2 L
Cnn
C 1 n n
C2nn1.
2n
证明：(1 x)2n C2kn xk k 0
(1 x)n (x 1)n
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
当n
为偶数时，中间项为第
n 2
1 项，二项式系数
n
Cn2
最大；
当 n 为奇数时，中间两项系数最大，它们是第 n 1 项和 2
第
n 1 2
n1
1 项，Cn 2
n1
Cn 2
。
1.
求
x
1 23
x
10
的展开式中，系数绝对值最大的项和
系数最大的项。
解：Tk 1
C1k0 (1)k
2k
5 5 k
x6
设展开式中系数绝对值最大的项是第 k 1项，则
(n 1)!1! n!
证明：Q
Cnm
n! m!(n
， m)!
原等式 Cn1 Cn3 Cn5 L
C n1 n
2n1
由二项式系数的性质，这是成立的。
组合恒等式的证明
1. 赋值法
(1) 4n 4n1Cn1 4n2 Cn2 L
4
(1)
n1
C n1 n
(1)
n
Cnn
3n
证明：3n (4 1)n