多个独立正态分布随机变量的最大值分布

1 2π
∫
x
−∞
e
Байду номын сангаас
−
z2 2
dz
∴ ξ n = n[1 −
1 2π
Yn′
−∞
∫e
−
z2 2
dz] =
n 2π
+∞
1 Yn
∫e
−
z2 2
dz
（n 较大时） 。 (4)
解得： Y ′ = 2 ln n − ln ln n + ln 4π − ln ξ n n
2 2 ln n
[ 3]
2 ln n
ln ln n + ln 4π ， a′ = 令 u′ = 2 ln n − n n 2 2 ln n 1 得 Yn′ = u ′ ln ξ n n − a′ n
α
α
当相互独立正态分布的随机变量 X 1 , X 2 , L , X n 的个数较大时，其最大值分布及统计参数可近似用定理 3，定理 3，定理 5 求，如： 已知某地区的年最大风压服从正态分布，
µ Qτ
µ Qτ
＝0.25KN/m2,
σ Qτ
=0.10KN/m2,如设计基准期 T 取为 20
µ Q ,σ Q
＝0.42
=
2 ln n σ
n = 20
=
2 ln 20 = 24.48 0.10
0.5772 0 .5772 + 0.42 +µ α =0.44, = 24.48
∴由(7)知：M(X)=
σ( X ) = 1 .2826 α
1.2826
= 24.48 =0.05
同理可求：当 n=50 时， M(X)=0.48, σ ( X ) =0.046,由(4)知,n 越大，M(X), σ ( X ) 越准确。 参考文献：
(由 (5 )得 )
− a ′ ( y − µ −σu ′ ) = exp − e σ
n n
= exp − e − α n ( y − u )
∆
{
}
(" ∆ " 表示记作
)
其中
u n = σu n ′ +µ =σ 2 ln n − σ
ln ln n + ln 4 π +µ 2 2 ln n
1 2 n n
X
∴ FYn ( x) = P (Yn < x ) ＝P[max(X1，X2,…，X n)<x]=P(X1<x,X2<x,…,X n<x) =P(X1<x)P(X2<x)…P(X n<x)=[FX(x)]n, ∴ Fξn (ξ ) = P[ξ n ≤ ξ ] = P n[1 − FX (Yn )] ≤ ξ = P F X (Yn ) ≥ 1 − 设 ξ n = n[1 − FX (Y n )] （1）
1 2 n
布形式及 Fmax ( z ) 的统计参数。下面分析多个服从一般正态分布的随机变量的最大值分布。 定理 １ 设原始分布 F(x)是指数型分布，即 lim d [ 1 − F ( x ) ] = 0 ,则最大项 XN 的分布函数 FN（x）的极限
x→ ∞
dx
f (x)
分布为极值Ⅰ型分布。［２］
T T
年，求 T＝20 年，求 T＝20 年内最大风压 QT 的概率分布函数 FT （x）及其统计参数 ∵ ＝0.25KN/m2,σ Qτ =0.10KN/m2
un
n = 20
。
∴由式(6)得参数
an
n = 20
= (σ
2 ln n − σ
ln ln n + ln 4π 2 2 ln n
+ µ)
n = 20
53 第 1 期 袁子厚，等：多个独立正态分布随机变量的最大值分布
′ ∴ lim 1 − F ( x ) f ( x) = 0 x →∞
时， FYn ( y ) = exp[− g ( y )] 。
∴若 X1,X2,…,X n 服从一般正态分布 N ( µ , σ 2 ) ， 随机变量 X1,X2,…,X n 的最大值分布为极值Ⅰ型分布。 , 定理 ２ 设 X , X , L, X 是独立的同分布的变量，最大值为 Y ， g ( y ) = n[1 − F ( y )] ，则当 n 很大
The Maximum Distribution of Multi-independent Normal Distribution Random Variable
YUAN Zi-hou，HE Xiao-ya，MEI Jia-bin
(Dept. of Mathematics and Physics, Wuhan University of Science and Engineering, Wuhan Hubei 430073, China)
( x − µ) 2
=e
2 σ2
x−µ σ2
∫
+∞
x
− 1 e 2π σ
( x− µ) 2 2σ 2
dx − 1
( x − µ )2 2σ 2 ( x −µ ) 2 2σ 2
∵ lim
∫
e
+∞
x −
e
−
( x −µ ) 2 2σ 2
dx =
x → +∞
( x −µ ) 2 2σ 2
σ2 x−µ
x →+∞
2 ln n
∴ξ n = e −a
′ ′ −u ′ n ( Yn n)
由(3)得当 n 充分大时， Yn1 的分布函数 F 1 ( y ′) = exp[−e − an ( Yn −u n ) ] Y
n
1
1
1
(5)
定理 ４ 若 X 服从一般正态分布 N ( µ ,σ 2 ) ，随机变量 X1,X2,… ,X n 的最大值为 Yn，则 Yn 的分布函数 ,
其中， u n ′ =
{
' ' ' n ( y −u n )
},
2 2 ln n
2 ln n −
ln ln n + ln 4π
a′ 2 ln n n =
54
武
汉
科
技
学
院
学
报
2004 年
证明：∵X'服从标准正态分布 N(0,1),∴分布函数为： FX ′ ( x ) =
1 又随机变量 X 1' , X 2 ,L , X n' 的最大值为 Yn' ，令 ξ n = n[1 − FX (Yn′ )]
an =
a′ n = σ
2 ln n σ
55 第 1 期 袁子厚，等：多个独立正态分布随机变量的最大值分布
定理 ５ 设极值Ⅰ型分布函数 FΙ (x) = exp{− exp[− α ( x − µ)]}，则其统计参数 Ｍ（Ｘ）＝ 0.5772 + µ ， σ ( X ) = 1.2826 。［４］ （７）
证明：∵ X 1 , X 2 , L, X n 是独立的同分布的变量，且最大值为 Yn ，
{
}

ξ ξ −1 = PYn ≥ FX (1 − ) n n
ξ ξ = 1 − FYn [ FX−1 (1 − )] = 1 − { FX [ FX−1 (1 − )] n n ξ = 1 − (1 − ) n n
第 17 卷 第 1 期 武 汉 科 技 学 院 学 报 Vol.17 No.1 2004 年 02 月 JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND ENGINEERING Feb. 2004
多个独立正态分布随机变量的最大值分布
袁子厚，何小亚，梅家斌
（武汉科技学院 数理系，湖北 武汉 430073） 摘要：求 n 个相互独立的随机变量的最大值分布是概率论中常见的运算。但是当 n 很大时求最大值分布及其 统计参数很繁，本文用渐近分布理论得知多个独立正态分布随机变量的最大值分布为极值Ⅰ型分布，再推导 具体表达式，从而很容易求出其统计参数。 关键词：正态分布；最大值分布；统计参数；极值Ⅰ型分布 中图分类号： O174.53 文献标识码：A 文章编号：1009－5160（2004）－0052－04
lim
−e e
− ( x − µ )2 2σ 2
−
(−
− 2( x − µ ) σ 2 ) +e 2 x−µ 2σ
(−σ 2 )( x − µ ) −2
= lim
x → +∞
1 =1 σ2 1+ ( x − µ )2
收稿日期：2004-01-08 作者简介：袁子厚(1966-)，男，副教授，研究方向：工程结构可靠性.
∫ 2π σ
1
x
−∞
e
−
( z − µ) 2 2σ 2
dz
又随机变量 X1,X2,……Xn 的最大值为 Yn ,于是 Y ′ = Yn − µ 为 X − µ 的最大值。
n
σ
σ
− a ′ ( y − µ −u ′ ) ∴Yn 的分布函数 FY ( y ) = FY ′ ( y − µ ) = exp − e n σ n n n σ
（2）
∴当 n 很大时， FY n ( y ) = P (Yn < y ) = P{FX−1 (1 − ξn ξ ξ g ( y) ) < y} = P{1 − n < FX ( y )} = P{1 − n < 1 − } n n n n
= P[ξ n > g ( y )](其中g ( y ) = n[1 − FX ( y )])
Abstract: To require maximum distribution of n independent random variables is a useful calculation in probability. But when n is more, it is difficult to calculate the maximum distribution and its statistics parameter. The author thinks that the maximum distribution of multi-independent normal random variable is extreme value distribution by approach distribution theory, and calculates concrete formula, and then easily calculates its statistics parameter. Key Words: normal distribution; maximum distribution; statistics parameter; extreme value distribution
− 1 设 X 服从正态分布，其密度函数 f(x)= e 2πσ ( x− µ ) 2 2σ 2
,F(x)= ∫
x
1 2π σ
−∞
e
−
( x − µ) 2 2σ 2
dx ,
′ (x − µ )2 +∞ 1 − ′ 2σ 2 e dx ( x − µ ) 2 + ∞ ( x− µ ) 2 ′ ∫ − 1 2σ 2 ∵ 1 − F ( x ) = x 2π σ = e 2σ 2 dx ∫x 2π σ e ( x −µ ) 2 − f ( x) 1 2 e 2σ 2π σ
FY ( y ) = exp − e − a
n
{
n ( y −u n )
}
,
ln ln n + ln 4π 2 2 ln n +µ
其中 u n = σu ′ 2 ln n − σ n + µ =σ
an =
a′ n = σ
2 ln n σ
……（6）
证明：∵X 服从一般正态分布 N ( µ ,σ 2 ) , ∴分布函数为： F X ( x) =
= 1 − F ξn ( g ( y )) = exp[ − g ( y)](由( 2)可知) LLL ( 3) （3）
' 定理 ３ 若 X'服从标准正态分布 N(0,1),随机变量 X 1' , X 1 的最大值为 Yn' ，则当 n 充分大时， Yn' 的 2 , L, X n
分布函数
' n
FY ( y ' ) = exp − e − a
[1] [2] [3] [4] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 北京：高等教育出版社, 2001. 林忠民. 工程结构可靠性设计与估计[M]. 北京：人民交通出版社.1990.12 (美)A.H-S.ANG, W.HTANG. 工程规划与设计中的概率概念:第 II 卷[M]. 孙芳垂,等译. 北京：冶金工业出版社,1991. 余安东, 叶润修. 建筑结构的安全性与可靠性[M]. 上海：上海科学技文献出版社, 1986.
ξ Q lim n ln(1 − ) = lim n →∞ n →∞ n ξ ln(1 − ) n = −ξ 1 n
}n
∴当n → ∞时, Fξn (ξ ) = 1 − e −ξ LLLL(2)
由(1)可知： Y n= FX−1 (1 − ξn −1 ) , (FX (•) 为 Y X (•) 的逆函数)且 ξ n 随 Yn 增加而减少， n
设 X 1 , X 2 , L , X n 是 n 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 它 们 的 分 布 函 数 分 别 为 FX i ( z i ) (i=1,2, … ,n), 则 M=max( X 1 , X 2 ,L , X n )的分布函数为 Fmax ( z ) = FX ( z ) F X ( z ) L F X ( z )[1] 。当 n 很大时，很难直接计算 Fmax (z ) 的分