(完整版)天然气管道运输模型毕业设计

毕业论文
论文题目天然气管道运输模型
学院韩山师范学院
专业数学与应用数学
学生陈娴
指导教师肖刚
完成时间2014 年12 月
韩山师范学院教务处制
天然气管道运输模型
陈娴
摘要通过对天然气供应商与居民区之间情况的分析，安排适当的管道运输方案，使管道运输费用最小，从而促使利润最大.根据具体情况，建立线性规划模型，利用约束条件和目标函数求解约束优化问题，并找出最佳的解决方案，在MATLAB和LINGO 软件中证明该方法是可行的，以及管道运输的优化对城市燃气设计具有一定的指导意义.
关键词天然气管道运输；线性规划；优化设计
1 引言
天然气作为燃料，有一个干净的，新的，高效，优质，无污染的特点，迅速成长为一个世界能源的三大支柱之一.我国各个城市天然气的使用也已经快速地发展起来.由于受到地理位置、本身造价和建设费用、管道维修和管理费用等因素的限制，如何安排管道运输方案，使运费最小或利润最大，这便需要建立适当的数学规划模型来解决此类问题.
2 线性规划模型
2.1线性规划问题的定义
所谓线性规划，是指在一定条件下，为了使经济效果达到最好，怎样合理安排人力物力等资源，以求达到目标的过程.一般地，我们所求的线性规划问题，其实就是求线性目标函数在线性约束条件下如何求最大值或最小值的问题．其中，线性规划的最主要的三要素是决策变量、约束条件、目标函数．满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域[1].
2.2线性规划问题的一般形式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=≥+==+++=≥+++++=n j m
p i p i t s z x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c j n n in i i n n in i i n n ,,1,0,,1,1,..min 221122112211 ，， （2.1）
其中为待定的决策变量，已知的系数组成的矩阵 1112121
22212n n m m mn A a a a a a a
a a a ⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2.2) 称为约束矩阵．的列向量记为，；A 的行向量记为 (T 为转置符号)，称为目标函数，记为,向量称为价值向量，（j=1，…,n ）称为价值系数；向量称为右端向量，条件称为非负约束；如果原问题是求目标函数的最大值，可等价地转换为求的最小值.因此，我们一般考虑的是求最小值的问题．
一个满足所有约束条件的向量称为线性规划问题(2.2.1)的可行解或可行点.所有的可行点组成的集合称为线性规划问题(2.2.1)的可行区域，记为D．
给定一个线性规划问题，下列三种情况必居其一：（1）D=，称该问题无解或不可行；（2）D≠，但目标函数在D上无界，此时称该问题无界；（3）求解一个线性规划问题就是要判断该问题属于哪种情况，当问题有最优解时，还需要在可行区域中求出使目标函数达到最小值的点，也就是最优解，以及目标函数的最优值[1]．
2.3线性规划的发展
有关线性规划这个概念的提出，分别由法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出，可惜当时并未引起人们的注意.
接着，1939年在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，这个作家就是苏联数学家Л.В.康托罗维奇，但也未引起大家的重视.
1947年这门学科终于被奠定了基础，就是因为美国数学家G.B.丹齐克所提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，大家终归初步懂得怎么求解线性规划问题．
紧接着，终于在1947年，人们开创了线性规划的许多新的研究领域，就是因为美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,扩大了它的应用范围和解题能力.1951年，线性规划被应用到经济领域，美国经济学家T.C.库普曼斯为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖，取得了重大的成就.上世纪50年代的线性规划理论的研究中，一大批新算法的出现离不开科学家的贡献。

例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加
斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等，把线性规划问题的发展推向高潮.
其他数学规划问题包含整数规划、随机规划和非线性规划的算法钻研都是由于线性规划的研究成果高度发展和突破。

因为数字电子计算机的发展，出现了很多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，能够很方便地求解几千个变量的线性规划问题，这时线性规划的准确性得到机器的保障.
在前人研究成果的基础上，1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证实它是多项式时间算法.1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法，表明该方法是求解线性规划问题中变量个数为5000的时候比用单纯形法还要节省150的时间，大大提高了求解线性规划问题的效率.现已形成线性规划多项式算法理论．50年代后线性规划的应用范围不断扩大[2].
2.4线性规划问题的实际应用
在各种不同的工业，农业，商业，行政，军事，公用事业和其他领域，存在大量的线性规划问题.一些计划是非线性规划问题，但往往可以改变规模或利用分段线性的方法，转化为线性规划模型，并使用线性规划问题的专业解答软件轻易解决出来.
用线性规划求解的典型问题有运输问题、生产计划问题、配套生产问题、下料和配料问题等，具体问题如下.
①运输问题某产品有n个产地，m个销地．已知各产地的产量和各销地的销量，以及各产地到各销地的单位运价，问如何安排各产地到各销
地的运量，使总的运费为最少？
②生产计划问题用n种资源生产m种产品．已知各种产品每生产一单位可得的利润和所需的各种资源的数量，以及各种资源的限额．问如何计划各种产品的生产量，使总的利润为最大?
③配套生产问题用若干台机床加工某种产品的各种零件．已知各机床加工不同零件的效率．问如何分配各机床的任务，在零件配套的前提下使一个生产周期内的产量最高？
④下料问题将一批固定规格的条材或板材裁剪成具有规定尺寸的若干种毛坯，并已设计出若干种下料方式．问采用哪种下料方式，能使各种毛坯满足所需数量，又使总的用料最省？
⑤混合配料问题用n种原料配制某些含有m种成分的产品．已知各种成分在各种原料中的单位含量，以及各种原料的单价和限额．问怎样混合调配，在满足产量要求和产品所含各种成分的要求下使成本为最低[2]？
2.5用线性规划模型研究天然气管道运输的意义
在实际生活中，常常会碰到在一定的人力、物力、财力等资源条件下，怎么精打细算高明安排，用最少的资本赢得最大的效益的问题，而这恰是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用.随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件.天然气经过勘探开发到开采，使之成为一种能源投入到日常生产生活中，这本身便是一种经济效益规划活动.借此，天然气生产与经营部门与天然气用户之间便形成一种密切的关系，生产部门需要一定的投资（如铺设天然气管道）把天然气运输到用户，才能取得一定的经济效益.因此，我们所关注的如何取得利润最大化问题便成为我们所研究的对象.由于利
润最大化又离不开对天然气开发、处理与运输和天然气管道维护的投资等成本问题，以及根据天然气用户的需气量和实际情况来决定天然气的价格，在这些限制条件下来考虑最大化问题，这便需要建立一个线性规划模型来研究和证明[3].
3 天然气管道模型
3.1模型引入：
某市有甲、乙、丙、丁、戊五个居民小区，天然气有A、B、C三个燃气供应站供应．为了保证每个小区每天都能得到基本生活用气量（单位：）分别为，，，，，三个供气站都进行了相应的调整，每天最多能分别供应天然气，，．但由于地理位置的差别，天然气公司从各供应点输气所需付出的管理费用不同（见下表），其他管理费用（单位：万元）都是．根据公司规定，各区用户按照统一标准收费．此外，五个小区都向天然气公司申请额外用气量（单位：），，，，．
(1)该天然气公司应如何分配供气量，才能使获得的利润最大？（供气量能满足额外用气量）
(2)为了预防供气量过分输出，造成不必要的浪费，天然气公司决定调整供气量，使三个供气站每天供气量（单位：）调整为，，（供气量不能满足额外用气量），此时应该如何分配供气量，才能使获得的利润最大[4]？
表1 从燃气供应点向各小区供气的输气管理费
管理费（万
甲乙丙丁戊
元）
A
3.2模型分析：
如何分配供气量，使得获得利润最大，这是本题的关键．根据题意可知，当能使获得的收入最大，而成本及管理费用等额外支出最小时，可获得利润最大．从题目所给的数据可知，A 、B 、C 三个供气站每天供气量（单位：）分别为、、。

超出五个小区所需的每天基本用气量和额外用气量之和为
b b b b b a a a a a 5
432154321+++++++++（单位：），所以供气站供气量不能全部输出．天然气公司所收取天然气费用为n 万元，此外其他管理费用为m 万元，还加上输气管理费如上表，所以可得实际三个供气站所得利润如下
表2 从燃气供应点向各小区供气的纯利润
纯利润（万
元）
甲 乙 丙 丁 戊
A
B
C
再根据此表建立适当的线性规划模型，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 或MATLAB 求解即可．
至于问题（2），由于A 、B 、C 三个供气站供气量总和为（），不超过B
C
五个小区所需的每天基本用气量和额外用气量之和为
b b b b b a a a a a 5
432154321+++++++++（），所以供气站供气量能全部输出．所以每天天然气公司的总收入是（万元），每天其他管理费用为（万元），而这都与供气站分配的供气量无关．所以，要使利润最大，则要通过建立数学模型并求解使输气管理费最小便可．
3.3符号说明
符号
意义 单位
供气站A 向甲区的日供气量
供气站A 向乙区的日供气量
供气站A 向丙区的日供气量
供气站A 向丁区的日供气量
供气站A 向戊区的日供气量
供气站B 向甲区的日供气量
供气站B 向乙区的日供气量
供气站B 向丙区的日供气量
供气站B 向丁区的日供气量
供气站B 向戊区的日供气量
供气站C 向甲区的日供气量
供气站C 向乙区的日供气量
供气站C 向丙区的日供气量
供气站C 向丁区的日供气量
供气站C 向戊区的日供气量 问题一所获得的最大利润 万元
问题二所获得的最大利润 万元
问题二中的输气管理费用
万元
3.4模型建立
3.4.1问题一模型建立
决策变量：三个供气站A ，B ，C （i=1，2，3）分别向五个小区甲，乙，丙，丁，戊（j=1，2，3，4，5）供气．设表示供气站i 向j 小区的日供气量（i=1，2，3，j=1，2，3，4，5），即总共有15个决策变量.
目标函数：设每天可获得利润为，则根据分析可知，当供气收入减去其他管理费和输气管理费后所得的纯利润，便是，即
p X p X p X
p X
p p X p X p X p X p X
p X p X p X
p X
p Z
m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n 35
34
34
33
33
32
32
31
31
25
24
24
23
23
2222212115
14
14
13
13
12
1211
111
)
(--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-
-+-
-+-
-=）（）（）（）（（）（）（）（）（）（）（）（）（）（
约束条件：由于供气站供气量不能全部输出，所以根据供气站供气量的限制，得
k
X
X
X
X
X
k X
X
X
X
X k X X X X X
3
35
34
33
32
31
2
25
24
23
22
21
115
14
13
1211,,≤++++≤
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
此外，考虑到满足小区的基本用气量和额外用气量，决策变量可限制
为：
b
a X
X
X
a
b a X
X
X a b a X X X a b a X X X a b a X X X a 5
5
35
25
15
5
4
4
34
24
14
4
3
3
33
23
1332
2
32
22
12
2
1
1
3121111,
,,,+≤++≤+≤++≤+≤++≤+≤
+
+
≤+≤
+
+
≤
综上可得线性规划为
X
p X p X p X p X p X p X p X p X p X p X
p X p X p X p X p Z
m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n 35
35
34
34
33
33
32
32
31
31
25
25
24
24
23
23
22
22
21
21
1
15
14
14
13
13
12
12
11
11
1
)(max --+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-
-=）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（
k X
X
X
X
X
t s 1
15
14
13
12
11
.
.≤
+
+
+
+
(3.1)
k
X X
X
X
X 2
25
24
23
22
21
≤+
+
+
+
(3.2)
k
X
X
X
X
X
3
35
34
33
32
31
≤
+
+
+
+
(3.3)
b a X X X a 1
13121111+≤++≤
(3.4)
b a X X X a 223222122+≤++≤
(3.5)
b a X
X
X
a 3
3
33
23
13
3
+≤
+
+
≤
(3.6)
b a X X X a 443424144+≤++≤ （3.7）
b a X X X a 5
53525155+≤++≤
(3.8)
最后用Lingo 软件求得即可. 3.4.2问题二模型建立
决策变量：三个供气站A ，B ，C （i=1，2，3）分别向五个小区甲，乙，丙，丁，戊（j=1，2，3，4，5）供气．设表示供气站i 向j 小区的日供气量（i=1，2，3，j=1，2，3，4，5），即总共有15个决策变量.
目标函数：设每天可获得利润为，由于三个供气站供气总量（）不能
满足五个小区的每日用气需求量和额外用气量b b b b b a a a a a 5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
+++++++++（）
，故三个供气站的日供气量能全部输出，而根据收费标准天然气公司每天的总收入是（万元），每天其他管理费用是（万元），则目标函数是令输气管理费用最低，使得扣除两项收入后的利润最大，假设输气管理费用为，则
X
p X p X
p X
p X
p X p X p X p X p X p X p X p X p X p X
p Z
35
35
34
34
33
33
32
32
31
31
2525
24
24
23232222212115
15
14
14
13
1312
1211
113
++++++++++++
+
+
=
．
约束条件：由于供气站供气量能全部输出，所以根据供气站供气量的限制，得
t
X X
X
X
X
t
X
X
X
X
X t X X X X X 3
35
34
33
32
31
2
25
24
23
22
21
1
15
14
13
1211,
,=++++=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
此外，考虑到满足小区的基本用气量和额外用气量，决策变量可限制
为：
b
a X
X
X
a b a X
X
X a b a X X X a b a X X X a b a X X X
a 5
5
35
25
15
5
4
4
34
24
14
4
3
3
33
23
1332
2
32
22
12
2
1
1
3121111,
,,,+≤++≤+≤++≤+≤++≤+≤
+
+
≤+≤
+
+
≤ 综上可得线性规划为
X
p X
p X
p X p X p X p X p X p X p X p X
p X p X
p X p X p Z 35
35
34
34
33
33
32
32
31
31
25
25
24
2423
23
22
22
21
21
15
15
14
1413
13
12
12
11
11
3
m i n +++++++++++
+
++=
t X X
X
X
X
t s =+
+
+
+
1
15
14
13
12
11
.
.
(3.9)
t X
X
X
X
X
2
25
24
23
22
21
=
+
+
+
+
(3.10)
t
X
X
X
X
X
3
35
34
33
32
31
=
+
+
+
+
(3.11)
b a X
X
X
a 1
1
31
21
11
1
+≤
+
+
≤
(3.12)
b a X
X
X
a 2
2
32
22
12
2
+≤
+
+
≤
(3.13)
b
a X
X
X
a 3
3
33
23
13
3
+≤
+
+
≤
(3.14)
b a X
X
X
a
4
4
34
24
14
4
+≤
+
+
≤
(3.15)
b
a X
X
X
a 5
5
35
25
15
5
+≤
+
+
≤
(3.16)
用Lingo 软件求得，最后所求最大利润Z t t t t t t Z m n 33213212)()(-++-++=
4 问题引入
根据模型，假设甲、乙、丙、丁、戊五个小区每天的基本生活用气量分别为
1.5，1.8，1.3，1.3，1.6（单位：），额外用气量分别为0.7，0.9，0.4，0.5，0.8（单位：），问题一中A 、B 、C 三个供气站每天的供气量分别为3.2，3.9，4.2（单位：），问题二中A 、B 、C 三个供气站每天的供气量分别调整为
2.8，
3.5，3.9（单位：），并假设B 点与乙区，C 点与丁区之间没有输气管道，其他管理费用都是1.5（单位：万元），供气收费标准为
4.8（单位：万元），以及下表给出从燃气供应点向各小区供气的输气管理费.
表3 从燃气供应点向各小区供气的输气管理费
4.1模型建立
4.1.1问题一模型建立
由3.4.1可得，问题一中供气站向各小区供气所得利润如下表
表4 从燃气供应点向各小区供气的纯利润
纯利润（万元） 甲
乙
丙
丁
戊
A
2.8
3.1 3
3.2 3 B 3 2.9 3 2.8 C
2.9
3.1
2.8
3.1
故所建立线性规划模型如下
X X X X X X X X X X X X X Z
35
33323125
24232115141312111
1.38.21.39.28.239.233
2.331.38.2max ++++++++++++=
2.3..15
14
13
12
11≤+
+
+
+X
X
X
X
X t s
(4.1)
管理费（万元）
甲
乙
丙
丁
戊
A 0.5 0.2 0.3 0.1 0.3
B 0.3 0.4 0.3 0.5 C
0.4
0.2
0.5
0.2
9.325242321≤+++X X X X
(4.2)
2.435
33
32
31
≤+
+
+
X X X
X
(4.3)
2.25.131
21
11
≤+
+
≤
X
X
X
(4.4)
(4.5)
(4.6) (4.7)
4.26.1352515≤++≤X X X
(4.8)
用Lingo 软件求解可得，A 供气站向丙区供气1.4（），向丁区供气1.8（）；B 供气站向甲区供气2.2（），向丙区供气0.3（）；C 供气站向乙区供气2.7（），向戊区供气2.4（）．最后获得的最大利润为33.24（万元）.
表5 问题一的结果列表
供气量()
甲
乙
丙
丁
戊
A 0 0 1.4 1.8 0
B 2.2 0.3 0 0 C
2.7
2.4
4.1.2问题二模型建立
由3.4.2可得，问题二所建立的线性规划模型如下
X X X X X X X X X X X X X Z
35
33323125
24232115141312113
2.05.02.04.05.0
3.0
4.03.03.01.03.02.0
5.0min ++++++++++++=
8.2..15
14
13
12
11=+
+
+
+X
X
X
X
X t s
(4.9)
5.325242321=+++X X X X
(4.10)
9.335333231
=+++X X X X
(4.11)
2.25.131
21
11
≤+
+
≤
X
X
X
(4.12)
(4.13)
(4.14) (4.15)
4.26.1352515≤++≤X X X
(4.16)
用Lingo 软件求解可得，A 供气站向乙区供气1，向丁区供气1.8（）；B 供气站向甲区供气2.2（），向丙区供气1.3（）；C 供气站向乙区供气1.5（），向戊区供气 2.4（）．输气管理费用Z 3=2.34（万元）．故最大利润Z 2=48.96-15.3- Z 3=48.96-15.3-2.34=31.32（万元）．
表6 问题二的结果列表
供气量()
甲 乙
丙
丁
戊
A 0 1 0 1.8 0 B
2.2
1.3
C 0 1.5 0 2.4
4.2结果分析
4.2.1问题一结果分析
（1）从结果上看，供气站不一定全部对所有小区提供供气，考虑到经济效益，某些供气站可以中断对该小区进行供气，只要满足该小区的日供气量，可以由其他供气站代为供气，而向经济利润大的小区提供更多支持.
（2）由于供气站供气量超过小区所需的日用气量和额外需求量，所以小区每天基本用气量是能满足的，甚至连额外用气量也能满足，故以上约束条件④~⑧左边的约束可以去掉，把右边的可以改成=，也不会影响最后的结果.
（3）由于B供气站直接向甲区提供所需的供气量，而不需要向其他小区供气，所以从经济角度上来说，考虑管道本身的造价问题，可以把B 供气站建立在甲区附近，尽可能减少因管道铺设所带来的额外支出，在减低成本的前提下实现利润最大化，其他供气站也可以此为借鉴.
4.2.2问题二结果分析
（1）由于向乙区所需的供气量直接由A供气站提供，所以从经济角度上来说，考虑管道本身的造价问题，可以把A供气站建立在乙区附近，尽可能减少因管道铺设所带来的额外支出，在减低成本的前提下实现利润最大化.
（2）若通过计算后实现利润的最大化，则可根据已知所求的结果，适
当减少甚至关闭某小区和某供气站的输气管道，如本题中实现利润最大时，A供气站不需要向甲区供气，则两点之间不必要铺设输气管道，也不用增加额外管理费用，也是在减低成本的前提下实现利润最大化.
5 结论
本文的研究重点，主要在已知其成本造价和额外支出的前提下，如何根据实际需求取得供气分配和利润的平衡，实现利润最大化．故应该根据已知条件分析模型，列出使利润最大的等式，建立适当的决策变量、目标函数和约束条件，并借助Lingo软件求出答案，对结果进行探索和剖析．从结果上看，问题一中A供气站向丙区供气1.4，向丁区供气1.8（）；B供气站向甲区供气2.2（），向丙区供气0.3（）；C供气站向乙区供气2.7（），向戊区供气2.4（）．最后获得的最大利润为33.24万元；问题二中A供气站向乙区供气1（），向丁区供气1.8（）；B供气站向甲区供气2.2（），向丙区供气1.3（）；C供气站向乙区供气1.5（），向戊区供气2.4（）．输
气管理费用Z
3=2.34万元．故最大利润Z
2
=31.32万元．
从经济与环境的可持续发展来说，天然气作为一种新型能源，具有洁净、高效、优质、无污染等特点，如何重点发展天然气产业，发展绿色环保经济，这是未来一个值得研究和摸索的话题．
致谢：本次毕业论文是在我们的导师肖刚老师的悉心指导下完成的．在每次遇到问题时老师不辞辛苦地讲解才使得我的论文设计得以顺利地进行．从论文的选题到资料的搜集再到最后的修改整个过程中，花费了肖老师很多宝贵的时间和精力，再此向老师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生终身受益！
参考文献
[1]刁在筠.运筹学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007, 57-62.
[2]张建中，许绍吉.线性规划[M].北京：科学出版社，2005.
[3]王艳峰,沈祖培.输气管道优化设计新模型[J]. 油气储运. 2004.
[4]姜启源.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011, 85-95.
The model of the transportation of natural gas pipeline
Chen Xian
Abstract:Through the analysis of gas suppliers and residential areas, we arrange the proper scheme of pipeline transport, make the pipeline transportation costs minimum, prompting the biggest profit. According to the specific circumstances, linear programming model is established, and the related constraints and objective function will be the constraint optimization problem.In the MATLAB and LINGO software we can find the optimal solutions to prove that the method design of urban natural gas pipeline of natural gas pipeline; Linear programming; The optimization design
6 附录
6.1附录清单
附录一：求解问题1的LINGO程序
附录二：附录一的运行结果
附录三：求解问题2的LINGO程序
附录四：附录三的运行结果
6.2附录正文
附录一：求解问题1的LINGO程序
max=2.8*x11+3.1*x12+3*x13+3.2*x14+3*x15+3*x21+2.9*x23+3*x24 +2.8*x25+2.9*x31+3.1*x32+2.8*x33+3.1*x35;
x11+x12+x13+x14+x15<=3.2;
x21+x23+x24+x25<=3.9;
x31+x32+x33+x34<=4.2;
x11+x21+x31>=1.5;
x11+x21+x31<=2.2;
x12+x32>=1.8;
x12+x32<=2.7;
x13+x23+x33>=1.3;
x13+x23+x33<=1.7;
x14+x24>=1.3;
x14+x24<=1.8;
x15+x25+x35>=1.6;
x15+x25+x35<=2.4;
end
附录二：附录一的运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 33.24000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost X13 1.400000 0.000000 X14 1.800000 0.000000 X21 2.200000 0.000000 X32 2.700000 0.000000 X35 2.400000 0.000000
X34 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 33.24000 1.000000
3 1.400000 0.000000
4 1.500000 0.000000
6 0.000000 3.000000
8 0.000000 3.100000
10 0.000000 2.900000 12 0.000000 3.100000 14 0.000000 3.100000 附录三：求解问题2的LINGO程序
min=0.5*x11+0.2*x12+0.3*x13+0.1*x14+0.3*x15+0.3*x21+0.4*x23 +0.3*x24+0.5*x25+0.4*x31+0.2*x32+0.5*x33+0.2*x35;
x11+x12+x13+x14+x15=2.8;
x21+x23+x24+x25=3.5;
x31+x32+x33+x35=3.9;
x11+x21+x31>=1.5;
x11+x21+x31<=2.2;
x12+x32>=1.8;
x12+x32<=2.7;
x13+x23+x33>=1.3;
x13+x23+x33<=1.7;
x14+x24>=1.3;
x14+x24<=1.8;
x15+x25+x35>=1.6;
x15+x25+x35<=2.4;
end
附录四：附录三的运行结果
Global optimal solution found.
Objective value: 2.340000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost X12 1.000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X14 1.800000 0.000000 X21 2.200000 0.000000 X23 1.300000 0.000000 X32 1.500000 0.000000 X35 2.400000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2.340000 -1.000000 6 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000。