中考数学专题：几何图形证明与计算题分析
【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-
专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型五利用三角函数解决与√2 ,√3,二分之一有关的问题
(3)Ⅰ)如图②，由(2)知△ADG∽△ACE， ∴DCGE＝AADC＝ 22，∴DG＝ 22CE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC＝8 2，AC＝ AB2＋BC2＝16， ∵AG＝ 22AD，∴AG＝ 22AD＝8，
∵四边形 AFEG 是正方形， ∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8， ∵C，G，E 三点共线， ∴CG＝ AC2－AG2＝ 162－82＝8 3， ∴CE＝CG－EG＝8 3－8，
(1)解：如图①中，设 AC＝CD＝x. 在 Rt△ACB 中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD＋BD＝x＋2， ∵AB2＝AC2＋BC2，∴102＝x2＋(x＋2)2， 解得 x＝6 或－8(舍弃)， ∵12AC·BC＝12AB·CE，
∴CE＝61×08＝254.
(2)证明：如图②中，作 DH⊥CF 于点 H. ∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°， ∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∵∠ACE＋∠BCE＝90°， ∴∠CAE＝∠DCH，∴△ACE≌△CDH，∴AE＝CH， 在 Rt△DHF 中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°， ∴HF＝DF·cos 30°＝ 23DF， ∴CF＝CH＋FH＝AE＋ 23DF.
(3)AB＝8 2，AG＝ 22AD，将正方形 AFEG 绕 A 逆时针方向旋转α(0°<α <360°)，当 C，G，E 三点共线时，请直接写出 DG 的长度．
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，四边形 AFEG 是正方形， ∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°， ∴AAEG＝ 2，EG∥CD，
若题中已知一条边，常以这条边为直角边或斜边构造等腰直角三角形， 就会出现 2倍数量关系．
方法二：构造含 30°角的直角三角形( 3，12倍数量关系)
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
中考数学压轴题----《几何图形》例题讲解
中考数学压轴题----《几何图形》例题讲解例1、（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【答案】C【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．【变式1-1】（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米【答案】B【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，∵点C为运行轨道的最低点，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故选：B．【变式1-2】（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：不妨设正方形面积S＝1，则正方形边长为1，∴内切圆直径d＝1，r＝，＝πr2＝π，∴S圆根据圆的对称性得：黑色部分面积S1＝S圆＝π，∴S1：S＝＝，故选：A．【变式1-3】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．【变式1-4】（2021•贵阳）（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．【解答】解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b，分两种情况：①a＞b时，∴a+b＝12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5，∴，解得：a＝，∴EF＝；②a＜b时，同①得：，解得：a＝，∴EF＝；综上所述，EF为或；（3）c+b＝n，理由如下：如图③所示：设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．。
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习(含答案解析)
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习（含答
案解析）
几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某
个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，难易程度多为难题、压轴题。
务必掌握求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、
定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造
二次函数等。
代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
特别注意如果所列方程为分式方程，需检验增根！
具体例题题型如下：。
中考数学题型八 几何图形探究题
例2 (2020·东营)如图①，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，
BE，BC的中点．
(1)观察猜想 图①中，线段NM，NP的数量关系是___N__M_＝__N__P____，∠MNP的大小为 ____6_0_°___；
2. (2020·泰安)小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上， 抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝ ∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现： (1)当点F为线段CE的中点时，连接DF(如图②)，小明经过探究，得到结 论：BD⊥DF.你认为此结论是否成立？_是___．(填“是”或“否” )
又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE， ∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB， ∴EF＝AE，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6， 当DE＝2AE＝6时，题图①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE ＋AE＝15， ∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18； 题图②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝ BC－AE＝9－3＝6； 题图③中，DE小于AE，故不存在．故答案为18或6.
拓展创新：解：AD 的长为 5 .[解法提示]如解图②，过点 A 作 AB 的垂线， 过点 D 作 AD 的垂线，两垂线交于点 M，连接 BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM ＝60°，∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴MBDD
＝DDCA ，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠CDM，即∠BDM
专题六 几何图形综合问题
类型一
类比、迁移与拓展类几何综合问题
(1)该类问题常常是先根据特殊的条件结合图形猜想出结论,然后在一般条件下论证结论,最后运用
结论解决问题;或者是在特殊条件下得出结论,改变条件的特殊性(如点的位置发生改变,图形的形状
发生改变等)判断结论是否仍然成立.
(2)解答该类问题注意类比,几问之间层层递进,但是原理相同,图形结构类似或方法类似,或在此基
∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH.
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM.
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA.
边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合,先作∠CDF=
∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量
关系是
.
(1)解:∠DCA′
(2)解:AD2+DE2=AE2
①
②
方法运用
(3)如图③所示,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM.
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即DE⊥AM.
故DE=2AM,DE⊥AM.
类型三 几何多结论判断问题
几何多结论判断问题考查的知识点较多,主要以圆和四边形为核心,解决问题的主要手段是利用三
中考数学几何模型专题专题三—三角形
专题三三角形模型8 “8字”形模型展现基础模型怎么用?1.找模型两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形,简称“有交点，想8字”2.用模型“8字”型的实质是利用三角形内角和定理进行角度转化来解题∠结论分析结论1:∠A+∠B=∠C+∠D证明:AC与BD相交于点0 , 连接AB,CD,在∠ABO中,∠.A+∠B+∠.AOB= 180°在OCD0中，∠C+∠D+∠COD= 180°因为∠AOB=∠COD(对顶角相等),所以∠A+∠B=∠C+∠D.拓展延伸角度和相等,是解决角度转化的重要思想。
“8字”型虽简单,但往往在几何综合题中推导角度时用到.∠模型拓展典例小试例1如图,线段AB , CD,EF两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）出现多个模型,分离模型,逐个计算A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,三角形的内角和例2如图,A,B,C,D,E是同一平面上的点,F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是( )试着转化到一个四边形中,利用内角和求解A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,四边形的内角和思路点拨“8字”型能得到角度和的关系,在题目未给出具体角度的情况下,考虑将所求角度和转化到同一个多边形中,再利用多边形内角和求解.实战演练1.如图,AB∠BD,AC∠CD,∠A=30°,则∠.D的度数为____.2.一副三角板如图摆放,其中一块三角板的直角边EF落在另.一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点0,则∠BOD的度数是____。
模型9 “燕尾”型模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2.用模型通过“燕尾”型把“凹”的角转换成三个内角之和结论分析结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1:如解图,延长BD交AC于点E.∠∠BEC是∠ABE的外角∠∠BEC=∠A+∠B又∠∠BDC是∠CDE的外角，∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C证法2:如解图，连接AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4，∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4=∠A+∠B+∠C.∠∠BDC=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+CD证明:如解图,延长BD交AC于点E，则AB+AE>BD+DE , DE+CE>CD，∠AC=AE+CE，∠AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.巧学巧记简记:“凹角等于凸角之和”.拓展延伸也可以连接BC,使用三角形内角和定理来证明,同学们可以试试哦.:AOBAOCS S BD =:AOB COBS S AE =:BOC AOCSSBF =怎么用? 1．找模型遇到共边的两个三角形的面积相关问题,考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型通过模型将面积问题转化为边的问题 满分技法燕尾相邻的两个三角形共底不等高,常根据三角形的面积公式“12×底×高”可推导“共底不等高”的三角形的面积比即为应高的比. 结论分析 结论3:∠::;AOBAOCSSBD CD =证明:如解图,分别过点B ,C 作 BH , CG 垂直于AD 交于点H , G ,在∠ABC 中,∠11,,22AOBAOCSAO BH S AO CG ==∠11:::,22AOB AOCSSAO BH AO CG BH CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在∠BHD 和∠CGD 中，∠BHD =∠CGD =90°，∠BDH =∠CDG ， ∠∠BHD ∠∠CGD ，∠BH BDCG CD =， ∠::.AOBAOCSSBD CD =典例小试例1如图，已知点D ,E 分别在∠ABC 的边AB ,AC 上，将∠A 沿DE 折叠 （点拨：折叠产生相等的角）使点A 落在点F 的位置，已知∠A =50°（点拨：∠F =50°），∠1=130°，则∠2的度数为（ ） A .130° B .120° C .150° D .140°考什么?三角形外角的性质,折叠的性质思路点拨 折叠产生三角形全等，即ADE FDE ∆≅∆例2(2021河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与BD 的交点为C ,且∠A ,∠B ,∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D 的大小（点拨：先分析哪个角的大小随着D 点变化）,使∠EFD =110°，则图中∠D 应(填“增加”或“减少”)____度.考什么?三角形的内角和,对顶角相等实战实演1．将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为 （） A .75° B .105° C .135° D .165°2.如图,是一块不规则的纸片,∠ABC =∠DEF = 80°,则∠A +∠C +∠D +∠F 的度数为( )A . 80°B . 160°C .240°D . 360°3.如图,∠A = 45°, ∠BDC = 135°，∠ABE =13∠ABD ，∠ACE =13∠ACD ,则∠BEC 的度数是（ ）A . 30°B .45°C .75°D .90°4．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 的中点,连接AF ,CE 交于点G ,若矩形ABCD 的面积为3,则四边形AGCD 的面积为________5.如图,在∠ABC 中,点 D ,E 分别在BC ,AC 边上,AD 与BE 交于点F ,若CD =3BD ,EC =4AE ,四边形CDFE 的面积是10,则∠ABC 的面积为________模型10 “风筝”型模型展现基础模型怎么用?1.找模型三角形折叠或者在角内部的角容易产生“风筝”型2.用模型三角形外角性质是解决问题的关键结论分析结论1:∠DBF+∠ECF= ∠A+∠F证明:如解图,连接AF，∠∠DBF是∠ABF的外角，∠∠DBF=∠BAF+∠BF A.∠∠FCE是∠ACF的外角，∠∠FCE=∠CAF+∠CF A，∠∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BF A+∠CAF+∠CF A=∠BAC+∠BFC，即∠DBF+∠ECF= ∠BAC+∠BFC.怎么用?1．找模型遇到与四边形(含对角线)相关的面积问题,考虑用“风筝”型2.用模型共边三角形面积问题可转化为线段问题例1如图,已知点D,E分别在∠ABC的边AB,AC上,将∠A沿DE 折叠(注：折叠性质产生相等的角,且有“风筝”型),使点A落在BC上,对应点为F,已知∠B=50°,∠C=60°,则么∠1+∠2的度数为（）A.100°B. 120°C. 140°D. 135°例2如图,∠ABC中,AB=BC,(等腰三角形)延长AB,AC至点D,E,点F是∠DAE内部一点,连接BF,CF.若∠ABC= 40°，∠F= 50°则∠DBF+∠ECF(寻找与求解有关的角度关系)的度数为（）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°实战实演1.如图,在平行四边形ABCD中,∠B= 50°,点E是BC上一点,将∠ABE沿边AE翻折得到∠AFE,延长BA至点M.若∠FEC=70°,则∠MAF的度数为（）A. 20° B．30° C. 40° D. 50°2.如图,在等边∠ABC中,点D 、E 分别是AB, BC边上一点,把∠BDE沿DE 折叠,使点B落在点B'处, DB', EB'分别交边AC于点F、G ,若∠ADF=70°,则∠AGE的度数为.3.如图,在四边形ABCD中,点E, F分别是AD, BC上的点,将四边形ABCD 沿直线EF折叠,若∠A =130°, ∠B =110°,则∠1+∠2的度数为.4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC , BD相交于点E ,∠ADE , ∠ABE ,∠CDE 的面积分别为2,3,4,则∠BCE的面积为, AE : CE的值为.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,点E , F分别在BC , CD上,连接EF交OC于点G ,连接OE , OF , S∠OEF= S∠ODF =2S∠CEF, S∠BOE =6,则∠OCF的面积为；∠GCE的面为.模型11 角平分线模型模型展现基础模型结论分析结论: P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO 证明:OP 平分∠MON , ∠∠AOP = ∠BOP ,在∠AOP 和∠BOP 中,90AOP BOPOAP OBP OPOP ∠＝∠∠＝∠＝＝∠∠AOP ∠∠BOP ,∠P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO .怎么用? 1.找模型遇到图形中含角平分线,考虑用角平分线模型 2.用模型一般直接用角平分线的性质,或者构造等腰三角形或全等三角形解决线段和角度问题模型拓展满分技法角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.碰到角平分线,常需要截相等线段来构造三角形全等或者作平行线产生等腰三角形来解决问题.例1(2021青海)如图,在四边形ABCD中, ∠A =90°, AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC（点拨:考虑角平分线的性质）,则∠BCD 的面积为A .8B .7.5 C.15 D .无法确定考什么?角平分线的性质,三角形的面积计算公式思路点拨已知角平分线+边的垂直(直角),考虑作垂直,应用角平分线上的点到角两边的距离相等.例2(2019青岛)如图,BD是∠ ABC的角平分线, AE∠BD（点拨：角平分线的垂线产生全等），垂足为 F .若∠ABC =35°, ∠C =50°,则∠CDE 的度数为A .35°B .40°C .45°D .50°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和,全等三角形的判定与性质,三角形的内外角关系,等腰三角形的性质思路点拨已知角平分线+角平分线的垂线,构造出等腰三角形.例3如图,已知∠ABC的平分线交AC于点E ,过点E作DE∠BC（点拨：过角平分线上的点作平行线产生等腰三角形及角相等）,交AB于点D.若∠A =70°, ∠AED =50°, BD =2,则BE长为.考什么?角平分线的性质,平行线的性质,三角形的内角和,等腰三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值思路点拨已知角平分线+平行线,构造出等腰三角形.实战演练1.如图,已知三角形ABC 中, ∠ABC =60°, BD 是∠ABC的平分线, CE ∠AB于点E ,交BD于点F,若EF =4,则FC 的长为.2.如图,在∠ABC中, BD平分∠ABC,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,已知∠A=70° ,则∠CED的度数为______.3.如图,在∠ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF平分∠ACB，交DE于点F,若AC=10,BC=12,则DF的长为________.4.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,连接EF,AE,AF,若AE,AF恰好平分∠BEF,∠DFE.(1)则∠EAF的度数为__________;(2)求证:四边形ABCD是正方形;(3)若BE=EC=3,则DF的长为________.模型12 双角平分线模型模型展现基础模型111怎么用?1. 找模型三角形中,遇到两角平分线，考虑用双角平分线模型2.用模型通过三角形的内角和,内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系结论分析结论1:∠D=90°+12∠A证明:∠ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB∠∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠ABC+12∠ACB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)= 180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A拓展延伸结论2的证明同学们可参考结论1和结论3,利用三角形的内外角关系进行证明.结论3：∠D =90°-12∠A证明:∠BD平分∠EBC,CD平分∠FCB，∠∠DBC=12∠EBC,∠DCB=12∠FCB，∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠EBC +12∠FCB)= 180°-12(∠ACB+∠A+∠ABC+∠A)= 180°-12( 180°+∠A )= 90°-12∠A.模型拓展333111满分技法若将角平分线改为三等分角线,同样根据三角形的内角和及角度的倍数关系求解.典例小试例1 如图,在∠ABC中,∠ B=40°,CD∠AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E（结合图形可知是双内角平分线型），则∠E的度数为（)A.105°B.110°C.140°D.145°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和万唯中考几何模型例2如图,在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°,则∠P=（）A. 10°B.15° C．30° D.40°考什么?角平分线的性质,三角形外角的性质,三角形的内角和思路点拨结合图形可知两角平分线分别为内角、外角平分线,根据“一内一外”角平分线结论求解即可.实战实演1.如图,在∠ABC中, ∠C= 110°，AE平分∠DAB,延长EA,交∠ABC的平分线于点F,则∠F= 。
2019年中考数学总复习：几何图形证明专题(超详细,经典!!!)
B中考数学总复习 几何图形证明专题【题型一】考察概念基础知识点型例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为 。
例2 如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______．例3 （切线）已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ． 【题型二】折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。
例4（09绍兴）D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 。
例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿 EF 折叠， 使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ．112C ． 4D ．52【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。
例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A.2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 2232cm π-D C B AE FG 【题型四】证明题型：三角形全等【判定方法1：SAS 】例1 （2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。
求证：△ACE ≌△ACF例2 （2010长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．【判定方法2：AAS （ASA ）】例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+．例4 （2011浙江台州）如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。
【中考冲刺】2020中考数学专题总复习：专题五 几何的证明与综合应用
角三角形,∴DF= 2 AD,∴ DF = 2,∴ EB = 2.
AD
AD
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方法技巧
与三角形有关的证明与综合应用主要涉及证三角形全等和相似,看到证明
线段相等,要想到全等,看到证明线段之间成比例,要想到三角形相似,这是一种
定性思维,其中三角形相似有以下几种基本结构.
常见 结构
A字型
X字型 母子型
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DEB CDF, DBE CFD, ED DC,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴EB=DF,∴EB=AD.
(3) EB = 2 .理由如下:作DF∥BC交AC于点F,如图3所示,同(1),得△DBE≌
AD
△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直
(2)DH⊥HG.证明:如图,延长GH交CD于点N,
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∵FG⊥AD,CD⊥AD,∴FG∥CD.∴∠GFC=∠HCN,∠FGH=∠HNC.∴△FGH
∽△CNH.∴ FG = FH = GH ,
CN CH NH
又∵CH=FH,∴GH=HN,NC=FG.∴AG=FG=NC.又∵AD=CD,∴GD=DN,∴DH⊥
AG AC,
即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中, GAB CAE,∴△GAB≌△CAE
AB AE,
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(SAS), ∴∠ABG=∠AEC,又∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM= 90°,即CE⊥BG,∴四边形CGEB是垂美四边形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2, ∵AC=4,AB=5, ∴BC=3,CG=4 2 ,BE=5 2 ,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE= 73 .
江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题附全解全析
江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题【题型解读】几何探究题为江西近10年的必考题型，题位在解答题最后两道题中的一道．考查类型有：(1)操作探究问题(3次)；(2)旋转探究问题(3次)；(3)新定义探究问题(2次)；(4)动点探究问题(2次)；主要设问有：(1)求线段长；(2)判断图形的形状；(3)求角度；(4)判断两条线段的数量和位置关系并证明．类型一操作探究问题1.如图，在正方形ABCD中，点E、F是正方形内两点，BE∥DF，EF⊥BE.为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程：●初步体验如图①，连接BD，若BE＝DF，求证：EF与BD互相平分．●规律探究(1)在图①中，(BE＋DF)2＋EF2＝________AB2；(2)如图②，若BE≠DF，其他条件不变，(1)中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由．●拓展应用如图③，若AB＝4，∠DPB＝135°，2BP＋2PD＝46，求PD的长．第1题图2. 如图①，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上的一动点，Q是上的一动点，连接PQ.发现：当∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：(1)如图②，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；(2)如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点恰好落在OA的延长线上，求阴影部分的面积；探究：如图④，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．第2题图3. 综合与实践 问题情境：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条ABCD ，其中AD ＝BC ＝1，AB ＝CD ＝5.然后在纸条上任意画一条截线段MN ，将纸片沿MN 折叠，MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ，如图②所示：深入探究： (1)若∠1＝70°，求∠MKN 的度数；(2)试判断△MNK 的形状；若改变折痕MN 的位置，△MNK 的形状是否发生变化，请说明理由；拓展应用：(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为12，求此时∠1的度数；(4)小明继续动手操作，发现了△MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD (含端点)上，落点记为点E ，这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于点F ，然后展开铺平，连接BE 、EF .(1)操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个______三角形； ②当折痕经过点A 时，cos ∠BEF 的值为________； (2)深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23，①当△BEF是等边三角形时，求出BE的长度；②在任意折叠中，△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出EF的长；若不存在，请说明理由．第4题图5. 如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在∠BAC内部作∠MAN＝45°，AM、AN分别交BC于点M、N.【操作】(1)将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到△ACQ，请在图①中画出△ACQ；(不写画法)【探究】(2)在(1)中所作图的基础上，连接NQ，①求证：MN＝NQ；②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由；【拓展】如图②，在等腰△DEF中，∠EDF＝45°，DE＝DF，点P是EF边上任意一点(不与点E，F重合)，连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE、DF于点K、L，连接GH，分别交DE、DF于点S、T，(3)线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是________；(4)设DK＝a，DE＝b，求DP的值．(用a、b表示)第5题图6．现有三角形纸板ABC, AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，将该三角形纸板放在足够大的圆中移动，⊙O交直线AB于点D，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE.(1)操作发现：如图①，当⊙O经过A、C两点，且圆心O在△ABC内部时，连接CD、CE，①试判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②求AE＋AD的值；(2)数学思考：如图②，当⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 在△ABC 外部时，连接CD 、CE ，求AE －AD 的值；(3)问题解决：如图③，点F 为CA 延长线上一点，且AC ＝3AF .当⊙O 经过A ，F 两点，且圆心O 在△ABC 外部时，连接DF ，EF ，①猜想AE 、AD 之间的数量关系，并证明；②连接CE ，是否存在△AEC 为直角三角形？若存在，请直接写出⊙O 的半径；若不存在，请说明理由．第6题图类型二 旋转探究问题1. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A ′B ′C .(1)设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S 1和S 2.若θ＝40°，请求出S 1S 2的值；(2)如图①，设A ′B ′与CB 相交于点D ，且AB ∥CB ′： ①求证：CD ＝B ′D ； ②求BD 的长；(3)如图②，设AC 中点为点M ，A ′B ′中点为点N ，连接MN ，MN 是否存在最大值，若存在，求出MN 的值，判断出此时AA ′与BB ′的位置关系；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图①，在△ABC中，AC＝BC＝22，∠ACB＝90°，点D、E分别是AC、BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，旋转角为α，连接AD′、BE′.(1)如图①，若0°＜α＜90°.①求证：AD′＝BE′；②当AD′∥CE′时，求BE′的长；(2)如图②，若90°＜α＜180°，当点D′落在线段BE′上时，求sin∠CBE′的值；(3)如图③，将△CDE绕点C旋转一周，在旋转过程中，若AD′与直线BE′相交于点P，M为AB的中点，那么在整个旋转过程中，求PM扫过的图形面积．第2题图3. 如图①，边长为6的等边△ABC中，点D在AB边上(不与点A，B重合)，点E在BC 边上(不与点B，C重合)．第一次操作：将线段DE绕点E顺时针旋转，当点D落在三角形上时，记为点F；第二次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在三角形上时，记为点G；依次操作下去….(1)如图②中的四边形DEFG是经过三次操作后得到的，且DE⊥EC.①四边形DEFG的形状为________；②若BE＝CF，求线段DE的长；(2)若经过两次操作可得到△DEF如图③.①请判断△DEF的形状为________，此时AD与BE的数量关系是________；②以①中的结论为前提，设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y与x的函数关系式；(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．第3题图4. 已知△ABC与△DEF均为透明的完全一样的等腰直角三角板，且AC＝BC＝2，∠C ＝∠E＝90°.在数学活动课上，小颖同学用这两块三角板进行探究活动．操作：使点D落在线段AB的中点处并使DF过点B(如图①)，然后将△DEF绕点D顺时针旋转，直至点E落在CB的延长线上时结束操作，在此过程中，射线ED与射线CA交于点N，射线CB与DF相交于点M，连接MN(如图②，图③)．(1)如图②，若AB∥MN，求证：△ADN≌△BDM；(2)如图②，在以上操作过程中，求证：AN·BM的值不会发生变化；(3)①如图③，在以上操作过程中，ND始终平分∠ANM吗？若平分，请加以证明；若不平分，请说明理由；②设AN＝m，请直接写出△DMN的面积(用含m的式子表示)．第4题图5. 如图①，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，将△BCD平移得到△DEF，使得BC边与AD边重合，如图②所示，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当ED边与AB边重合时，旋转停止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设ED、EF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图③所示．(1)图②四边形ABCF的形状是________，连接BF，则BF＝________；(2)在旋转过程中，∠CEF＋∠CHE的度数为________；(3)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图③所示的情况说明理由)；(4)当x为何值时，△AGH是等腰三角形？(直接写出答案，不必说明理由)第5题图6.将两张完全相同的平行四边行纸片按如图①所示放置(其中点E在BC上，点A在BG 上，AB＝BE＝4，BC＝BG＝23＋2，∠B＝60°，▱ABCD固定不动，将▱GBEF绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<360°)．(1)如图①，连接AF，求AF的长．(2)如图②，当▱GBEF绕点B旋转到点F与点D重合时，AD与BG相交于点M，BC与ED相交于点N，求证：四边形BMDN是菱形．(3)如图③，在旋转过程中，当旋转角α为多少度时，以点C，G，D，F为顶点的四边形是正方形？是矩形？请给予证明．第6题图类型三 新定义探究问题1. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，若△PBC 与△CAB 相似，那么就称点P 为△ABC 的黄金点．(1)在下列三角形中，一定没有黄金点的是( ) A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 等腰三角形 D . 直角三角形(2)如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为点E ，试说明点E 是△ABC 的黄金点；(3)如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝4. ①若点P 1是△ABC 的黄金点，求AP 1的长；②若点P 1是△ABC 的黄金点，点P 2是△P 1BC 的黄金点， 点P 3是△P 1P 2C 的黄金点，点P 4是△P 1P 2 P 3的黄金点，…，以此类推，请求出△P 2016P 2017P 2018的周长.第1题图2. 我们知道若线段上的一个点把这条线段分割为两部分，其中一部分与全长之比等于5－12时，则这个点称为黄金分割点．类比三角形中线的定义，我们规定：连接一个顶点和它对边的黄金分割点的线段叫做这个三角形的黄金线．(1)如图①，已知CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD )，△ABC 的面积为4，则△BCD 的面积为________；(2)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ＝1，过B 点作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ，求证：BD 是△ABC 的黄金线；(3)如图③， BE 、CD 是△ABC 的黄金线(AD >BD ，AE >CE )，BE 、CD 相交于点O . ①设△BOD 与△COE 的面积分别为S 1、S 2，试猜想S 1、S 2的数量关系，并说明理由；②求ODCD的值．第2题图3．如果在两个相似但不全等的三角形中，其中一个三角形的一边等于另一个三角形的一边，那么，我们称这两个三角形为梦幻三角形，例如：(如图①所示)△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，(如图②所示)△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1，且△ABC ∽△A 1B 1C 1，c ＝a 1，那么我们将△ABC 与△A 1B 1C 1称为梦幻三角形．(1)若△ABC 与△A 1B 1C 1为梦幻三角形，且相似比为k (k ＞1)，求证：a ＝kc ； (2)如图③，在△ABC 中，∠ACB ＝80°，∠B ＝60°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，求证：△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)如图④，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点C 作CF ⊥PD 于点F ，与AD 相交于点E ，且△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形．①若AE ·AD ＝36，BC ＝8，求线段AD 的长；②若CDAB＝m ，请直接写出PC 与PD 的数量关系(用含m 的式子表示，不必说明理由)．第3题图4.阅读理解如图①，在正n边形A1A2A3…A n的边A2A3上任取一不与点A2重合的动点B2，并以线段A1B2为边在线段A1A2上方作一正n边形A1B2B3…B n，把正n边形A1B2B3…B n叫正n边形A1A2A3…A n的准位似图形，点A3称为准位似中心．特例论证(1)如图②，已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3，试证明：随着点B2的运动，∠B3A3A1的大小始终不变．数学思考(2)如图③，已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4，随着点B2的运动，∠B3A3A4的大小是否始终不变？若不变，请求出∠B3A3A4的大小；若改变，请说明理由．归纳猜想(3)在图①的情况下：①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小(不要求证明)；若会改变，请说明理由；②∠B3A3A4＋∠B4A4A5＋∠B5A5A6＋…＋∠B n A n A1＝________.(用含n的代数式表示)第4题图类型四 动点探究问题1.在四边形OABC 中，AB ∥OC ，∠OAB ＝90°， ∠OCB ＝60°，AB ＝2，OA ＝2 3.(1)如图①，连接OB ，请直接写出OB 的长度；(2)如图②，过点O 作OH ⊥BC 于点H .动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，设点P 运动的时间为t 秒，△OPQ 的面积为S (平方单位)．①求S 与t 之间的函数关系式；②设PQ 与OB 交于点M ，当△OPM 为等腰三角形时，试求出△OPQ 的面积S 的值．第1题图2. 如图，点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，点E 为AB 上的一动点，DF ⊥DE 于点D ，DF 与BC 的延长线相交于点F . OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N .(1)求证：DE ＝DF ；(2)在点E 的运动过程中，OM 2＋ON 2是否是一个定值，如果是，请求出 OM 2＋ON 2的值，若不是，请说明理由；(3)如图②，若DE 与AC 相交于点P ，DF 的延长线与AC 的延长线相交于点Q ，求证： AP CQ ＝DP DQ.第2题图3. 如图①，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的动点，P为AB边上的动点，连接DP，以DP为边构造△DEP，∠DPE＝90°，PD＝PE.(1)如图②，若点P与点A重合，①求证：CD＝BE；②猜想BD、CD与PD之间的数量关系，并说明理由；(2)如图③，若BP＝2AP时，AC＝62，设DP2＝y，BD＝x.①求y关于x的函数关系式；②连接CP，请问是否存在△CDP为等腰三角形？若存在，请求出△DPE的面积；若不存在，请说明理由．第3题图4. 如图，在锐角△ABC中，AB＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，连接DE.(1)如图①，①当DE∥BC时，则cos∠B的值为________；②当DE⊥AC时，求sin∠B的值；(2)设△ACD的面积为S，求S－AC2的最大值；(3)如图②，M、F为线段AB上的两动点，在运动的过程中，EF始终与CM平行，延长FE到点P，随着∠B的变化，是否存在∠DEP＝k∠A(k为正整数)？若存在，请直接写出tan∠MCA的取值范围；若不存在，请说明理由．第4题图江西省2020届中考数学单元专题练之几何探究题答案全解全析类型一操作探究问题1.解：●初步体验证明：如解图①，连接BD交EF于点O，连接DE、BF，第1题解图∵BE＝DF，BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴EF与BD互相平分．●规律探究(1) 2；(2)(1)中的数量关系不会发生变化．理由如下：如解图①，过点D作BE的垂线，与BE的延长线交于点M，连接BD，第1题解图①∵BE∥DF，EF⊥BE，DM⊥BM，∴EF∥DM，∴四边形EFDM是矩形，∴DF＝EM，EF＝DM，BM＝BE＋DF，∵在正方形ABCD中，∴BD＝2AB，∵BD2＝BM2＋DM2，∴(BE＋DF)2＋EF2＝2AB2.●拓展应用如解图②，过点P作EP⊥DP，过点B作BE⊥EP，第1题解图②∵∠DPB＝135°，∴∠EPB＝45°，即△EBP为等腰直角三角形，∴PB＝2BE，∵2BP＋2PD＝46，∴2·2BE ＋2PD ＝46， ∴BE ＋PD ＝26，设PE ＝BE ＝x ，则有(BE ＋PD )2＋x 2＝ 2AB 2，即(26)2＋x 2＝32， 解得x ＝±22(负值舍去)， ∴PD ＝26－BE ＝26－2 2. 2. 解：发现：90°，102；【解法提示】∵点Q 在AB ︵上，点P 在OB 上，∴当PQ 取最大值时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合， 此时∠POQ ＝90°，PQ ＝OA 2＋OB 2＝10 2.思考：(1)如解图①，连接OQ ，则OP ＝12OB ＝12OQ ，∵QP ⊥OB ， ∴cos ∠QOP ＝OP OQ ＝12∴∠QOP ＝60°，∴l BQ ︵＝60180π×10＝103π ；第2题解图①(2)由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝102， 在Rt △B ′OP 中，OP 2＋(102－10)2＝(10－OP )2， 解得OP ＝102－10， S 阴影＝S 扇形AOB －2S △AOP ＝90360π×102－2×12×10× (102－10)＝25π－1002＋100；探究：如解图②，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，OO ′与PQ 交于点M ，则OM ＝O ′M ，OO ′⊥PQ ，O ′P ＝OP ＝6，第2题解图②∵点O ′是B ′Q ︵所在圆的圆心， ∴O ′C ＝OB ＝10，∵折叠后的B ′Q ︵恰好与半径OA 相切于C 点，∴O ′C ⊥AO ， ∴O ′C ∥OB ，∴四边形OCO ′B 是矩形，在Rt △O ′BP 中，O ′B ＝62－42＝2 5在Rt △OBO ′中，OO ′＝102＋（25）2＝230， ∴OM ＝12OO ′＝12×230＝30，即点O 到折痕PQ 的距离为30.3. 解：深入探究：(1)∵折叠前的四边形ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM ＝∠KMN ＝∠1＝70°， ∴∠MKN ＝40°；(2)△MNK 为等腰三角形；不发生变化； 理由如下：∵AM ∥DN ， ∴∠1＝∠MNK ，∵将纸片沿MN 折叠， ∴∠1＝∠KMN ， ∴∠MNK ＝∠KMN ， ∴KM ＝KN ，∴△MNK 始终为等腰三角形；拓展应用：(3)如解图①，当△KMN 的面积最小值为12时，KN ＝KM ＝BC ＝1，∴KM ⊥KN ，第3题解图①∵∠NMB ＝∠KMN ，∠KMB ＝90°， ∴∠1＝∠NMB ＝45°，同理将纸条向下折叠时，∠1＝∠NMB ＝135°， ∴∠1＝45°或∠1＝135°； (4)分两种情况：情况一：如解图②，将矩形纸片对折，使点B 与D 重合，此时点K 也与D 重合，第3题解图②设MK ＝MB ＝x ，则AM ＝5－x ，在Rt △AMK 中，由勾股定理得12＋(5－x )2＝x 2， 解得x ＝2.6，∴MK ＝NK ＝2.6，(由(2)可得)∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3；情况二：如解图③，将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕即为AC ，第3题解图③设MK ＝AK ＝CK ＝x ，则DK ＝5－x . 同理可得MK ＝NK ＝2.6， ∵MD ＝1，∴S △MNK ＝12×1×2.6＝1.3，∴△MNK 的面积最大值为1.3. 4. 解：(1)①等腰；【解法提示】由折叠的性质可知BF ＝EF ，∴△BEF 为等腰三角形． ②22； 【解法提示】由折叠的性质可知∠BEF ＝∠EBF ＝45°， ∴cos ∠BEF ＝22； (2)①当△BEF 是等边三角形时，则∠ABE ＝30°， ∵AB ＝3，∴cos ∠ABE ＝AB BE ＝32，∴BE ＝2；②根据题意可得矩形ABCD 的面积为6； 第一种情况：当点F 在边BC 上时，此时可得S △BEF ≤12S 矩形ABCD ，即当点F 与点C 重合时，S △BEF 存在最大值，最大值为3；由折叠可知CE ＝CB ＝23，即EF ＝ 23； 第二种情况：当点F 在边CD 上时，如解图，过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，第4题解图∵S △EKF ＝12KF ·AH ≤12HF ·AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ·BH ≤12HF ·BH ＝12S 矩形BCFH ，∴S △BEF ≤12S 矩形ABCD ＝3，即当点F 为CD 中点时，△BEF 的面积最大，此时，点E 与点A 重合，△BEF 面积最大为3， ∴EF ＝AD 2＋DF 2＝（23）2＋（32）2＝512， 综上所述，当△BEF 的最大面积为3时，EF 的长为23或512. 5. (1) 解：如解图①，△ACQ 即为所求；第5题解图①(2)①证明：由旋转可得，△ABM ≌ △ACQ ，∴AM ＝AQ ，∠BAM ＝∠CAQ ， ∵∠MAN ＝45°，∠BAC ＝ 90°， ∴∠BAM ＋∠NAC ＝45°， ∴∠CAQ ＋∠NAC ＝45°，即∠NAQ ＝45°， 在△MAN 和△QAN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AQ ∠MAN ＝∠QAN ，AN ＝AN∴△MAN ≌△QAN (SAS )， ∴MN ＝NQ ；② 解：MN 2＝BM 2＋NC 2； 理由如下：由①中可知，MN ＝NQ ，MB ＝CQ ，又∵∠NCQ ＝∠NCA ＋ACQ ＝∠NCA ＋∠ABM ＝45°＋45°＝90°， ∴在Rt △NCQ 中，NQ 2＝CQ 2＋NC 2，即MN 2＝BM 2＋NC 2； (3)解：ST 2＝GS 2＋TH 2；【解法提示】如解图③，连接SP 、PT ，用(2)中的方法可证△DGS ≌△DPT ，△GSP ≌△PTH ，∴GS ＝PT ，TH ＝SP ，由题意易知GH ⊥PD ，△SPT 为直角三角形， ∴ST 2＝PT 2＋SP 2＝GS 2＋TH 2.(4)解：如解图③，∵DE ＝DF ，DG ＝DP ，∠EDF ＝∠GDP ＝45°，第5题解图③∴∠DPK ＝∠DEP ， 又∵∠PDK ＝∠EDP ， ∴△DPK ∽△DEP ，∴DPDE＝DKDP，即DP2＝DK·DE，∵DK＝a, DE＝b，∴DP＝ab.6.解：(1)①CD＝CE，理由如下：∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∴∠CED＝∠CAB＝45°，又∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE；②由题意可得∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECA＝∠BCD，又∵AC＝BC＝6，CD＝CE，∴△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，∴AE＋AD＝BD＋AD＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝62，即AE＋AD的值为62；(2)∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，又∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∠ECA＝∠DCB，∠CEA＝∠ADC∴∠EAC＝∠B＝45°，∴△ECA≌△DCB，∴AE＝BD，∴AE－AD＝BD－AD＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝62，即AE－AD的值为62；(3)①AD－AE＝22，证明如下：第6题解图①∵DE是⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，如解图①，过点F作FM⊥AF于点F，交AD于点M，∴∠DFM＝∠EF A，又∵∠MAF＝∠CAB＝45°，∴∠AMF＝45°，∴AF＝MF，又∵∠FDM＝∠FEA，∴△FDM ≌△FEA (AAS)， ∴AE ＝DM ，∴AD －AE ＝AD －DM ＝AM ，由AC ＝3AF ，AC ＝6可得AF ＝2，在Rt △AMF 中，由勾股定理可得AM ＝22，即AD －AE 的值为22； ②存在，⊙O 的半径为5.6或17. 【解法提示】由①可得CF ＝8， 如解图②，当∠ECA ＝90°时，△AEC 为直角三角形， 可证EC ＝AC ＝6，在Rt △ECF 中，由勾股定理可得EF ＝10，在Rt △EDF 中，由勾股定理可得DE ＝102，即⊙O 的半径为52， 如解图③，当∠AEC ＝90°时，△AEC 为直角三角形， 过点E 作EH ⊥AC 于点H ，可得EH ＝AH ＝3， ∴FH ＝5，第6题解图在Rt △EHF 中，由勾股定理可得EF ＝34，在Rt △EDF 中，由勾股定理可得DE ＝217，即⊙O 的半径为17.类型二 旋转探究问题1. (1)解： ∵△ABC 绕顶点C 顺时针旋转40°，得到△A ′B ′C ， ∴CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∠ACA ′＝∠BCB ′＝θ， ∴△ACA ′∽△BCB ′，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝32∶42＝9∶16； ∴S 1S 2＝916； (2)①证明：∵AB ∥B ′C ， ∴∠ABC ＝∠BCB ′；由旋转的性质得∠ABC ＝∠DB ′C ， 即∠BCB ′ ＝∠DB ′C ； ∴CD ＝B ′D ；②解：根据勾股定理可得A ′B ′＝AB ＝5，据题意可得∠BCB ′ ＋∠BCA ′ ＝∠DB ′C ＋∠CA ′B ′＝90°， ∴∠BCA ′ ＝∠CA ′B ′，∴CD ＝A ′D ＝B ′D ＝12A ′B ′＝52 ，∴ BD ＝BC －CD ＝32；(3)解：存在，∵∠A ′CB ′＝90°，点M 为AC 的中点，∴CM ＝12AC ＝32，∵△A ′B ′C 是由△ABC 绕顶点C 顺时针旋转所得，∴A ′B ′＝AB ＝5，第1题解图如解图，连接CN ，可得MN ≤CM ＋CN ，∴只有当点N 在MC 的延长线上时，MN ＝CM ＋CN ，此时MN 最大， ∵点N 为A ′B ′的中点，∴CN ＝12 A ′B ′＝52，MN ＝CM ＋CN ＝4，即MN 的最大值为4.此时AA ′⊥BB ′.2. (1)证明：①∵AC ＝BC ，D , E 分别是 AC ，BC 的中点， ∴CD ＝CE ，由旋转可得∠D ′CE ′＝∠DCE ＝90°，CD ＝CD ′，CE ＝CE ′， ∴∠ACD ′＝∠BCE ′，CD ′＝CE ′， ∴△ACD ′≌ △BCE ′， ∴AD ′＝BE ′；②解：∵AD ′∥CE ′，∴∠AD ′C ＝∠E ′CD ′＝90°， ∵AC ＝2CD ′，∴∠CAD ′＝30°， ∴ AD ′＝cos 30°×AC ＝32×22＝6， 由①得BE ′＝AD ′＝ 6 ；第2题解图①(2)解：根据题意可得CD ′＝CE ′＝ 2 ，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，CD ′＝CE ′＝ 2 ， ∴D ′E ′＝2，如解图①，作CK ⊥BE ′于点K .可得KD ′＝E ′K ， ∴CK ＝12D ′E ′＝1，∴sin ∠CBE ′＝CK BC ＝122＝24；(3)解：如解图②，连接PM ，由(1)得△ACD ′≌ △BCE ′，第2题解图②∴∠P AC ＝∠E ′BC ，AD ′＝BE ′， 又∠P AC ＋∠ACB ＝∠PBC ＋∠APB ， ∴∠APB ＝∠ACB ＝90°， 设AD ′＝x ，则BD ′＝x －2，在△ABD ′中可得AD ′2＋BD ′2＝AB 2，即x 2＋(x －2)2＝42， 解得x 1＝7＋1，x 2＝－7＋1 (舍去)， ∴BD ′＝7－1，∴S △BD ′M ＝S △ABD′2＝（7＋1）（7－1）4＝32，由轴对称性可得PM 扫过的图形面积为：180π×22360－32×2＝2π－3.3. 解： (1)①正方形；【解法提示】由旋转性质可知DE ＝EF ＝FG ＝DG ， ∴四边形DEFG 为菱形， ∴DG ∥BC . 又∵DE ⊥EC ，∴四边形DEFG 为正方形． ②∵四边形DEFG 为正方形， ∴DG ∥BC .∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠C . ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.∴△ADG 为等边三角形． ∴AD ＝ DG ＝DE .又∵BD ＝DE sin ∠B ＝DE sin 60°＝233DE ，∴BD ＋AD ＝233DE ＋DE ＝6.解得DE ＝1823＋3＝123－18.(2)①等边三角形，相等；②据题意可得△ADF ≌△BED ≌△CFE ，AD ＝x ，BD ＝6－x ， 如解图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ， 可得DG ＝sin ∠B ·BD ＝32(6－x )， y ＝S △ABC －3S △BDE ＝12×33×6－3×x 2×32(6－x )，化简得y ＝334x 2－932x ＋9 3.图①图② 第3题解图(3)如解图②，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是6，它可能为正多边形，边长为2.4. (1)证明：据题意可得∠CAB ＝∠CBA ，AD ＝BD ， ∴∠NAB ＝∠MBA ，又∵AB ∥MN ，AC ＝BC ，∴AC AN ＝BC BM，即AN ＝BM ， ∴△ADN ≌△BDM (SAS )；(2)证明：据题意可得AD ＝BD ＝2， 由(1)得∠NAB ＝∠MBA ＝135°，∠EDM ＝ 45°，∴∠AND ＋∠ADN ＝∠EDB ＋∠BDM ＝45°， ∴∠AND ＝∠BDM ， ∴△ADN ∽△BMD ， ∴AD BM ＝ANBD，即AN ·BM ＝AD ·BD ＝2·2＝2， ∴AN ·BM 的值不会发生变化；(3)解：①平分．证明：由(2)可得∠ADN ＋∠BDM ＝45°， ∴∠MDN ＝∠DAN ＝135°， 又∵△ADN ∽△BMD ， ∴AN BD ＝ND DM ， 又∵AD ＝BD ， ∴AN AD ＝ND DM， ∴△ADN ∽△DNM ，∴∠AND ＝∠DNM ，即ND 始终平分∠ANM ； ②S △DMN ＝m 2＋2m ＋22m；【解法提示】由(2)可得：AN ·BM ＝2，AN ＝m ， ∴BM ＝2m，如解图，分别过点D 作AC 、MN 、CM 的垂线，垂足分别为H 、H ′、H ″ ，第4题解图∵ND 平分∠ANM ，且DH ⊥CA ，DH ′⊥MN 在Rt △ABC 中，DH ∥BC ，AD ＝BD 可得DH ′＝DH ＝BC2＝1，同理DH ″＝1，∴S △DMN ＝S △CMN －S △ADN －S △ABC －S △DMB ＝12·CN ·CM －12·AN ·DH －12·AC ·BC －12·BM ·DH ″ ＝12×(2＋m )×(2＋2m )－12×m ×1－12×2×2－12×2m ×1 ＝m 2＋2m ＋22m.∴△DMN 的面积为m 2＋2m ＋22m.5. 解：(1)平行四边形；25；【解法提示】依题意可知，正方形ABCD 沿对角线剪开后为第5题解图①两个等腰直角三角形，当ED 边与AB 边重合时，AB ＝DF ，BC ＝EF ，∴四边形ABCF 是平行四边形，设AD 与BF 交于点O ，如解图①，可知AO ＝DO ＝12AD ＝1，∴BO ＝AB 2＋AO 2＝5，∴BF ＝2 5. (2)45°或135°；【解法提示】当△EFD 转到如解图②所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝∠ACB ＝45°；当△EFD 旋转到如解图③所示的位置时，∠CEF ＋∠CHE ＝180°－∠C ＝135°，综上可知，∠CEF ＋∠CHE 的度数为45°或135°.第5题解图(3)由题意知∠DEF ＝∠ACB ＝∠B ＝45°，∴∠DAC ＋∠CAH ＝45°，∠AHB ＋∠CAH ＝∠ACB ＝45°， ∴∠DAC ＝∠AHB ，∴△AGC ∽△HAB , ∴AC HB ＝GCAB ，∴2y ＝x 2，∴y ＝4x(0≤x ＜22)； (4)当x 为2或2时，△AGH 是等腰三角形． 【解法提示】由题意可得△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．第5题解图分三种情况讨论，①如解图④，当CG ＝AG ，此时CG ＝2， ②如解图⑤，当CG ＝AC ，此时CG ＝2，③如解图⑥，当AG ＝AC ，此时ED 与AB 重合，不合题意，舍去． 综上所述，当x ＝2或2时，△AGH 是等腰三角形．6. (1)解：如解图①，连接DF ，过点F 作FH ⊥AD 于点H .第6题解图①∵四边形ABCD 和四边形BEFG 是平行四边形． ∴AK ∥BE ，AB ∥EK .∴四边形ABEK 是平行四边形． ∵AB ＝BE ，∴四边形ABEK 是菱形．∴DK ＝FK ＝23＋2－4＝23－2，∠FKD ＝∠AKE ＝∠B ＝60°， ∴△FKD 是等边三角形． ∵FH ⊥AD ，∴KH ＝12DK ＝3－1，FH ＝3－3，在Rt △AFH 中，AH ＝4＋3－1＝3＋3， ∴AF ＝AH 2＋FH 2＝（3＋3）2＋（3－3）2＝24＝2 6.(2)证明：∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵∠A ＝∠G ，∠AMB ＝∠GMD ，AB ＝GD . ∴△ABM ≌△GDM (AAS )． ∴BM ＝DM .∴四边形BMDN 是菱形．(3)解：①如解图①，当旋转角α为30°时，四边形CGDF 是正方形(此时也是矩形)．第6题解图② 证明：∵BG ＝BC ，∠ABG ＝∠α＝30°， ∴∠GBC ＝60°－30°＝30°， ∴∠BGC ＝∠BCG ＝75°， ∴∠GCO ＝∠CGO ＝45°， ∴OG ＝OC ，∠GOC ＝90°，如解图②，过点G 作GN ⊥BC 于点N ， 在Rt △BNG 中，∠GBC ＝30°， ∴GN ＝12BG ＝3＋1，BN ＝3GN ＝3＋ 3.∴NC ＝BC －BN ＝23＋2－(3＋3)＝3－1. ∴GC ＝GN 2＋NC 2＝（3＋1）2＋（3－1）2＝8＝22，∴OG ＝OC ＝CG 2＝222＝2，∴OD ＝OF ＝4－2＝2， ∴OD ＝OC ＝OG ＝OF ， ∴四边形CGDF 是矩形， ∵GF ⊥CD ，∴四边形CGDF 是正方形；②如解图③，当旋转角α为300°时，四边形CGFD 是矩形．第6题解图③证明：∵∠α＝300°，∴点E 与点A 重合，∠CBG ＝120°. ∵BC ＝BG ，∴∠GCD ＝120°－30°＝90°.∵四边形ABCD 和四边形GBEF 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AB ∥GF ，AB ＝CD ，AB ＝GF ， ∴CD ∥GF ，CD ＝GF ，∴四边形CGFD 是平行四边形， ∵∠GCD ＝90°，∴四边形CGFD 是矩形．类型三 新定义探究问题1. 解： (1)C ；(2)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线， ∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD ，∴∠BCE ＝∠ABC ， ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°， ∴∠BEC ＝∠ACB ， ∴△BCE ∽△ABC ，∴点E 是△ABC 的黄金点；(3)①据题意可得∠P 1CB ＝60°，∠BP 1C ＝90°，AC ＝43， ∴P 1C ＝cos ∠P 1CB ·BC ＝cos 60°·BC ＝2，如解图，过点P 1作P 1D ⊥AC 于点D ，连接AP 1，可得∠P 1CD ＝30°， ∴P 1D ＝12P 1C ＝1，CD ＝ 3 ，∴ AD ＝AC －CD ＝33，在Rt △AP 1D 中，根据勾股定理可得AP 1＝（33）2＋12＝27；第1题解图②据题意可得△P 1BC ∽△CAB ， ∴C △P 1BC C △CAB＝BC AB ＝12， 同理可得C △P 2CP 1C △P 1BC ＝P 1C BC ＝12，即 C △P 2CP 1C △CAB＝P 1C AB ＝14， ∴C △P 2016P 2017P 2018C △CBA＝P 2017P 2018AB ＝122016，可得△CAB 的周长为12＋43，∴△P 2016P 2017P 2018的周长为3＋3220142. (1)解： 6－25；【解法提示】∵CD 是△ABC 的黄金线(AD ＞BD )， ∴AD AB ＝5－12， ∵S △ABC ＝4， ∴S △ADC ＝5－12×4＝25－2， ∴S △BCD ＝S △ABC －S △ADC ＝6－25； (2)证明：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵过点B 作BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点D ， ∴∠CBD ＝∠A ＝36°，∠BDC ＝∠C ＝72°， ∴AD ＝BD ＝BC ， ∴△BCD ∽△ABC ， ∴CD BC ＝BDAC ，即1－AD BC ＝1－BC BC ＝BC 1， 解得BC ＝5－12， ∴AD ＝5－12， ∴AD AC ＝5－12， ∴D 点是AC 的黄金分割点， ∴BD 是△ABC 的黄金线； (3)解：①S 1＝S 2.理由如下：如解图，连接ED ，第2题解图据题意得：AD AB ＝AEAC ＝5－12，∴S △ABE S △ABC ＝S △ACD S △ABC＝5－12，∴S △ABE ＝S △ACD ，∴ S △COE ＝S △BOD ，即S 1＝S 2； ②由①得AD AB ＝AE AC， 又∵∠A 为公共角， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠DEA ＝∠BCA ,DE BC ＝AEAC ＝5－12， ∴DE ∥BC ，∴△ODE ∽△OCB ， ∴OD OC ＝DEBC ＝5－12， ∴OD CD ＝5－15＋1＝（5－1）24. 3. (1)证明：根据题意可得△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k ＞1)， ∴aa 1＝k ，即a ＝ka 1， 又∵c ＝a 1， ∴a ＝kc ；(2)证明：根据题意得∠A ＝40°， ∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，即∠BCD ＝∠A ，又∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ， 又∵BC 是公共边，∴△CBD 与△ABC 为梦幻三角形；(3)解：①∵△ACE 与△ADC 刚好构成梦幻三角形， ∴△ACE ∽△ADC ， ∴AC AD ＝AEAC，即AC 2＝AE ·AD ＝36， ∴AC ＝6，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 又∵BC ＝8，∴由勾股定理可得AB ＝10， 如解图，连接OD ，又∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠ACD ＝45°， ∴∠AOD ＝90°，∴∠OAD ＝∠ADO ＝45°，∵OD ＝5， ∴AD ＝52； ②PCPD＝2m ；第3题解图【解法提示】根据题意可得AD ＝22AB ， ∴CD AD ＝CD 2AB2＝2·CD AB ＝2m ， ∵PD 是⊙O 的切线， ∴∠ODP ＝90°， ∴∠ADP ＝45°，即∠ADP ＝∠PCD ， 又∵∠P ＝∠P ，∴△ADP ∽△DCP ，且DP 为两三角形的公共边， ∴PC PD ＝CDDA＝2m . 4. (1)证明：∵△A 1A 2A 3与△A 1B 2B 3都是正三角形， ∴A 1A 2＝A 1A 3，A 1B 2＝A 1B 3，∠A 2A 1A 3＝∠B 2A 1B 3＝60°， ∴∠A 2A 1B 2＝∠A 3A 1B 3，∴△A 2A 1B 2≌△A 3A 1B 3(SAS )， ∴∠B 3A 3A 1＝∠A 2＝60°；∴随着点B 2的运动，∠B 3A 3A 1的大小始终不变，为60°. (2)解：∠B 3A 3A 4的大小不变．如解图，在边A 1A 2上取点D ，使A 1D ＝A 3B 2，连接B 2D .第4题解图∵四边形A 1A 2A 3A 4与四边形A 1B 2B 3B 4都是正方形， ∴A 1B 2＝B 2B 3，∠A 1B 2B 3＝∠A 1A 2A 3＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∠A 2A 1B 2＋∠A 1B 2A 2＝90°， ∴∠A 3B 2B 3＝∠A 2A 1B 2， ∴△A 3B 2B 3≌△DA 1B 2， ∴∠B 2A 3B 3＝∠A 1DB 2， ∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1D ＝A 3B 2， ∴A 2B 2＝A 2D .又∵∠A 1A 2A 3＝90°，∴△DA 2B 2为等腰直角三角形， ∴∠A 1DB 2＝135°， ∴∠B 2A 3B 3＝135°， ∵∠A 4A 3A 2＝90°， ∴∠B 3A 3A 4＝45°，∴∠B 3A 3A 4的大小始终不变，为45°； (3)解：①∠B 3A 3A 4的大小不会发生改变，始终为180°n；②90°（n －1）（n －2）n.【解法提示】∠B 3A 3A 4＋∠B 4A 4A 5＋B 5A 5A 6＋…＋∠B n A n A 1＝180°n ×1＋180°n×2＋180°n ×3＋…180°n ×(n －2)＝180°n ×[1＋2＋3＋…＋(n －2)]＝90°(n －1)（n －2）n. 类型四 动点探究问题1. 解：(1)OB ＝4；(2)①∵AB ＝2，OB ＝4，∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝60°，又∵∠OCB ＝60°，∴△BOC 为等边三角形，∴OH ＝OBcos 30°＝4×32＝23， ∴OP ＝OH －PH ＝23－t ，如解图①，过P 点作PE ⊥OA ，垂足为点E ，第1题解图①则EP ＝OPcos 30°＝3－32t ， ∴S ＝12·OQ ·EP ＝12·t ·(3－32t )＝－34t 2＋32t (0<t <23)；②若△OPM 为等腰三角形：(ⅰ)若OM ＝PM ，如解图②，则∠MPO ＝∠MOP ＝∠POC ，第1题解图②∴PQ ∥OC ，过点P 作PK ⊥OC 于点K ， ∴OQ ＝PK ＝OP 2，即t ＝3－t2，解得：t ＝233，此时S ＝－34×(233)2＋32×233＝233； (ⅱ)若OP ＝OM ，如解图③，则∠OPM ＝∠OMP ＝75°，第1题解图③∴∠OQP ＝∠OMP －∠QOM ＝75°－30°＝45°，此时EQ ＝EP ，即t －(3－12t )＝3－32t ， 解得：t ＝2，此时S ＝－34×22＋32×2＝3－3； (ⅲ)若OP ＝PM ，∠POM ＝∠PMO ＝∠AOB ，则PQ ∥OA ，此时点Q 在AB 上，不满足题意，舍去．综上所述，当△OPM 为等腰三角形时，△OPM 的面积为233或2. 2. (1)证明：根据题意得AD ＝CD ，∠ADC ＝∠DCF ＝∠DAB ＝90°，又∵DF ⊥DE 于点D ，∴∠ADE ＝∠CDF ，∴△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ；(2)解： OM 2＋ON 2 的值为定值；理由：∵OM ⊥DE 于点M , ON ⊥DF 于点N ，∴四边形DMON 为矩形，∴DN ＝OM ，如解图①，连接OD ，可得OM 2＋DM 2＝OD 2，即OM 2＋ON 2＝OD 2，第2题解图①∵点O 为正方形ABCD 的中心，AB ＝2，∴OD ＝2，即OM 2＋ON 2＝OD 2＝2；(3)证明：由正方形的性质可得∠DAC ＝45°，如解图②，过点Q 作C ′Q ⊥AQ 于点Q ，QC ′与DC 的延长线相交于点C ′，第2题解图②可得∠C ′＝45°，即∠DAC ＝∠C ′，CQ ＝C ′Q ，又∠ADE ＋∠EDC ＝∠QDC ′＋∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠QDC ′，∴△ADP ∽△C ′DQ ，∴AP C ′Q ＝AP CQ ＝DP DQ. 3. (1)①证明：据题意可得∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∴∠EAB ＝∠CAD ，又AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABE ≌△ACD ，∴CD ＝BE ；②解：猜想：CD 2＋BD 2＝2PD 2.理由：据题意可得∠ABC ＝∠C ＝45°，由①可得∠ABE ＝∠C ＝45°，即∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，即CD 2＋BD 2＝2PD 2；(2)解：①据题意可得BP ＝42，如解图，过点P 作PF ∥AC ，PF 与BC 相交于点F ，第3题解图可得BF ＝BP sin 45°＝42×22＝8， 由(1)可得△PBE ≌△PFD ，∴DF ＝BE ，∠ABE ＝∠PFD ＝45°，∴∠EBD ＝90°，∴BE 2＋BD 2＝PE 2＋PD 2，∴DF 2＋BD 2＝2PD 2，即2y ＝x 2＋(8－x )2，化简得y ＝x 2－8x ＋32；②存在；理由如下：据题意可得BC ＝12，CD ＝12－x ，AP ＝22， 在Rt △ACP 中，可得：CP ＝（62）2＋（22）2＝45， 当CD ＝DP 时，△CDP 为等腰三角形，此时，可得 y ＝12－x ，即x 2－8x ＋32＝(12－x )2，解得x ＝7，∴y ＝x 2－8x ＋32＝72－8×7＋32＝25，∴S △DPE ＝252； 当CP ＝CD 时，△CDP 为等腰三角形；此时，可得12－x ＝45，解得x ＝12－45，∴y ＝x 2－8x ＋32＝(12－45)2－8×(12－45)＋32＝160－645，∴S △DPE ＝160－6452＝80－325，综上，△DPE 的面积为252或(80－325)． 4. 解：(1)① 23； 【解法提示】∵E 是AC 的中点，∴当DE ∥BC 时，D 为AB 的中点，即BD ＝12AB ＝4， 又∵CD ⊥AB ，∴cos ∠B ＝BD BC ＝46＝23. ②∵点E 是AC 的中点，∴当DE ⊥AC 时，DE 为AC 的垂直平分线，∴CD ＝AD ，设CD ＝AD ＝x ，则BD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：(8－x )2＋x 2＝62，解得x 1＝4＋2，x 2＝4－2，∴sin ∠B ＝CD BC ＝4＋26或4－26； (2)∵CD ⊥AB ，∴ S －AC 2＝AD ·CD 2－(AD 2＋CD 2)＝－(AD 2＋CD 2－2AD ·CD )－3AD ·CD 2， ∴ S －AC 2＝－(AD －CD )2－3AD ·CD 2， ∴当AD ＝CD 时，S －AC 2的值最大，最大值为－3AD ·CD 2， 由(1)可知：－3AD ·CD 2＝ －3×（4－2）22＝122－27； (3)34＜tan ∠MCA ＜377. 【解法提示】当∠ABC 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝10，此时可得 tan ∠A ＝BC AB ＝68＝34. 当∠ACB 为直角时，根据勾股定理可得AC ＝27 ，此时可得tan ∠A ＝BC AC ＝627＝377. ∵△ABC 是锐角三角形，∴34＜tan ∠A ＜377. 由题意可知∠DEP ＝∠DEC ＋∠CEP ＝2∠A ＋∠CEP ，又∵∠DEP ＝k ∠A ，且k 为正整数，∴k ＝3，即∠CEP ＝∠AEF ＝∠A ，又∵EF始终与CM平行，∴∠MCA＝∠AEF＝∠A，∴34＜tan∠MCA＜377.。
2020年 陕西中考备考：图形与几何、综合与实践中考考点分析及备考建议课件(共38张PPT)
考法：充分应用几何演绎推理、代数演绎推理、 解析演绎，数学建模等
备考：最值问题（距离、周长、面积）、 等分问题
25题．（2017年，12分）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为
20题（2018年，7分）
周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河
的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底 部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂 直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起 标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m， BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求 河宽AB．
P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的
路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、
环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小
值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
25题．(2019年，12分) 问题提出
25题、综合与实践 12分
共计４２分
近三年17题考情分析
17题．（2017年 5分） 如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B，BD⊥BC交AC于点
D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等 于BP的长（保留作图痕迹，不写作法）
17题．（2018年 5分）
如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接 AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使 △DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
2025年广东中考数学题型专练精准破译——解答题之几何证明题
∴∠EFH＝∠EHF＝45°.
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∴∠AFN＝∠FAN＝∠AGE＝∠NGH＝45°.
∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°.
∴GN＝HN.又∵AN＝AG＋GN，
∴FN＝ AE＋HN.
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类型2
与四边形有关
3．(2024·长沙)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC
证明：△ABC是等腰直角三角形.
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2．(2024·宁夏)综合与实践
如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角∠CAM
的平分线于点E.
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【发现结论】
结论1：∠AEB＝____∠ACB；
结论2：当图1中∠ACB＝90°时，如图2所示，延长BC交AE于点F，过点
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(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝ BD，求证：CE＝AD.
证明：连接AC，交BD于点O，如图所示.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADE＝90°.
∴∠DAE＋∠AED＝90°.
∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°.
∴∠ADB＝∠AED.
∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠CEB ＋ ∠DCE ＝ ∠BCE ＋ ∠ACE ＝ ∠ACB ＝ 90°.∴∠CDE ＝ 90° ， 即
CD⊥AB.
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(2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求ACቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ长.
中考数学压轴题重难点突破十 几何图形综合题 类型一：与全等三角形有关的问题
∠CRD＝12∠ARB＝45°.∴∠MON＝135°.
此时，P，O，B 在一条直线上，△PAB 为直角三角 PQ＝ 2PQ，则PQ＝ 2.
1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，F 为 BD，CE 的交点． (1)求证：BD＝CE； (2)连接 AF，求证：AF 平分∠BFE.
Ⅲ)∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°， ∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM， 又∵DM＝6 2， ∴DG＝GM＝6， ∵DE＝12， ∴EG＝ ED2－DG2＝6 3， ∴EM＝GM＋EG＝6＋6 3.
模型二：半角模型
如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，分别连接 EF， AE，AF，∠EAF＝45°.求证： (1)EF＝BE＋DF； (2)AF 平分∠EFD.
证明：(1)将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°， 得到△ABG， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
出现等顶角，共顶点，等线段就能构造全等型手拉手．
1．(2016·安徽第 23 题 14 分)如图①，A，B 分别在射线 OM，ON 上，且 ∠MON 为钝角．现以线段 OA，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角 形，分别是△OAP，△OBQ，点 C，D，E 分别是 OA，OB，AB 的中点． (1)求证：△PCE≌△EDQ； (2)延长 PC，QD 交于点 R. Ⅰ)如图②，若∠MON＝150°，求证：△ABR 为等边三角形； Ⅱ)如图③，若△ARB∽△PEQ，求∠MON 的大小和APBQ的值．
(2)Ⅰ)证明：如图②，连接 OR. ∵PR 与 QR 分别为线段 OA 与 OB 的中垂线， ∴AR＝OR＝BR，∠ARC＝∠ORC，∠ORD＝∠BRD. 在四边形 OCRD 中， ∠OCR＝∠ODR＝90°，∠MON＝150°， ∴∠CRD＝30°. ∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO ＝2∠CRO＋2∠ORD ＝2∠CRD＝60°. ∴△ABR 为等边三角形．
专题八 几何证明之四边形中的三角形全等问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题八几何证明之四边形中的三角形全等问题1、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证DG＝BE；（2）连接FC，求tan∠FCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，同理可证∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．2、【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．【实践探究】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的长是2．3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．4、已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．5、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝3，∵AD＝4，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，∵△BD≌△ECB，∴D＝BE＝4，∴DE＝BD﹣BE＝1，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．6、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，作BG⊥AC于G，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．7、如图，在平行四边形ABCD中，点G在CD上，点H在AB上，且DG＝BH，点E．F在AC上，且AE＝CF．连接GF，FH，HE，EG．（1）求证：△CFG≌△AEH；（2）若AG＝GC，则四边形EHFG是什么特殊四边形？请说明理由．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠GCF＝∠HAE，∵DG＝BH，∴GC＝AH，在△CFG与△AEH中，，∴△CFG≌△AEH（SAS）；（2）∵△CFG≌△AEH，∴GF＝EH，∠AEH＝∠GFC，∴∠FEH＝∠EFG，∴四边形EGFH是平行四边形，∵AG＝GC，∴∠GAE＝∠GCF，在△GAE与△GCF中，∴△GAE≌△GCF（SAS），∴EG＝GF，∴平行四边形EGFH是菱形．8、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE．（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）证明：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴四边形BECF是菱形，∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，∴EF＝BC，∴四边形BECF是正方形．9、阅读材料：教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力，要增强学生的创新精神和综合素质．王老师想尝试改变教学方法，将以往教会学生做题改为引导学生会学习．于是她在菱形的学习中，引导同学们解决菱形中的一个问题时，采用了以下过程（请解决王老师提出的问题）：先出示问题（1）：如图1，在等边三角形ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，如果BD＝CE，连接AD、BE，AD、BE相交于点P，求∠APE的度数．学习，王老师请同学们说说自己的收获．小明说发现一个结论：在这个等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，则∠APE的度数就是一个定值，不会发生改变．紧接着王老师出示了问题（2）：如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为BC上一点，F为CD上一点，BE＝CF，连接DE、BF，DE、BF相交于点P，如果DP＝4，BP＝3，求出菱形的边长．问题（3）：通过以上的学习请写出你得到的启示（一条即可）．解：问题（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠ABP+∠EBC＝∠ABC＝60°；问题（2）过点D作DG⊥BF交BF于点G，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝60°，BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝BD，由（1）可知∠DPG＝60°，在Rt△DPG中，sin60°＝，即＝，解得：DG＝2，cos60°＝，即＝，解得：PG＝2，∴BG＝BP+PG＝3+2＝5，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2+DG2＝52+（2）2＝37，∴BD＝，∴BC＝BD＝，∴菱形的边长为；问题（3）平时应该注意基本图形的积累，在学习过程中做个有心人．10、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．11、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD＝CF∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．∴DF＝AD＝4，O为DF中点．∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．13、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．15、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+2，当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，四边形AOBC故答案为：．16、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：则∠AOD＝30°，∵正方形OABC的边长为2，∴AO＝2，∴AD＝AO＝1，∴OD＝＝＝，∴点A的坐标为：（，﹣1）；（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：则∠AOE＝75°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，∴点B的坐标为（，﹣）．。
中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案试卷分析解析
苏州中考数学专题辅导第三讲几何证明与计算题选讲真题再现：1．（苏州•本题6分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO．2．(苏州•本题8分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)梯形ABCD的面积等于；(2)当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于秒；(3)当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间?3．（江苏•本题满分10分）如图，在梯形中，E、F两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．4．（江苏•本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．ABCD AD BC AB DE AF DC∥，∥，∥，BC AEFDAD BCAB DC=ABCD()ABC AB AC>AEF△AEF△ABCDD'α∠A DCFEBACDB图①ACDB图②FE5．(苏州•本题6分) 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分 ∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．6．(苏州•本题8分) 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ．(1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数． 8．（苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 ▲ 度；(2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．33E D C F B A 图③ E D C A B F GA D E CB F G图④ 图⑤9． (苏州•本题6分) 如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝CD ，延长线段CB 到E ，使BE ＝AD ，连接AE 、AC ．(1)求证：△ABE ≌CDA ；(2)若∠DAC ＝40°，求∠EAC 的度数．10．(苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC )为30°，BC ⊥AC ．现计划在 斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条 新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1. 732)．(1)若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF ）不大于45°，则平台DE 的长最多为 米； (2)—座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG ＝27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG 丄CG,问建筑物GH 高为多少米？11．（7分）（•苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)求证：△APB ≌△APD ；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．13．（6分）（•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． (1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．14．（8分）（•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求、的长度之和（结果保留）． 15．（苏州•8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．16. （苏州•本题8分）如图，，，点在边上，，和相交于点．（1）求证：≌；DE DFπ∠A =∠B AE =BE D C A 12∠=∠AE D B O C ∆AE D ∆BE （第14题）FEDCBA（2）若，求的度数．模拟训练： 1．(常熟市•本题满分8分) 如图，在Rt 中，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，过点作，交于点. (1)求证:四边形是菱形;(2)若，求菱形的周长。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。