高中数学必修二 第一章立体几何 章末归纳提升1
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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必修二
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案
数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。
2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。
主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。
(完整版)高中数学必修2立体几何知识点
高中数学必修 2 知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的构造特色(略)棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球：1.2 空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积4圆台的表面积S 2 rl2r 2 3 圆锥的表面积S rlr 2 S rl r 2Rl R2 5 球的表面积S 4R26扇形的面积公式S扇形n R21lr （此中l表示弧长，r表示半径）3602（二）空间几何体的体积1柱体的体积 V S底h 2 锥体的体积1S底h V33台体的体积V1S上h4 球体的体积V4R3（下下3S上 SS )3第二章直线与平面的地点关系2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系1平面含义：平面是无穷延展的 , 无大小，无厚薄。
2平面的画法及表示450，且横边画成邻边的（1）平面的画法：水平搁置的平面往常画成一个平行四边形，锐角画成 2 倍长（2）平面往常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也能够用表示平面的平行四边形的四个极点或许相对的两个极点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。
3三个公义：（1）公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l符号表示为B ll AB公义 1 作用：判断直线能否在平面内（2）公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为： A、B、C 三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、 B∈α、 C∈α。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
21-22版：章末复习(步步高)
(3)平面与平面平行的判定 ①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行. ②符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P ，a∥α，b∥α⇒β∥α. ③图形语言：如图所示.
(4)平面与平面平行的性质定理 ①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ②符号语言：α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b ⇒a∥b. ③图形语言：如图所示.
12345
(2)平面BDE⊥平面ABC.
12345
本课结束
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感悟
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必 要的，判定线面平行的两种方法： ①利用线面平行的判定定理. ②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线 平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理. ②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). ③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
跟踪训练3 如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为 直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
证明 因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AF⊥AD. 又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD. 又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A， 所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.
第一章 立体几何初步
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 达标检测
1 知识梳理
PART ONE
1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共 边互相平行. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋 转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常 需作它们的轴截面或截面. (3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解 成多个基本几何体.
单元复习01 第一章 空间向量与立体几何【过知识】
) D．4 个
2 重点题型
(2)已知正四棱锥 P-ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y，z 的值．
①O→Q＝P→Q＋yP→C＋zP→A； ②P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
2 重点题型
[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及 在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的 和．如A→C1＝A→B＋A→D＋A→A1.
2 重点题型
在几何体中求空间向量的数量积的步骤 1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. 2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向 量的数量积. 3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. 4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2 重点题型
跟踪训练 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶 点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求—AC→1 的长； 解 记A→B＝a，A→D＝b，—AA→1 ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
2 重点题型
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、 减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向 量的自由平移获得运算结果．
A．－2 B．2 C．－2 3 D．2 3
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1， OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求O→G·(O→A＋O→B＋O→C)的值．
2 重点题型
(1)A [∵C→D＝A→D－A→C，∴A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C)＝A→B·A→D－ A→B·A→C＝0－2×2×cos 60°＝－2.]
第一章《空间向量与立体几何》--总结提升-课件-2024-2025学年人教A版高中数学选择性必修一
1
(
4
− ) + =
1
4
− + − =
3
4
1
+
4
− =
3
4
1
+
4
− .
素养提升
例3（1）
已知正四面体的棱长为2， ， ，分别是， ，的
中点，则 ⋅ 的值为(
1
2
A.
B
)
B.1
C.2
D.4
1
2
[解析] 设 = ， = ， = ，则 ⋅ = ⋅ = ⋅ = 2 × 2 × = 2，
1 = −2,0,2 ， = 1,1, −2 ,所以cos⟨1 ，
3
,又直线与1 所成的
2
1
π
角为锐角，所以直线与1 所成的角为 ，故选D.
6
⟩ =
1 ⋅
=−
6
2 2× 6
=−
素养提升
方法二：如图，连接1 ，易知1 //1 ,所以1 与所
2
= (1 + 1 1 + 1 1
)2
2
= 1 = 32 ,故A为真命题;
1 ⋅ 1 1 − 1 = 1 ⋅ 1 = 0,故B为真命题;
连接1 ，则1 与1 的夹角是1 与1 夹角的补角,而1 与1 的夹角为60∘ ,
故1 与1 的夹角为120∘ ,故C为假命题;
存在实数,，使得 = + ，所以 1, −1,2 = −2 + 5, − 3, ，
−2 + 5 = 1,
= 1,
即ቐ − 3 = −1, 解得ቐ = 2,故选B.
高中数学《空间向量与立体几何》章末复习
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点，
∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12→AB＝a＋c＋12b.
(2)∵N 是 BC 的中点，
∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12→BC＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
学科思想培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向 量的分解定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几 何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线 与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化 为向量代数运算．
4．线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： (1)证明直线方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行 (1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题．
6．面面垂直 (1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正 交基底{a，b，c}按右手系排列，各坐标轴的正方向与 a，b，c 同向． 2．向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b
3．求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两 个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向 量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个 面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 4．点到平面的距离的求法 点 P 到它在一个平面 α 内射影的距离，叫做点 P 到这个平面 α 的距离．若 A 为平面 α 内任一点，n 为平面 α 的法向量，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→|An·|n|.
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步小结与复习(打印)
例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且AÎ α, CÎ β ,DÎ . α,BÎ β 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.
C
2．填空题 （1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面内， PA⊥，PA=a，则P到CD的距离为 ， P到BC的距离为 . （2）AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角 ，OC，AA‘⊥于A’，∠A‘OC=45º，则A到直 线OC的距离是 ，∠AOC的余弦值是 . 答案：（1）2a, 7 a ; （2） 14 a, 2
一、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生掌握知识 结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知 识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。2、 过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、 简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记； 同时凸现数学知识的发展和联系。3、情态与价值：学生通 过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及 其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题 能力。 二、教学重点、难点 重点：各知识点间的网络关系； 难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平 行关系之间的转化。 三、教学过程
（二）整合知识，发展思维
2
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理 体系的基石，是研究空间图形问题，进行 逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空 间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系：
课题：立体几何初步章末小结
第 1 页共 4 页第 2页共4页第 3 页 共 4 页 第 4页 共4页自主训练1、判断对错：①每一个平面都有一个确定的面积（ ）②平面α和平面β相交时，它们的公共点可能只有有限个（ ）③经过空间任意三点，有且只有一个平面( )④如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合( ) ⑤如果一条直线和两条直线都相交，则这三条直线共面( )⑥在空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形( )⑦过直线上一点可作无数条直线与这条直线垂直，并且这些直线都在同一平面内( ) ⑧同一平面的两条垂线一定共面( )⑨过一条直线，有且只有一个平面与已知平面平行( )2、 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 （ ）正视图 侧视图 俯视图A ．23B ．32C ．12D ．63.线a 、b 和平面α，下面推论错误的是 （ ） A.b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊆⊥ααb a B αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b // a aCααα⊆⇒⎭⎬⎫⊥⊥a //a b b a 或 D b //a b //a ⇒⎭⎬⎫⊆αα4.面上有三个点A, B , C, 且AB= 3 , BC= 4 , AC= 5 ,球心到平面ABC 的距离为球的半径的12，那么这球的半径是（ ）A 533B 53C 1033D 1035.下列命题正确的有（填序号）① 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 ②一直线与平面垂直，则它与平面内任一直线垂直 ③分别在两个平行平面内的直线互相平行 ④ 过一点作已知直线的垂面有且只有一个6. 如图PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点. （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；(3)若∠PDA=045，求证：MN PCD ⊥平面MNPDCBA7.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且11//A B AC D 平面，111D B C 是的中点。
高中数学第1章空间向量与立体几何章末综合提升教案版选择性必修第一册
第1章[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：①OA →·OB →；②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →.则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →.∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝6.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量基本定理向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( )A ．0B ．357C ．9D ．657(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底，∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，解得λ＝657.](2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－12OA →＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c .(2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.空间向量的坐标表示【例3】 (1)已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________．(2)已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． ①当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； ②当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．[思路探究] (1)利用|a |＝|a |2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)355[由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)．∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.](2)[解] ①∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )， ∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.②∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，(1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)， 则|M 1M 2→|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(5)a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时Q 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 C [设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB －OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． [解] (1)证明：以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，∴BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2y －1＝0，－1－2z －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直. 线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题.面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]4.如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)．因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a2. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，又AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)，所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b ) . 设平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC .用空间向量求空间角和空间距离1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a ，n 〉，则θ＝π2－〈a ，n 〉(〈a ，n 〉为锐角)或θ＝〈a ，n 〉－π2(〈a ，n 〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？[提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．【例5】 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解] 如图，建立空间直角坐标系B xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM→＝(－2，－3,2)，QP→＝(－4，－2，－2)，∴QM→在QP→上的射影的模＝|QM→·QP→||QP→|＝－2×－4＋－3×－2＋2×－2－42＋－22＋－22＝1024＝566.故M到PQ的距离为|QM→|2－⎝⎛⎭⎪⎫5662＝17－256＝4626.(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的某一法向量，则n⊥AB1→，n⊥AP→，∵AB1→＝(－4,0,4)，AP→＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x＋4z＝0，－4x＋4y＝0，因此可取n＝(1,1,1)，由于MA→＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝|MA→·n||n|＝|2×1＋－3×1＋－4×1|3＝533，故M到平面AB1P的距离为533.1．本例中，把条件“∠BAD＝120°”改为“∠BAD＝90°，且PA＝1”，其它条件不变，求点A到平面PCB的距离．[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(0,2,0)，∴AP→＝(0,0,1)，BP→＝(0，－2,1)，BC→＝(1，－1,0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BP→＝0n·BC→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧－2y＋z＝0x－y＝0.令y＝1，则x＝1，z＝2.∴n＝(1,1,2)，∴A点到平面PCB的距离为d＝|AP→·n||n|＝26＝63.2．在本例条件中加上“PA＝1”，求直线PA与平面PCB所成角．[解]根据题目所建立的平面直角坐标系可知A(0,0,0)，P(0,0,1)，C⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，B(0,2,0)，∴AP→＝(0,0,1)，BC→＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，0BP→＝(0，－2,1)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，∴⎩⎨⎧m·BC→＝32x－32y＝0，m·BP→＝－2y＋z＝0，令y＝1，则m＝(3，1,2)，设PA与平面PCB的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，PA→〉|＝|m·PA→||m||PA→|＝21×22＝22，∴θ＝45°.故直线PA与平面PBC所成的角为45°.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．[培优层·素养升华]【例】 如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M —PA —C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． [思路探究] (1)首先利用等腰三角形的性质可得PO ⊥AC ，利用勾股定理可证得PO ⊥OB ，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M (含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．[解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)如图以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →＝(0,2,23)．取平面PAC 的一个法向量OB →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)． 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋4－a y ＝0，取y ＝3a ，则z ＝－a ，x ＝3(a －4)，可得n ＝(3(a －4)，3a ，－a )为平面PAM 的一个法向量，所以cos 〈OB →，n 〉＝23a －423a －42＋3a 2＋a 2. 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32，所以23|a －4|23a －42＋3a 2＋a2＝32， 解得a ＝43，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式⎝ ⎛⎭⎪⎫即cos θ＝a·b |a ||b |来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．[跟进训练]如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B EC C 1的正弦值．[解] (1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB .以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，|DA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，CE →＝(1，－1,1)，CC 1→＝(0,0,2)．设平面EBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n ＝0，CE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －y ＋z ＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧CC 1→·m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取m ＝(1,1,0)．于是cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝－12.所以，二面角B EC C 1的正弦值为32.。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章本章优化总结
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第一章
立体几何初步
例1 (2011· 高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示
(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m3.
【分析】 由三视图还原出直观图,然后利用体积公式求解．
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第一章
立体几何初步
专题三 空间中的角的求解 空间中的角主要有异面直线所成的角、直线与平面所成的角 及二面角这三种空间角，求解这三种空间角的总体思想是先 把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值，其 一般步骤是：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定 义；(3)化归到某一三角形中进行计算．常见的方法有：(1)定 义法：根据相关角的定义,在已知图形中直接作出具体的平面 角．作异面直线所成的角关键是在图形中找到一个特殊点，
【分析】
其值．
(1)线线垂直→线面垂直→面面垂直；(2)利用线面
垂直，结合定义作出二面角的平面角，转化到三角形中求得
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第一章
立体几何初步
【解】 (1) 证明：如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接OE. 在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点， ∴OE∥PC.又PC⊥平面ABCD， ∴OE⊥平面ABCD.
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第一章
立体几何初步
例2 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中, AB⊥AC，PA⊥平面ABCD,且PA＝AB,点E是PD的中点． 求证：
(1)AC⊥PB； (2)PB∥平面AEC.
【分析】 运用线面平行、垂直的判定和性质定理证明．
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第一章
立体几何初步
【证明】
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全)高中数学必修二知识点汇总第一章：立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征1) 棱柱：是由两个平行的多边形底面和若干个侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
棱柱的侧面和对角面都是平行四边形，侧棱平行且相等，平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2) 棱锥：是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
棱锥的侧面和对角面都是三角形，平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3) 棱台：是由一个平行于棱锥底面的平面截取棱锥，截面和底面之间的部分组成的几何体。
根据底面多边形的边数不同，可以分为三棱台、四棱台、五棱台等。
棱台的上下底面是相似的平行多边形，侧面是梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。
4) 圆柱：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆柱面组成的几何体。
底面是全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图是一个矩形。
5) 圆锥：是由一个圆形底面和一个以底面圆心为顶点的锥面组成的几何体。
底面是一个圆，母线交于圆锥的顶点，侧面展开图是一个扇形。
6) 圆台：是由一个圆形底面和一个平行于底面的圆台面组成的几何体。
上下底面是两个圆，侧面母线交于原圆锥的顶点，侧面展开图是一个弓形。
7) 球体：是由一个半圆面绕其直径旋转一周所形成的几何体。
球的截面是圆，球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图三视图是指正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）和俯视图（从上向下）组成的视图。
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。
俯视图和侧视图是用来反映物体在不同方向上的位置关系的，前者反映长度和宽度，后者反映高度和宽度。
斜二测画法是一种直观的图示方法，它的特点是原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变，原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，但长度为原来的一半。
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_8
《空间几何体的结构（一）》教学设计1、章节内容：本章学习空间几何体。
课时安排为8课时，本章重点是认识空间几何体的结构特征，画出空间几何体的三视图、直观图，培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。
由空间图形说出其结构特征，由结构特征想象出空间几何体，进行空间图形与其三视图的相互转化。
1.1节安排两课时，学生通过观察图片认识空间几何体；1.2安排两课时，学生可以在平面上画出空间几何体的三视图、直观图；1.3安排两个课时，学生可以了解空间几何体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积与体积，后面一节“实习作业”，一节习题课，本章教学层层递进，学生可以深刻体会空间几何体图形来自于生活实际，又为研究实际物体图形服务。
《空间几何体的结构（一）》是人教版A版新课程高一数学必修2第一章第一节第一课时，这一章是是立体几何学习初步，教师在教学时要层层递进，逐步培养学生的空间立体感。
2、教学理念和教学思路：我觉得新课程标准重在培养学生的动手动脑能力，重在知识的形成过程，而且《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，重在逐步培养学生的空间立体感，所以本节教学应加强几何直观的教学，通过实物结合，得出空间几何体的概念。
同时，通过学生激趣学习、类比学习，增强学生参与数学学习的意愿。
其次，在学生学习过程中能够经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．3、教材及学生学情分析：空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，新课标改变以往立体几何先研究点、直线、平面，再研究由它们构成的几何体，而改为从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面．这样设计巧妙解决了立体几何入门难的问题，强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣．笨节为空间几何体第一课时，本节内容学生在初中数学课程“空间与图形”已有所涉及，但高中阶段要求不同，素材更为丰富，学习的深度和概括程度加大．教学时要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理．本节在教学中学生容易出现以下问题：一是在归纳总结几何体的结构特征时，不能从现实生活空间中抽象出空间图形。
高中数学必修二 第一章立体几何 课后训练 本章归纳总结1
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10．平行关系的转化
由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判 定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题 时应把握这一点，灵活确定转化的思路和方向．
第一章 本章归纳总结
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第一章 本章归纳总结
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(2)设内切球的半径为 r，作 SE⊥平面 ABCD，垂足为点 E， 作 SF⊥BC 于点 F，连接 EF，
则有 SF＝ SB2－BF2 ＝ 2a2－a22＝ 27a， S△SBC＝21BC·SF＝ 47a2. S 棱锥全＝4S△SBC＋S 底＝( 7＋1)a2. 又 SE＝ SF2－EF2＝ 27a2－a22＝ 26a，
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9．判定两个平面平行的方法 (1)依定义采用反证法； (2)利用判定定理： a∥β，b∥β，a α，b α，a∩b＝A⇒α∥β； (3)垂直于同一条直线的两个平面平行： a⊥α，a⊥β⇒α∥β； (4)平行于同一平面的两个平面平行： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
第一章 本章归纳总结
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[规范解答] (1)因为 C′O⊥平面 ABD，O 在 AB 上，AD 平面 ABD，所以 C′O⊥DA.
因为 AB⊥DA 及 AB∩C′O＝O， 所以 DA⊥平面 ABC′，BC′ 平面 ABC′. 所以 DA⊥BC′. 又因为 BC⊥CD， 所以 BC′⊥C′D. 因为 DA∩C′D＝D， 所以 BC′⊥平面 AC′D.
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(2)延长 B1A1 与 BM 交于点 N，连接 C1N. ∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1. ∵A1C1＝A1N＝A1B1， ∴C1N⊥B1C1， ∴C1N⊥侧面 BB1C1C. ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.
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图 1－6 (2013·大纲全国卷改编)如图 1－6，四棱锥 P—ABCD 中， ∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB 和△PAD 都是等边 三角形． 证明：PB⊥CD；
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【规范解答】 连接 AO，BO，CO，DO，则三棱锥 A －BCD 被分割成为四个小三棱锥：O－ABC，O－ABD，O－ ACD，O－BCD，
并且这四个小三棱锥的顶点都为 O，高都为 r，底面分别 为△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
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故有 VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD ＝13S△ABC·r＋13S△ABD·r＋13S△ACD·r＋13S△BCD·r ＝13(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝13Sr.
若某几何体的三视图如图 1－1 所示，则这个几 何体的直观图可以是( )
图 1－1
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A
B
C
D
【思路点拨】 选项―验―证→三视图―对―照→选择
【解析】 所给选项中，A、C 选项的主视图、俯视图不 符合，D 选项的左视图不符合，只有 B 选项符合．
【答案】 B
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一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图 与侧(左)视图分别如图 1－2 所示，则该几何体的俯视图为
又∵四边形 GBFC1 是平行四边形， ∴C1G∥BF，所以 ED1∥BF， ∴ED1∥平面 DFB. 又∵B1D1∥BD， ∴B1D1∥平面 FDB，且 ED1∩B1D1＝D1， ∴平面 EB1D1∥平面 FBD.
空间中的垂直关系
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在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与 面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心， 学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一 般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则 可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定 理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进 一步转化为线线垂直．
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又 OE⊥OP，BD∩OP＝O， 所以 OE⊥平面 PDB，从而 PB⊥OE. 因为 O 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点， 所以 OE∥CD.因此 PB⊥CD.
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等价转化思想
通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何 问题，这是一种降维转化思想．
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已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，CC1 的中点．求证：平面 EB1D1∥平面 FBD.
【证明】 如图，取 BB1 的中点 G，连接 EG，GC1.
∵AC1 是正方体， ∴四边形 EGC1D1 是平行四边形， ∴C1G∥ED1.
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(2012·广东高考)某几何体的三视图如图 1－3 所示，它的 体积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
图 1－3
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【解析】 由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合 而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为 3，高为 4，半 球的半径为 3.
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2．常见的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解． (2)割补法：割补法的思想是：通过分割或补形，将原几 何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何 体的体积． (3)等体积变换法：等积变换法的思想是：从不同的角度 看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理， 来求原几何体的体积．
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已知三棱锥 A－BCD 的表面积为 S，其内有半径 为 r 的内切球 O(球 O 与三棱锥 A－BCD 的每个面都相切，即 球心 O 到 A－BCD 每个面的距离都为 r)，求三棱锥 A－BCD 的体积．
【思路点拨】 分析三棱锥 A－BCD 的体积与以 O 为顶 点，各个面为底面的 4 个小棱锥体积间的关系．
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【解】 证明：如图，取 BC 的中点 E，连接 DE，则 ABED 为正方形．
过 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O. 连接 OA，OB，OD，OE. 由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA＝PB＝PD，所 以 OA＝OB＝OD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故 OE⊥BD.
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空间几何体的三视图与直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几 何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由 空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象 出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．
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【规范解答】
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(1)∵SA⊥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD，∴SA⊥BC. 又 AB⊥BC，∴BC⊥平面 SAB. ∴BC⊥AE.又 SB⊥AE， ∴AE⊥平面 SBC，∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF，∴AF⊥SC.
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(2)∵SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥DC.又 AD⊥DC， ∴DC⊥平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴ SC⊥AG，∴AG⊥平面 SDC，∴AG⊥SD.
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点．∴OF∥PD.
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又 OF⊄平面 PMD，PD⊂平面 PMD， ∴OF∥平面 PMD.又 MA 綊12PB，∴PF 綊 MA.
∴四边形 AFPM 是平行四边形．∴AF∥PM. 又 AF⊄平面 PMD，PM⊂平面 PMD. ∴AF∥平面 PMD. 又 AF∩OF＝F，AF⊂平面 AFC，OF⊂平面 AFC. ∴平面 AFC∥平面 PMD.
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如图 1－7 所示，正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面边 长为 2 2，侧棱长为 4，E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，EF∩BD ＝G.
图 1－7 求证：平面 B1EF⊥平面 BDD1B1；
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【解】 连接 AC.∵正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是 正方形，
线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建 立联系，揭示本质．
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已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 ABCD，再 过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E，过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F.
(1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AG⊥SD. 【思路点拨】 本题可通过多次线线垂直与线面垂直的 相互转化来求解．
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特别注意，转化的方法总是受具体题目的条件决定，不 能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示 是平行关系相互转化的示意图．
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如图 1－4 所示，四边形 ABCD 是平行四边形， PB⊥平面 ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段 PB 上是否存 在一点 F，使平面 AFC∥平面 PMD？若存在，请确定点 F 的 位置；若不存在，请说明理由．
图 1－5
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【思路点拨】 (1)由面面垂直的性质可证． (2)先证明 C1N⊥侧面 BB1C1C，再证截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C. 【规范解答】 (1)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C， ∴AD⊥侧面 BB1C1C. ∴AD⊥CC1；
V＝V 半球＋V ＝ 圆锥 12·43π·33＋13·π·32·4＝30π. 【答案】 C
空间中的平行关系
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在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、 线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线 面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转 化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”； 而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就 是“低维”的判定定理．
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如图 1－5 所示，在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中， 底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.
(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于点 M， 若 AM＝MA1，求证：截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.
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图 1－2
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【解析】 结合主视图和左视图可知，该空间几何体如 图所示，故其俯视图为选项 C 中的图形．
【答案】 C
空间几何体的表面积、积
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1.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够 遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之 间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、 梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用．
图 1－4
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【思路点拨】 假设存在满足条件的点 F，由于平面 AFC ∥平面 PMD，且平面 AFPM 与平面 AFC、平面 PMD 分别交 于直线 AF、PM，则必有 AF∥PM，又 PB＝2MA，则点 F 是 PB 的中点．
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【规范解答】 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC∥平 面 PMD，证明如下：如图连接 AC 和 BD 交于点 O，连结 FO， 那么 PF＝12PB.