三角形培优训练100题集锦(学生用)

三角形培优训练专题
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图ABC ∆中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。

分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。

解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ∆≅∆，3==AC BE
∵BE AB AE BE AB +-ππ (三角形三边关系定理) 即822ππAD ∴41ππAD
2、如图，ABC ∆中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与
EF 的大小。

证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG
E C A
B
D
∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆ ∴CF BG = ∵DF DE ⊥ ∴EG EF =
在BEG ∆中，EG BG BE φ+ ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE φ+
3、如图，ABC ∆中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.
证明方法一：利用相似论证。

证明：∵AC DC BD == ∴BC AC 2
1
=
∵E 是DC 中点
∴AC DC EC 21
21==，BCA ACE ∠=∠
∴BCA ∆∽ACE ∆ ∴CAE ABC ∠=∠ ∵DC AC =
∴DAC ADC ∠=∠，BAD ABC ADC ∠+∠=∠ ∴CAE DAE BAD ABC ∠+∠=∠+∠ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠
证明方法二：利用全等论证。

证明：延长AE 到M ，使AE EM =，连结DM 易证CEA DEM ∆≅∆ ∴MDE C ∠=∠，DM AC = 又∵AC DC BD ==
∴DM BD =，CAD ADC ∠=∠
又∵CAD C ADB ∠+∠=∠，ADC MDE ADM ∠+∠=∠ ∴ADB ADM ∠=∠ ∴ADB ADM ∆≅∆ ∴DAE BAD ∠=∠ 即AD 平分BAE ∠
4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，
︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。

探究：AM 与DE 的位置关系
及数量关系。

E C
A
B
D
G
F E
C A
B D M
E C
A
B
D
图 1
M N
C
A
B
D
N
E
C
A B D
M 图 2
（1）如图1 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；
（2）将图1中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ（︒︒︒900ππθ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

∴DE AM ⊥，DE AM 2
1
=
5、如图，ABC ∆中，AC AB 2=，AD 平分BAC ∠，且BD AD =，求证：AC CD ⊥ 证明：过D 作AB DM ⊥，垂足为M ∴︒=∠=∠90BMD AMD 又∵BD AD =，DM DM = ∴BDM ADM ∆≅∆ ∴BM AM = ∵AC AB 2= ∴AM AC = ∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中
AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD =
∴ADC ADM ∆≅∆ ∴︒=∠=∠90ADM ACD 即: AC CD ⊥
6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB += 证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF 在CAE ∆和FAE ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴FAE CAE ∆≅∆ ∴FEA CEA ∠=∠
∴︒=∠+∠=∠+∠90FEB FEA BED CEA 即DEB FEB ∠=∠ 在DEB ∆和FEB ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠DBE FBE BE
BE DEB FEB ∴FEB DEB ∆≅∆（ASA ） ∴BF BD =
∴BD AC BF AF AB +=+=
7、如图，已知在ABC ∆内，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，
BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BP AB AQ BQ +=+
证明：延长AB 到D ，使BP BD =，连接PD ．则5∠=∠D
M
C
A
B
D
F
E
D
A B
C
∵AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，︒=∠60BAC ，︒=∠40C ∴︒=∠=∠3021，︒=︒-︒-︒=∠804060180ABC ，C ∠=︒=∠=∠4043 ∴QC QB =
又︒=∠+∠=∠+∠80435D ∴︒=∠40D 在APD ∆与APC ∆中
AP AP =，21∠=∠，︒=∠=∠40C D
∴APC APD ∆≅∆（AAS ） ∴AC AD =
即QC AQ BD AB +=+ ∴BP AB AQ BQ +=+
8、如图，在四边形ABCD 中，BA BC φ，CD AD =，BD 平分ABC ∠. 求证：︒=∠+∠180C A
解：过点D 作BC DE ⊥于E ，过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵BD 平分ABC ∠
∴DF DE =，︒=∠=∠90DEB F 在CDE Rt ∆和ADF Rt ∆中 ⎩
⎨
⎧==DF DE CD
AD ∴≅∆CDE Rt ADF Rt ∆（HL ） ∴C FAD ∠=∠
∴︒=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD
9、如图，在ABC ∆中，AC AB φ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：PC PB AC AB --φ
∴PC PE =
在PBE ∆中，PE PB BE -φ，即PC PB AC AB --φ
4 5 2
3D
Q P
C
A
B
1 E
F D
C
A
B
10、在四边形ABCD 中，BC AD //，点E 是AB 上一个动点，若︒=∠60B ，BC AB =，且
︒=∠60DEC ，判断AE AD +与BC 的关系并证明你的结论。

分析：此题连接AC ，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。

11、如图D 为ABC ∆的角平分线，直线AD MN ⊥于A .E 为MN 上一点，ABC ∆周长记为A P ，
EBC ∆周长记为B P .求证：A B P P φ.
证明：延长BA 到F ，使AC AF =,连接EF ∵AD 为ABC ∆的角平分线 ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD MN ⊥
∴CAE CAD BAD FAE ∠=∠-︒=∠-︒=∠9090 ∵AC AF =，AE AE = ∴ACE AFE ∆≅∆ ∴EC EF = ∵BF EF BE φ+
∴AC AB AF AB EC BE +=++φ
∴BC+BE+CE>AB+AC+BC BC AC AB BC EC BE ++++φ ∴ABC ∆的周长小于EBC ∆的周长，即A B P P φ
12、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，
F
N
M
D E
A
C
B
取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．
（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说
明理由．
解：（1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分 （2）成立． ……………3分
理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ，联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分 ∴ED =CF ，∠DEM =∠1．
∵AB =BC ，AD =DE ，且∠ADE =∠ABC =90°， ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴∠BAD =∠2+∠4+∠6=90°+∠6． ∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9， ∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9） =360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD ．
又AD =CF ． ∴△ABD ≌△CBF ． ∴BD =BF ，∠ABD =∠CBF ． ∴∠DBF =∠ABC =90°．
∵MF =MD ， ∴BM =DM 且BM ⊥DM ．
13、如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60B ，ABC ∆的角平分线AD ，CE 相交于点O .
求证：OD OE =
证明：在AC 上取点F ，使AE AF =，连接OF ∵AD 是A ∠的平分线 ∴FAO EAO ∠=∠
F E
A
D C
B A E M M E
A
B
C D
9
∵AO AO = ∴AFO AEO ∆≅∆
∴FO EO =，AOF AOE ∠=∠ ∵CE 是C ∠的平分线 ∴FCO DCO ∠=∠ ∵︒=∠60B
∴︒=∠+∠120ACB BAC
∴=
∠+∠=∠OCA CAO COD ()︒=∠+∠602
1
ACB BAC ∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠606060180180AOF COD COF ∴COD COF ∠=∠ ∵OC OC = ∴OCF OCD ∆≅∆ ∴OF OD =
∴CD AE CF AF AC +=+=，OD OE = 即：CD AE AC +=
14、如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，BC DG ⊥且平分BC ，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于
F . （1）说明CF BE =的理由；（2）如果a AB =，b AC =，求AE 、BE 的长。

（1）证明:连接DB ，DC ∵BC DG ⊥且平分BC ∴DC DB =
∵AB DE ⊥，AC DF ⊥，AD 平分BAC ∠ ∴DF DE = ∴DFC Rt DEB Rt ∆≅∆ ∴CF BE =
（2）解: ∵DF DE =，AD AD = ∴AFD Rt AED Rt ∆≅∆ ∴AF AE =
∴()()AE AF AE CF AF BE AE AC AB 2=+=-++=+，即AE b a 2=+，2
b
a AE += ∴()()BE CF AF BE AE AC AB 2=--+=+ ∴BE
b a 2=-，2
b
a BE -=
15、如图①，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
G
F
D
E A
C B
O P A
M
N
E
B
C
D F
A
E
F
B
D 图①
图②
图③ （2）如图③，在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立。

证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∆≅∆
∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =
∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴︒=∠+∠6032
∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG
∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =
证法二：如图2，过点F 分别作AB FG ⊥于点G ，BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得︒=∠+∠6032，F 是ABC ∆的内心 ∴160∠+︒=∠GEF ，FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE =
16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，EF DF BE =+，求EAF ∠的
度数。

解：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转︒90，至ABG ∆ ∴EF BE DF BE GB GE =+=+= 又∵AE AE =，AG AF = ∴AEG AEF ∆≅∆
图 1
图 2 F
D A
∴DAF BAE GAB BAE GAE EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠ 又∵︒=∠+∠+∠90DAF BAE EAF ∴︒=∠45EAF
17、D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点，DN DM ⊥，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F 。

（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DF DE =； （2）若2=AB ，求四边形DECF 的面积。

分析：（1）连CD ，根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，
DA CD =，则︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ，由DN DM ⊥得︒=∠90EDF ，根据等角的余角相等得
到ADF CDE ∠=∠，根据全等三角形的判定易得ADF DCE ∆≅∆，即可得到结论；（2）由
ADF DCE ∆≅∆，则ADF DCE S S ∆∆=，于是四边形DECF 的面积ACD S ∆=，由而2=AB 可得
1==DA CD ，根据三角形的面积公式易求得ACD S ∆，从而得到四边形DECF 的面积。

解：（1）连CD ，如图，
∵D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点
∴CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，DA CD = ∴︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ∵DN DM ⊥ ∴︒=∠90EDF ∴ADF CDE ∠=∠ 在DCE ∆和ADF ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠ADF CDE DA
DC DAF DCE ∴ADF DCE ∆≅∆ ∴DF DE =
（2）∵ADF DCE ∆≅∆ ∴ADF DCE S S ∆∆=
∴四边形DECF 的面积ACD S ∆= 而2=AB ∴1==DA CD
∴四边形DECF 的面积2
121=⋅=
=∆DA CD S ACD 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。

18、 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且︒=∠120BDC ，以
N
M
F
D
E
A
C
B
图 1
A
B C
D
E
F
M
N A
B
C
D
E F
M
N
图 2
F
E
A
N
D
C
B
图 3
D 为顶点做一个︒60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周
长。

解：∵BDC ∆是等腰三角形，且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DBC BCD
∵ABC ∆是边长为3的等边三角形 ∴︒=∠=∠=∠60BCA BAC ABC ∴︒=∠=∠90DCA DBA
∵顺时针旋转BDM ∆使DB 与DC 重合 在DMN ∆和N M D '∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=︒='∠=∠'=DN DN M ND MDN M D DM 60 ∴M DN DNM '∆≅∆ ∴BM NC N M MN +='=
∴6=+=++=++AC AB AN BM NC MN AN AM ∴AMN ∆的周长为6
19、已知四边形ABCD 中，AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN ，
MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F ．
（1）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时（如图1），易证EF CF AE =+．
（2）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

解：（1）∵AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，CF AE = ∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠，BF BE = ∵︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN
∴︒=∠=∠30CBF ABE ，BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==，BE AE CF 2
1
== ∴EF BE CF AE ==+ （2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC 至点K ，使AE CK =，连接BK
M ′
A
N M
D C B
则BCK BAE ∆≅∆
∴BK BE =，KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ，︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF =
∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+
图3不成立，AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =-
20、已知: 2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧。

（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；
（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小。

分析：（1）作辅助线，过点A 作PB AE ⊥于点E ，在PAE Rt ∆中，已知APE ∠，AP 的值，根据三角函数可将AE ，PE 的值求出，由PB 的值，可求BE 的值，在ABE Rt ∆中，根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法，解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆，可得AB P PAD '∆≅∆，求PD 长即为求B P '的长，在P AP Rt '∆中，可将P P '的值求出，在B P P Rt '∆中，根据勾股定理可将B P '的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，交PB 于G ，在AEG Rt ∆中，可求出AG ，EG 的长，进而可知PG 的值，在PFG Rt ∆中，可求出
PF ，在PDF Rt ∆中，根据勾股定理可将PD 的值求出；
（2）将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90，得到AB P '∆，PD 的最大值即为B P '的最大值，故当P '、
P 、B 三点共线时，B P '取得最大值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值，此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．
解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中，︒=∠45APB ，2=PA
∴()
12
22
==
=PE AE
∵4=PB ∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB
②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆，
，可得AB P PAD '∆≅∆，B P PD '=，A P PA '= ∴︒='∠90P PA ，︒='∠45P AP ，︒='∠90PB P ∴2='P P ，2=PA
K A
B
C
D
E F
M
N
图 2
E
P
A
D
C
B
P ′
A C
D
图 1
N M
A
D C
B 图 2
N M A
D C
B
图 3
N
M
A
C
B P ′
P
A
C
B
D P ′
P
A
C
B
D
∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；
解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ． 在AEG Rt ∆中，可得310cos cos =
∠=∠=ABE AE EAG AE AG ，31=EG ，3
2
=-=EG PE PG 在PFG Rt ∆中，
可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ，15
10=FG 在PDF Rt ∆中，可得 ()
523101*********
22
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=FG AG AD PF PD （2）如图所示，将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90,得到AB P '∆，PD 的最大值，即为B P '的最大值
∵B P P '∆中，PB P P B P +''π，22=='PA P P ，4=PB 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧 ∴当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值（如图）
此时6=+'='PB P P B P ，即B P '的最大值为6 此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB
21、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC ∆外一点，且
︒=∠60MDN ，︒=∠120BDC ，DC BD =. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、
NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系。

G F P A
C
B
D
E
图 1
N M
A
D
C
B
（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DN DM =时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
__________=L
Q
； （2）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DN DM ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则_____=Q （用x 、
L 表示）．
分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么︒=∠=∠30DCB DBC ，也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ，直角三角形MBD 、NCD 中，因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三角形全等。

那么NC BM =，︒=∠=∠60DNC BMD ，三角形NCD 中，
︒=∠30NDC ，NC DN 2=，在三角形DNM 中，DN DM =，︒=∠60MDN ，因此三角形DMN
是个等边三角形，因此BM NC NC DN MN +===2，三角形AMN 的周长=++=MN AN AM Q
AB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++，三角形ABC 的周长AB L 3=，因此3:2:=L Q ．
（2）如果DN DM ≠，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。

延长AC 至E ，使BM CE =，连接DE ．
（1）中我们已经得出，︒=∠=∠90NCD MBD ，那么三角形MBD 和ECD 中，有了一组直角，CE MB =，DC BD =，因此两三角形全等，那么DE DM =，CDE BDM ∠=∠，︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．
三角形MDN 和EDN 中，有DE DM =，︒=∠=∠60MDN EDN ，有一条公共边，因此两三角形全等，NE MN =，至此我们把BM 转换成了CE ，把MN 转换成了
NE ，因为CE CN NE +=，因此CN BM MN +=．Q 与L 的关系的求法同（1），得出的结果是一
样的。

（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠，三角形BDM 和CDH 中，由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ，我们做的角CDH BDM ∠=∠，CD BD =，因此两三角形全等（ASA ）
．那么CH BM =，DH DM =，三角形MDN 和NDH 中，已知的条件有DH MD =，一条公共边ND ，要想证得两三角形全等就需要知道HDN MDN ∠=∠，因为MDB CDH ∠=∠，因此︒=∠=∠120BDC MDH ，因为︒=∠60MDN ，那么︒-︒=∠60120NDH
︒=60，因此NDH MDN ∠=∠，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN 和DNH 就全
等
了
．
那
么
BM AC AN NH NM -+==，三角形AMN 的周长
+++=++=BM AB AN MN AM AN Q
AB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =，L AB 31=
，因此三角形AMN 的周长L x Q 3
2
2+=．
解：（1）如图1，BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时3
2
=L Q ． （2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图2，延长AC 至E ，使BM CE =，连接DE ∵CD BD =，且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD
N
在MBD ∆与ECD ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ） ∴DE DM =，CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +==
故AMN ∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++ 而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴
3
232==AB AB L Q （3）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则L x Q 3
2
2+=（用x 、L 表示）．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。

22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。

求证：① AE=BD;② CF=CG. 思路 ① 证明△ACE≌△BCD。

证明 ① ∵ △ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ CB=CA ， CD=CE ，∠BCA=∠ECD=，
∴ ∠BCD=∠ACE=
，∴ △BCD≌△ACE， ∴ AE=BD 。

思路 ② 证明△FCD≌△GCE。

证明 ② 由△BCD≌△DCE 都是等边三角形可知 ∴ CD=CE ，∠BCA=∠ECD=
∴ ∠ACD=
-∠BCA -∠ECD=
∴ △FCD≌△GCE， ∴ CF=CG
说明 证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。

23、如图2-7-2，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE。

求证：MD=MN 。

思路：取AD 的中点P ，连结PM ，证明△DMP≌△MNB。

证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则有DP=MB 。

H 图 3
N
M
A
D C
B
∵DM⊥MN，∴∠DMA+∠BMN=，
又由正方形ABCD 知∠A=，∴∠DMA+∠MDA=，
∴∠BMN=∠MDA又∵BN平分∠CBE，∴∠MBN=
又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=。

∴∠DPM=∠MBN，∴△DPM≌△MBN，∴DM=MN。

说明：本题中DM和MN所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。

24、如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交
BC于D。

求证：AB+BD=AC
思路1：延长AB到E，使BD，证明△AED≌△ACD。

证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。

∴∠ABD=∠E+∠BDE=2CE
又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠E
∵∠AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，
又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AC=AE。

即AC=AB+BE=AB+BD。

思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。

证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。

由AD平分∠BAC 得∠1=∠2
又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADE，∴∠AED=∠ABC，DE=DB，
又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C又∵∠AED=∠EDC+∠C，∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，∴EC=BD，∴AB+BD=AE+EC+AC。

说明：要证明AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为AB+BD，如证法1就采用此法；另一种方法是把AC分成两部分，使其分别等于AB、BD，如证法2就采用此法。

25、如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。

求证：PC-PB<AC-AB。

思路：通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，
利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论。

证明：在AC上取点E，使AE=AB，连结PE，由AD平分∠ABC
得∠1=∠2。

又∵AE=AB，AP=AP，
∴△APE≌△APB，∴PE=PB，
在△EPC中，PC-PE<EC，
即PC-PB<AC-AE。

∴PC-PB<AC-AB。

说明：
当要证明式子的线段比较分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中起来，这样便于利用三角形的三边不等关系。

26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。

求证：∠CDF=∠ADE。

思路1：作∠BCA的平分线交BD于G，证明△CDG≌△ADE。

证法1：作∠BCA的平分线交BD于G，∵BC=AC，∠BCG=∠A=，∠CBG=
-∠CDF=∠ACE，
∴△BCG≌△CAE，∴CE=AE，
△CDG和△ADE中，∵CD=AD，∠DCE=∠A=，CE=AE，∴△CDG≌△ADE，
∴∠CDF=∠ADE，
思路2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N，
证明△ADE≌△ANE。

证法2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N。

∵∠ACN=∠CBD，AC=CB，∴Rt△ACN≌Rt△CBD，∴∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD，
又∵∠CAE=∠EAN=，AE=AE，∴△ADE≌△ANE，∴∠ADE=∠ANE，∴∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：（1）AD⊥MN BE⊥MN ∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC＋∠DCA＝90°
又∵∠ACB＝90°∴∠DCA＋∠ECB＝90°∴∠DAC＝∠ECB
∵AC＝BC ∴△ADC≌△CEB ∴DC＝BE AD＝CE
∴DE＝DC＋CE ＝BE＋AD
（2）与（1）同理△ADC≌△CEB ∴CD＝BE AD＝CE
∵DE＝CE－CD ＝AD－BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时与（1）（2）同理可知
CE＝AD，BE＝CD ∵DE＝CD－CE ＝BE－AD
28、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边和∠ACM 的平分线CF 交于点F
（1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时（6分）
1) 猜想AE 与EF 满足的数量关系是。

（１分）
2) 连结点E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 （１分）
3) 请证明你的上述猜想（４分）
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：（６分） 此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？
29、已知AC 平分∠MAN ，∠MAN=120º，
（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90º，求证：AB+AD=AC 。

(4分)
（2）在图（2）中，若∠MAN=120º，∠ABC+∠ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？（4分）
30、如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =； （2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM PN =还成立吗？不必说明理由.
E
图（1）
N
F
M
C
B
A
E
图（2）
F
A
图（1）
C
D
B
N
M
A
图（2）
C
D B
N
M
A
分析（1）证明：①如图2.
BM Q ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，90BMN CNM ∴∠=∠=°
． BM CN ∴∥．MBP ECP ∴∠=∠．又P Q 为BC 边中点，.BP CP ∴=又
BPM CPE ∠=∠Q ，
BPM CPE ∴△≌△
②BPM CPE Q △≌△ 12PM PE PM ME ∴=∴= ∴在Rt MNE △中，1
2
PN ME =
PM PN ∴=
（2）成立.如图3.
证明：延长MP 与NC 的延长线相交于点E .
BM Q ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ， 90180BMN CNM BMN CNM ∴∠=∠=∴∠+∠=°．°．
BM CN MBP ECP ∴∴∠=∠∥．．
又P Q 为BC 中点， BP CP ∴=．
又Q BPM CPE ∠=∠， BPM CPE ∴△≌△． 1
2
PM PE PM ME ∴=∴=．． 则在Rt MNE △中，1
2
PN ME =． ∴PM PN =． （3）PM PN =成立.
31、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE GC ，． （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.
（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
.解：（1）答：.AE GC ⊥ ··········· （1分）
证明：延长GC 交AE 于点.H
在正方形ABCD 与正方形DEFG 中，
90AD DC ADE CDG =∠=∠=，°，DE DG =，
∴.ADE CDG △≌△
∴1 2.∠=∠ ············· （3分） ∵2390∠+∠=°. ∴1390∠+∠=°.
∴()18013180-9090AHG ∠=∠+∠=︒︒=︒°-.
∴.AE GC ⊥ ··························· （5分） （2）答：成立. ·························· （6分） 证明：延长AE 和GC 相交于点.H 在正方形ABCD 与正方形DEFG 中，
AD DC =，DE DG =，ADC DCB ∠=∠
90B BAD EDG =∠=∠=∠=°，
∴1290 3.∠=∠=∠°- ∴.ADE CDG △≌△
∴5 4.∠=∠ ····························· 8分 又∵5690∠+∠=°，47180DCE ∠+∠=∠°-
1809090=-=°°°，
∴67.∠=∠
又∵690.AEB AEB CEH ∠+∠=∠=∠°， ∴790CEH ∠+∠=°． ∴90EHC ∠=°，∴.AE GC ⊥ ·················· （10分）
99、已知，点P 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（不与A ，B 重合），分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．
（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试判断AE 与BF 的位置关系，QE 与QF 的数量关系； （2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析：
（1）证△BFQ≌△AEQ 即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD ，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE ，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 解答： 解：（1）AE∥BF，QE=QF ，理由是：如图1，∵Q 为AB 中点，∴AQ=B Q ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ， 在△BFQ 和△AEQ 中
∴△BFQ≌△AEQ（AAS ），∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF ．
（2）QE=QF ，证明：如图2，延长FQ 交AE 于D ，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ 和△DAQ 中
∴△FBQ≌△DAQ（ASA ），∴QF=QD，
∵AE⊥CP，∴EQ 是直角三角形DEF 斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF ．
（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ 、FB 交于D ， ∵AE∥BF，∴∠1=∠D，在△AQE 和△BQD 中
，∴△AQE≌△BQD （AAS ），
∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ 是斜边DE 上的中线， ∴QE=QF．
100、 (1) 如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE .
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =a ,其中a 为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ,若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状. 分析：（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ∆≅∆，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.
（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ∆≅∆，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.
A
B C
m （图1）
（图2）
（图3）
m A
B
C
D
E B
F
C m
（3）由BDA AEC ∆≅∆得BD=AE ，BDA EAC ∠=∠，ABF ∆与ACF ∆均等边三角形，得
60FBA FAC ∠=∠=︒，FB=FA ，所以FBA DBA FAC EAC ∠+∠=∠+∠，即FBD FAB ∠=∠，
所以BDF AEF ∆≅∆，所以FD=FE ，BFD AFE ∠=∠，再根据60BFD DFA BFA ∠+∠=∠=︒，得60AFE DFA ∠+∠=︒，即60DFE ∠=︒，故DFE ∆是等边三角形. 证明：(1)∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC ＝90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD
又AB =AC ∴△ADB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD =CE ∴DE =AE +AD = BD +CE ………………3分
(2)∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α ∴∠DBA=∠CAE
∵∠BDA =∠AEC=α，AB =AC
∴△ADB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD =CE ∴DE =AE +AD =BD +CE ………………6分
（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ， BD =AE ，∠DBA =∠CAE ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF =∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF =∠CAE+∠CAF ∴∠DBF =∠FAE ∵BF =AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF =EF ，∠BFD =∠AFE
∴∠DFE =∠DFA +∠AFE =∠DFA +∠BFD =60° ∴△DEF 为等边三角形. 点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.
三角形培优训练专题
【三角形辅助线作法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
A
B
C
E D m
（图1）
（图3）
（图2）
m
A
B
C
E
E
D
F
C
B
A
思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

7、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出现一对全等三角形。

8、 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的角相等，构造二个角之间的边相等
1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围.
2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.
3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.
E D C
B A
4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，
90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系
E
D
C
B
A
D
C
B
A
P
Q
C
B
A
及数量关系．
（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系； （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒
θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC
6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

7、如图，已知在△ABC 内，0
60BAC ∠=，0
40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，
CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
8、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0
180=∠+∠C A
C
D
B
A
P
2
1
D
C
B
A
O
E
A
9、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 10、
11、 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
12、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．
（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说
明理由．
13、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
C B
A E M M E
A B C。