变质量问题的解决方法探讨
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以火箭的飞行作为一个例子， 用动量定理微 分形式得到关于火箭作为变质量系的运动方程。 推导这个方程的方法如下： 把某一时刻向前运动 的火箭作为研究对象， 它此时的质量为 ｍ（ 研究对 象） ， 速度为 ｖ。由于它以相对火箭的速度 ｖｒ 向后喷 射气体， 质量减少， 动量增加。ｔ＋ｄｔ 时刻质量 ｍ 分 作两部分， 一部分质量为变 ｍ＋ｄｍ， 在这里 ｄｍ 本身 为负， 速度为 ｖ＋ｄｖ。另一 部分（喷出气 体）质量为－ ｄｍ， 脱离后相对于地面的速度（“绝对”速度）ｕ。系统 在 ｔ 时刻的总动量为 ｍｖ， 在 ｔ＋ｄｔ 时刻的总动量为
， 对这一系统 （ 整体） 应用动量定理。得到
得
也可以写成
上式即是减质量情况下 的密舍尔斯 基方程［１］。 ｍ 表示的是主体在选定时刻的质量， ｖ 是它的速 度， Ｆ 是系统所受的合外力， ｕ 是气体喷出后相对 于地面的速度。从上式的推导可见， 应用的完全是 动量定理的微分形式［２］。但这种方法把物体当成“主 体 ”来 研 究 ， 即 研 究 对 象 变 了 ， 这 种 方 法 可 以 看 作 主体法。
对于质量增加的情况， 可得到 但这时的速度 ｕ 为物体尚未附加于主体而单独运 动的“绝对”速度。 ２ 变质量问题的应用
例一： 火箭起飞时， 从尾部喷出的气体速度为 ３０００ｍ／ｓ， 每秒喷出的气体质量为 ６００ｋｇ， 若火箭的 质量为 ５０ｔ， 求火箭得到的加速度。
先用传统的 动量定理的 微分形式来 分析。设 起飞时刻为 ｔ， 火箭（ 包括里面的气体） 的质量为 ｍ， ｖ 是它 的速度。在 ｄｔ 时 间内喷出 气体 ｄｍ。Ｆ＝ ｍｇ 是系统所受 的合外力， ｕ 是 气 体 喷 出 后 相 对 于 地面 的速度。直接 运用动量 定理， 把 ｔ 时刻 和 ｔ＋ｄｔ 时刻动量的变化与系统所受得合外力联系起来。 注意这时的研究对象是火箭 （ 包括里面的气体） 这个整体， 下一时刻的质量包括喷出的气体。得 到如下方程：
９．８ｍ／ｓ２， ｖｒ＝－ ３０００ｍ／ｓ， ２６．２ ｍ／ｓ２。
＝－ ６００ｋｇ／ｓ 代入数据得 ａ＝
用密舍尔斯基方程来解。这属于质量减少情
况下的变质量问题。设某时刻主体的质量为 ｍ， 以
后时刻主体的质量不断减少， 系统的外力为重力。
代入密舍尔斯基方程：
用后的的状态， 写出作用 前后的动量 变化［３］。这道 题目恰巧放在地面部分的速度为零， 否则必须计 及地面部分的反作用力。
安阳工学院学报
１０４
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
２００８ 年
变质量问题的解决方法探讨
郑桂梅 王 磊 （安阳工学院 理学部， 河南 安阳 ４５５０００ ）
摘 要： 对于变质量问题， 既可以用动量定理的微分形式又可以用密舍尔斯基方程来计算。通过密舍尔斯基方程来解决
变质量问题比用动量定理的方法简洁明了不易出错。通过解题过程的分析 ， 进而明确和掌握这种解决变质量问题的方法。
关键词： 变质量系统； 密舍尔斯基方程；主体
中图分类号： Ｏ３
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ ２９２８（ ２００８） ０４－ ０１０４－ ０２
解决经典力学变质量问题的基本依据是密舍 尔斯基方程。变质量体系是不断与外界交换质量 的体系， 所以直接用牛顿定律是不行的。但是可以 把体系变化的过程分解成一系列元过程， 在每个 元过程的起始时刻 ｔ， 原来的体系（称为主体）和即 将进入（或离开）的物体（称 为附体）是分 离（或合并） 的， 经过 Δｔ 时间在元过程的末了时刻 ｔ＋Δｔ， 附体并 入（ 或离开） 主体， 对于主体和附体组成的体系， 在 元过程中是确定的， 质量也是不变的， 体系的动量 变化服从体系的动量定理， 下一个元过程该体系 变成新主体， 体系动量定理又可用于此新体系。这 样整个体系变化的过程可看成是一系列组成不一 的元过程的总和， 在每一元过程中对相应的体系 均可应用动量定理， 由此可导出主体的运动方程。 通过方程的应用， 探索解决变质量系统的具体解 决方法。 １ 密舍尔斯基方程
解微分方程（ 略） ， 并把初始条件代入， 解得
。从而得出下滑的加速度
。
Leabharlann Baidu
由上面的讨论可得： 对于变质量问题可以明确 研究的系统， 选择研究的主体， 分析系统的外力， 分清主体和附体的速度， 运用舍尔斯基方程列方 程求解。通过这一系列的过程和方法就可以比较 容易的解决类似问题。
参考文献： ［１］梁昆淼．力学［Ｍ］．北京： 人民教育出版社， １９７８． ［２］程勉．变质量力学基础［Ｍ］．北京：人 民 教 育 出 版 社，１９８２： ９－ １０． ［３］孙宁．用动能定理求解变质量问题［Ｊ］．力 学 与 实 践，１９９８，２０ （３）：６３－ ６４．
得
这种方法虽然也得出了正确 结论， 但这样的解法是错误的。经 典力学的研究对象应为固定不变 的系统。用动量定理的微分形式， 图 １ 例二示意图 要始终明确研究对象作用前及作
得 例三： 线密度为 ρ的链条从桌面开始下滑， 求 其下滑的的加速度。 这同样可以用增质量的密舍尔斯基方程来解。 取垂下部分的链条为主体（ 研究对象） 。设桌面为 坐标原点， 向下为 ｏｙ 轴， 垂下部分在某时刻的坐标 为 ｙ。桌面部分所受重力和支持力平衡， 系统所受 外力即为主体所受重力 ρｙｇ， 附体在并入前竖直方 向的速度为零。代入密舍尔斯基方程得：
若用密舍尔斯基方程来解， 这属于质量增加情 况下的变质量问题。设某时刻主体的质量为 ｍ（ 已 被提起的部分） ， 以后时刻主体的质量不断增加， 系统外力为手的拉力和拉起部分铁链的重力的合 力（ 地面部分所受重力和支持力平衡） 。代入密舍 尔斯基方程：
根据所选坐标（ 如图） 化简
代入数据可得出 α＝２６．２ ｍ／ｓ２。 以上两种方法是分别应用系统的动量定理和 变质量系统的动力学方程即主体法求解的。通过 以 上 分 析 进 一 步 明 确 变 质 量 系 统 动 力 学 方 程 （密 舍 尔斯基方程） 虽然是由动量定理微分形式导出的， 但用密舍尔斯基方程解题就变得简洁。两种方法 分别选取不同的研究对象， 应用动量定理必须以 某 一 过 程 质 量 不 变 的 “整 体 ”作 为 研 究 对 象 ， 但 由 此导出的求解变质量问题的动力学方程却把研究 对 象 转 向 了 系 统 中 整 体 的 一 部 分 即 “主 体 ”部 分 ， 这就大大简化了分析和求解过程， 从而使解决问 题变得容易。 例二： 一长度 为 Ｌ， 密度为 ρ的 均 匀 铁 链 堆 放 在地面上。手握链条一端并以速度 ｖ 匀速提升， 当 其上端被提离地面为 ｙ 时， 求手的拉力。 如果把提起部分铁链当作一个整体， 直接用动 量定理的微分形式列方程（ 建立坐标如图所示） ：
＊ 收稿日期： ２００７－ １２－ １８ 作者简介： 郑桂梅（ １９６５－ ） ， 女， 河南林州人， 安阳工学院讲师， 硕士， 主要从事物理教学与研究工作。
第四期
郑桂梅 王磊： 变质量问题的解决方法探讨
１０５
略去二阶无穷小 ｄｍ·ｄｖ 化简得
若规定向上为正方向， 则 ｍ＝５０ｔ ＝５×１０４ｋｇ， ｇ＝－
， 对这一系统 （ 整体） 应用动量定理。得到
得
也可以写成
上式即是减质量情况下 的密舍尔斯 基方程［１］。 ｍ 表示的是主体在选定时刻的质量， ｖ 是它的速 度， Ｆ 是系统所受的合外力， ｕ 是气体喷出后相对 于地面的速度。从上式的推导可见， 应用的完全是 动量定理的微分形式［２］。但这种方法把物体当成“主 体 ”来 研 究 ， 即 研 究 对 象 变 了 ， 这 种 方 法 可 以 看 作 主体法。
对于质量增加的情况， 可得到 但这时的速度 ｕ 为物体尚未附加于主体而单独运 动的“绝对”速度。 ２ 变质量问题的应用
例一： 火箭起飞时， 从尾部喷出的气体速度为 ３０００ｍ／ｓ， 每秒喷出的气体质量为 ６００ｋｇ， 若火箭的 质量为 ５０ｔ， 求火箭得到的加速度。
先用传统的 动量定理的 微分形式来 分析。设 起飞时刻为 ｔ， 火箭（ 包括里面的气体） 的质量为 ｍ， ｖ 是它 的速度。在 ｄｔ 时 间内喷出 气体 ｄｍ。Ｆ＝ ｍｇ 是系统所受 的合外力， ｕ 是 气 体 喷 出 后 相 对 于 地面 的速度。直接 运用动量 定理， 把 ｔ 时刻 和 ｔ＋ｄｔ 时刻动量的变化与系统所受得合外力联系起来。 注意这时的研究对象是火箭 （ 包括里面的气体） 这个整体， 下一时刻的质量包括喷出的气体。得 到如下方程：
９．８ｍ／ｓ２， ｖｒ＝－ ３０００ｍ／ｓ， ２６．２ ｍ／ｓ２。
＝－ ６００ｋｇ／ｓ 代入数据得 ａ＝
用密舍尔斯基方程来解。这属于质量减少情
况下的变质量问题。设某时刻主体的质量为 ｍ， 以
后时刻主体的质量不断减少， 系统的外力为重力。
代入密舍尔斯基方程：
用后的的状态， 写出作用 前后的动量 变化［３］。这道 题目恰巧放在地面部分的速度为零， 否则必须计 及地面部分的反作用力。
安阳工学院学报
１０４
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｙａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
２００８ 年
变质量问题的解决方法探讨
郑桂梅 王 磊 （安阳工学院 理学部， 河南 安阳 ４５５０００ ）
摘 要： 对于变质量问题， 既可以用动量定理的微分形式又可以用密舍尔斯基方程来计算。通过密舍尔斯基方程来解决
变质量问题比用动量定理的方法简洁明了不易出错。通过解题过程的分析 ， 进而明确和掌握这种解决变质量问题的方法。
关键词： 变质量系统； 密舍尔斯基方程；主体
中图分类号： Ｏ３
文献标识码： Ａ
文章编号： １６７３－ ２９２８（ ２００８） ０４－ ０１０４－ ０２
解决经典力学变质量问题的基本依据是密舍 尔斯基方程。变质量体系是不断与外界交换质量 的体系， 所以直接用牛顿定律是不行的。但是可以 把体系变化的过程分解成一系列元过程， 在每个 元过程的起始时刻 ｔ， 原来的体系（称为主体）和即 将进入（或离开）的物体（称 为附体）是分 离（或合并） 的， 经过 Δｔ 时间在元过程的末了时刻 ｔ＋Δｔ， 附体并 入（ 或离开） 主体， 对于主体和附体组成的体系， 在 元过程中是确定的， 质量也是不变的， 体系的动量 变化服从体系的动量定理， 下一个元过程该体系 变成新主体， 体系动量定理又可用于此新体系。这 样整个体系变化的过程可看成是一系列组成不一 的元过程的总和， 在每一元过程中对相应的体系 均可应用动量定理， 由此可导出主体的运动方程。 通过方程的应用， 探索解决变质量系统的具体解 决方法。 １ 密舍尔斯基方程
解微分方程（ 略） ， 并把初始条件代入， 解得
。从而得出下滑的加速度
。
Leabharlann Baidu
由上面的讨论可得： 对于变质量问题可以明确 研究的系统， 选择研究的主体， 分析系统的外力， 分清主体和附体的速度， 运用舍尔斯基方程列方 程求解。通过这一系列的过程和方法就可以比较 容易的解决类似问题。
参考文献： ［１］梁昆淼．力学［Ｍ］．北京： 人民教育出版社， １９７８． ［２］程勉．变质量力学基础［Ｍ］．北京：人 民 教 育 出 版 社，１９８２： ９－ １０． ［３］孙宁．用动能定理求解变质量问题［Ｊ］．力 学 与 实 践，１９９８，２０ （３）：６３－ ６４．
得
这种方法虽然也得出了正确 结论， 但这样的解法是错误的。经 典力学的研究对象应为固定不变 的系统。用动量定理的微分形式， 图 １ 例二示意图 要始终明确研究对象作用前及作
得 例三： 线密度为 ρ的链条从桌面开始下滑， 求 其下滑的的加速度。 这同样可以用增质量的密舍尔斯基方程来解。 取垂下部分的链条为主体（ 研究对象） 。设桌面为 坐标原点， 向下为 ｏｙ 轴， 垂下部分在某时刻的坐标 为 ｙ。桌面部分所受重力和支持力平衡， 系统所受 外力即为主体所受重力 ρｙｇ， 附体在并入前竖直方 向的速度为零。代入密舍尔斯基方程得：
若用密舍尔斯基方程来解， 这属于质量增加情 况下的变质量问题。设某时刻主体的质量为 ｍ（ 已 被提起的部分） ， 以后时刻主体的质量不断增加， 系统外力为手的拉力和拉起部分铁链的重力的合 力（ 地面部分所受重力和支持力平衡） 。代入密舍 尔斯基方程：
根据所选坐标（ 如图） 化简
代入数据可得出 α＝２６．２ ｍ／ｓ２。 以上两种方法是分别应用系统的动量定理和 变质量系统的动力学方程即主体法求解的。通过 以 上 分 析 进 一 步 明 确 变 质 量 系 统 动 力 学 方 程 （密 舍 尔斯基方程） 虽然是由动量定理微分形式导出的， 但用密舍尔斯基方程解题就变得简洁。两种方法 分别选取不同的研究对象， 应用动量定理必须以 某 一 过 程 质 量 不 变 的 “整 体 ”作 为 研 究 对 象 ， 但 由 此导出的求解变质量问题的动力学方程却把研究 对 象 转 向 了 系 统 中 整 体 的 一 部 分 即 “主 体 ”部 分 ， 这就大大简化了分析和求解过程， 从而使解决问 题变得容易。 例二： 一长度 为 Ｌ， 密度为 ρ的 均 匀 铁 链 堆 放 在地面上。手握链条一端并以速度 ｖ 匀速提升， 当 其上端被提离地面为 ｙ 时， 求手的拉力。 如果把提起部分铁链当作一个整体， 直接用动 量定理的微分形式列方程（ 建立坐标如图所示） ：
＊ 收稿日期： ２００７－ １２－ １８ 作者简介： 郑桂梅（ １９６５－ ） ， 女， 河南林州人， 安阳工学院讲师， 硕士， 主要从事物理教学与研究工作。
第四期
郑桂梅 王磊： 变质量问题的解决方法探讨
１０５
略去二阶无穷小 ｄｍ·ｄｖ 化简得
若规定向上为正方向， 则 ｍ＝５０ｔ ＝５×１０４ｋｇ， ｇ＝－