稳恒磁场

第十章 稳恒磁场
10-8 如图所示，无限长载流导线附近，球面Ｓ向导线靠近，穿
过Ｓ的磁通量Φ将不变，面上各点磁感应强度的大小将增大。

(均填“增大”或“减小”或“不变”)
10-9 如图，载有电流I 的无限长直导线的一侧有一等腰直角三角形的回路ＭＮＯ，回路和长直导线共面，回路的ＭＮ边与导线平行，相距为a ，而且ＭＮ和ＭＯ的长度也等于a ，求通过此回路的磁通量。

解：取如图所示的面积元（阴影部分），通过此面积元的磁通
量为
dr r a r
I
S d B d )2(20-=⋅=Φπμ
所以，通过三角形面积的磁通量为
)12ln 2(2)2(2020-=-=Φ=Φ⎰⎰
π
μπμIa
dr r a r I d a
a
10-15 图示为一张某粒子在均匀磁场B 中运动轨迹的照片，中
间阴影区为铅板，粒子通过铅板后速度变小，从图中可以看出左半部
轨迹较右半部弯曲得厉害些，则该粒子（Ｂ）
（Ａ）不带电。

（）带正电。

（Ｃ）带负电。

（Ｄ）不能判断。

解：从图中可以看出粒子由右向左运动。

设粒子带正电，判断后发现其运动轨迹与图形符合，所以带正电。

10-17 图为某载流体（通电导体或半导体）的横截面，电流的方向垂直于纸面向。

若在铅直向上方向加一磁场，发现在载流体左右两侧堆积如图所示的电
荷，则该载流体中运动的电荷是（Ｂ）。

（Ａ）正电荷 （Ｂ）负电荷 （Ｃ）正、负电荷都可能
10-19 如图，载流Ｉ的无限长直导线附近有导线ＰＱ，载流1I ，如用下面的方法计算ＰＱ受力：
Ba I f 1=，b b a I dx x I B b
a b
+=⋅=⎰
+ln 2200πμπμ，所以b
b a a II f +=ln 210πμ 则是错误的，正确的解法是_______________________。

解：把PQ 看作许多电流元组成，任找一段电流元x d I
1，则它所受的磁场力为
dx I x
I
dxB I df 1012πμ=
=
所以，PQ 受力为
b
b
a II dx I x I f b
a b
+==⎰
+ln 221010πμπμ 10-1 如图，Ｐ点磁感应强度的大小等于________，方向为____________。

解:MA 、DN 段电流在P 点激发的磁
感应强度为0，即
021==B B
AB 、BC 、CD 段电流在P 点激发的磁感应强度分别为
a I a I B πμπ
πμ82)0sin 4(sin 4003=
+=
⊗ a
I a I B πμπ
ππμ42)4sin 4(sin 4004=
+=
⊗ π
μπ
πμa I a I B 82)0sin 4(sin 4005=+=
⊗ 故P 点的总磁感应强度为
π
μa I
B B B B B B 22054321=
++++= ⊗ 10-2 载流为I 的无限长直导线，在Ｐ点处弯成半径R 的圆周，如图，若缝隙极窄，则圆心O 处磁感应强度B
的大小为________，方向为________。

解：O 点的B 是一无限长直导线和圆电流产生的B
的叠加。

直导线的磁场为
R
I
B πμ20=
⊙ 圆电流的磁场为
R
I
B 20μ=
⊗
所以，O 点总的磁感应强度为
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-
=
πμπμμ11222000R I R I R
I
B ⊗ 10-3 一无限长载流导线，弯成图示形状，缝隙处极窄，若圆心处的磁感应强度为零，则半径之比=b a ：)1/(+ππ。

解：圆心处的磁场是一无限长载流直导线与两个圆电流产生的磁场的叠加。

直导线的磁场为
b
I
B πμ20=
⊗ 外圆电流的磁场为
b
I
B 20μ=
⊗
内圆电流的磁场为
a
I
B 20μ=
⊙
因为
0112200=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
=
πμμb I a
I
B O 所以
π
π+=1b a
10-4 如图所示，均匀导线弯成半径为R
的圆环，另有一长直导线通以电流I ，从Ａ点进入圆环，并在Ｂ点流出，∠AOB α2=，求环心Ｏ点的磁感应强度。

解：环心Ｏ点的磁感应强度由MA 、ACB 、ADB 、BN 四段电流激发，它们激发的磁感应强度分别为
α
παμcos 4)
sin 1(0R I B MA -=
⊙
2
0010)
(22222222222π
απαμπαππαμπαπμ-=-=-=
R I I R R I B ACB ⊗
2
0020)
(2222222222παπαμπαπαπμπαμ-=-==
R I I R R I B ADB ⊙
α
παμcos 4)
sin 1(0R I B BN -=
⊙
所以，Ｏ点的磁感应强度为
α
παμcos 2)
sin 1(0R I B B B B B BN ADB ACB MA -=
+++= ⊙
10-6 一条无限长传输电流的扁平铜片，宽度为b 2，厚度忽略不计，电流强度I ，如图（截面图）所示。

求：⑴与铜片在同一平面内的Ｐ点的磁感应强度B
；⑵铜片中垂线上Ｑ点的磁感应强度B。

（距离a 、d 已知）
解：（1）建立如图所示的坐标系。

把铜片看作一根根细长电流并排而成，任取一宽度为dx 的长条，其上面的电流为b Idx dI 2/=，它在Ｐ点激发的磁感应强度为
x
d b dx
b I x d b dI
dB -+=
-+=
πμπμ4)
(200
由于各B d
的方向一致，所以Ｐ点总的磁感应强度为
d
b
d b I x d b b Idx
dB B b
b
2ln
4)
(400+=
-+==⎰⎰
-πμπμ ↓ （2）由对称性分析得，Ｑ点磁感应强度的y 分量为零，即0=y B 。

有
r
dx b I r dI dB πμπμ4200==
απμαcos 4cos 0r
dx
b I dB dB x =
=
所以，Ｑ点总的磁感应强度为
a
b
arctg
b I x a adx b I x a a x a b Idx
dB B b
b b
b
x πμπμπμ2)(4402202
22
20=+=++==⎰
⎰
⎰-- → 讨论：（a ）若b a >>，
0→a b ，a
b
a b arctg →，则
a
I
a b b I B πμπμ2200=⋅=
即过渡成无限长载流直导线的磁场。

（b ）若b a <<，2
π
→a b arctg
，则 j b I b I B 0002
1
422μμππμ==⋅=
式中b I j 2/=是电流密度。

上式过渡成无限大均匀载流平面的磁场。

10-7 半径为R 的细圆环，均匀带电，单位长度所带电荷为τ，绕着通过环心并与环面垂直的转轴等速转动，每秒转动n 转，求：⑴环心Ｏ处的磁感应强度；⑵在轴线上任一点Ｐ处的磁感应强度。

（ＯＰ相距x ）
解：（1）带电圆环转动等效的电流为
R n n R nq I τπτπ22===
它在圆心Ｏ处激发的磁场为
τπμμn R
I
B 0002==
→
（2）由对称性分析可知，Ｐ处的磁感应强度沿x 轴正方向。

如图所示，在圆电流上任取一电流元l Id
，它在Ｐ点激发的磁感应强度的大小为
dl r I r Idl dB 2
0200490sin 4πμπμ==
所以，Ｐ点总的磁感应强度的大小为
R r
I
dl r I dB dB B x παπμαπμα2cos 4cos 4cos 2
020⋅====⎰
⎰⎰ (
)
(
)
2
/322
3
02
/322
2
022x
R R n x
R IR +=
+=
τπμμ
沿x 轴正方向。

10-10 如图，l 为一闭合曲线，Ｐ为l 上的一点，则
⎰=⋅l
dl B )21
0I I
-（μ，Ｐ点处的磁感应强度与电流321I I I 、、有
关。

10-11 将一个均匀导体弯成半径为R 的圆环，在Ａ和Ｂ两点各
连接直导线PA 和BQ
，Ｐ和Ｑ两点在很远处与一电源相连接，直导
线中通有电流为I ，环心处的磁感应强度B 的大小为0，对所取回路l ，B
的环流
⎰=⋅l
l d B
3/20I μ-。

解：PA 、QB 在O 点产生的磁场为0。

由19-19题知，两圆弧在O 产生的磁场大小相等，方向相反，之和也为零。

所以环心处的磁感应强度大小为零。

因为
3/1I I = 3/22I I =
所以
⎰=⋅l
l d B I I I 00323μμ-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 10-12 真空中强度为A 10的电流沿轴线方向流过极长的圆柱形导体，在导体的横截面
上(直径为cm 4)，电流均匀分布，则此磁场中R r =处的磁感应强度最大，量值为T 4
101-⨯。

解：由安培环路定理得，空间的磁场分布为
⎪⎩⎪⎨
⎧>≤=R
r r
I R
r R Ir
B πμπμ22020
所以，当R r =时磁感应强度最大，其值为
)(10102.0210104224702
0T R I R
IR B MAX
--⨯=⨯⨯⨯===πππμπμ 10-21 载有电流1I 的长直导线旁有一底边长为d 。

载有电流2I 的等腰三角形回路。

三
角形顶点Ｃ距直导线为a 。

底边ＤＥ与直导线平行，相距为b ，且回路与直导线共面。

求回路所受的磁力。

解：先求CD 边受力。

在CD 边上任找一电流元l d I
2，则其所受磁场力为
θ
πμπμcos 222102102dr
r I I dl I r I dlB I dF ==
= 由于各F d
方向一致，所以CD 边所受力为
a
b
I I r dr I I dF F b
a
CD ln cos 2cos 2210210θπμθπμ===⎰
⎰
方向垂直于CD 边指向左上方。

CE 边受力大小与CD 边相同，方向指向左下方。

DE 边受力
b
d
I I Bd I F DE πμ22102=
= 指向右边。

在竖直方向上CD 与CE 的分力大小相等方向相反，所以回路所受的合力
b
d I I a b
I I F F F DE CD πμθθπμθ2sin ln cos 22
sin 2210210-=-=
=-=
b d I I a b I I πμθπμ2ln tan 210210b
d
I I a b a b d I I πμπμ2ln )(2210210-- 水平向左。

10-25 如图，在均匀磁场B
中，半径为R 、圆心角θ的扇形硬导线OAB 线圈，载流I ，
线圈平面与B 垂直，则圆弧AB 所受到的安培力的大小为2/sin 2θIBR ，方向为垂直于AB
且沿径向向外；该线圈的磁矩大小为2/2
θIR ，方向为垂直纸面向里；该线圈所受磁力矩大小为0。

解：圆弧AB 所受到的安培力
B AB I B l d I B l Id F d F B A
B A
B A
AB
⨯=⨯=⨯==⎰⎰⎰)(
其大小为
=AB F 2
sin
2θ
IBR
方向垂直于AB 且沿径向向外。

该线圈的磁矩大小为
θ2
2
1IR IS P m =
= 方向垂直纸面向里。

线圈所受磁力矩
0=⨯=B P M M。

10-27 如图所示的三条B ～H 曲线，分别表示顺磁性、抗磁性和铁磁性三种物质，其中表示抗磁性材料的是曲线a。