2020年湖北省武汉市中考数学试卷及答案

2020年湖北省武汉市中考数学试卷及答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•武汉）实数﹣2的相反数是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．−12 2．（3分）（2020•武汉）式子√x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥0
B ．x ≤2
C ．x ≥﹣2
D ．x ≥2
3．（3分）（2020•武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A ．两个小球的标号之和等于1
B ．两个小球的标号之和等于6
C ．两个小球的标号之和大于1
D ．两个小球的标号之和大于6
4．（3分）（2020•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．（3分）（2020•武汉）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）（2020•武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．16
D ．18
7．（3分）（2020•武汉）若点A （a ﹣1，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =k x
（k ＜0）的图象上，且y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜﹣1
B ．﹣1＜a ＜1
C ．a ＞1
D ．a ＜﹣1或a ＞1 8．（3分）（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（ ）
A ．32
B ．34
C ．36
D ．38
9．（3分）（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC
̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）
A ．52√3
B ．3√3
C ．3√2
D ．4√2
10．（3分）（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．
把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）
A．160B．128C．80D．48
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2020•武汉）计算√(−3)2的结果是．
12．（3分）（2020•武汉）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是．
13．（3分）（2020•武汉）计算2
m+n −
m−3n
m−n
的结果是．
14．（3分）（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是．
15．（3分）（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B （﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，
则p的值只有两个．
其中正确的结论是（填写序号）．
16．（3分）（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2020•武汉）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．
18．（8分）（2020•武汉）如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．
19．（8分）（2020•武汉）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
20．（8分）（2020•武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB 上画点E ，使∠BCE ＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．
21．（8分）（2020•武汉）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，AE 与过点D 的切线互相垂直，垂足为E ．
（1）求证：AD 平分∠BAE ；
（2）若CD ＝DE ，求sin ∠BAC 的值．
22．（10分）（2020•武汉）某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系y ＝ax 2+bx ．当x ＝10时，y ＝400；当x ＝20时，y ＝1000．B 城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a ，b 的值；
（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？
（3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）．
23．（10分）（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；
尝试应用 如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD =√3，求DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB
＝4，AC＝2√3，直接写出AD的长．
24．（12分）（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段
EF的中点；直线y=−4
k x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直
线MN经过一个定点．
2020年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•武汉）实数﹣2的相反数是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．−12
【解答】解：实数﹣2的相反数是2，
故选：A ．
2．（3分）（2020•武汉）式子√x −2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥0
B ．x ≤2
C ．x ≥﹣2
D ．x ≥2
【解答】解：由题意得：x ﹣2≥0，
解得：x ≥2，
故选：D ．
3．（3分）（2020•武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A ．两个小球的标号之和等于1
B ．两个小球的标号之和等于6
C ．两个小球的标号之和大于1
D ．两个小球的标号之和大于6
【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；
故选：B ．
4．（3分）（2020•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、不是轴对称图形，不合题意；
B 、不是轴对称图形，不合题意；
C 、是轴对称图形，符合题意；
D 、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C ．
5．（3分）（2020•武汉）如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从左边看上下各一个小正方形．
故选：A ．
6．（3分）（2020•武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．16
D ．18 【解答】解：根据题意画图如下：
共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是212=16；
故选：C．
7．（3分）（2020•武汉）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=k
x（k＜0）的
图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）
A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1【解答】解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
8．（3分）（2020•武汉）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）
A．32B．34C．36D．38
【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），
第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），
a＝24+45÷3.75＝36．
故选：C．
9．（3分）（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC
̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是（ ）
A ．52√3
B ．3√3
C ．3√2
D ．4√2 【解答】解：连接OD ，交AC 于F ，
∵D 是AC ̂的中点，
∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，
∴∠DFE ＝90°，
∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，
∴OF =12BC ，
∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，
在△EFD 和△ECB 中
{∠DFE =∠ACB =90°
∠DEF =∠BEC DE =BE
∴△EFD ≌△ECB （AAS ），
∴DF ＝BC ，
∴OF =12DF ，
∵OD ＝3，
∴OF ＝1，
∴BC ＝2，
在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2﹣BC 2，
∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2，
故选：D ．
10．（3分）（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．
把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）
A ．160
B ．128
C ．80
D ．48
【解答】解：观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，
由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，
则n 的值是40×4＝160．
故选：A ．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2020•武汉）计算√(−3)2的结果是 3 ．
【解答】解：√(−3)2=√9=3．
故答案为：3．
12．（3分）（2020•武汉）热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h ），分别为：4，3，3，5，5，6．这组数据的中位数是 4.5 ．
【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6，
所以这组数据的中位数为
4+52=4.5，
故答案为：4.5．
13．（3分）（2020•武汉）计算2
m+n −
m−3n
m2−n2
的结果是
1
m−n
．
【解答】解：原式=
2(m−n)
(m+n)(m−n)
−m−3n
(m+n)(m−n)
=2m−2n−m+3n (m+n)(m−n)
=m+n
(m+n)(m−n)
=1
m−n．
故答案为：1
m−n
．
14．（3分）（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
15．（3分）（2020•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B （﹣4，0）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是①③（填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线x=2+(−4)
2
=−1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D
（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；
当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；
故答案为：①③．
16．（3分）（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为
折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是1
4
t2−
1
4
t+1．
【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x =t 24+1，
∴DE =t 24
+1， ∵折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在AB 边的点M 处，
∴EF ⊥DM ，
∠ADM +∠DEF ＝90°，
∵EG ⊥AD ，
∴∠DEF +∠FEG ＝90°，
∴∠ADM ＝∠FEG ，
∴tan ∠ADM =
AM AD =t 2=FG 1
， ∴FG =t 2，
∵CG ＝DE =t 24
+1， ∴CF =t 24−t 2+1， ∴S 四边形CDEF =12（CF +DE ）×1=14t 2−14t +1．
故答案为：14t 2−14t +1． 三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（2020•武汉）计算：[a 3•a 5+（3a 4）2]÷a 2．
【解答】解：原式＝（a 8+9a 8）÷a 2
＝10a 8÷a 2
＝10a 6．
18．（8分）（2020•武汉）如图直线EF 分别与直线AB ，CD 交于点E ，F ．EM 平分∠BEF ，FN 平分∠CFE ，且EM ∥FN ．求证：AB ∥CD ．
【解答】证明：∵EM ∥FN ，
∴∠FEM＝∠EFN，
又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠FEB＝∠EFC，
∴AB∥CD．
19．（8分）（2020•武汉）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了60名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是6°；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×1
60
=6°，
故答案为：60，6°；
（2）A类别人数为60﹣（36+9+1）＝14（名），补全条形图如下：
（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×36
60
=1200（名）．
20．（8分）（2020•武汉）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；
（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．
【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；
（2）如图所示：∠BCE即为所求；
（3）连接（5，0），（0，5），可得与AC的交点F，点F即为所求，如图所示：
21．（8分）（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC 于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE 为切线，
∴OD ⊥DE ，
∵DE ⊥AE ，
∴OD ∥AE ，
∴∠1＝∠ODA ，
∵OA ＝OD ，
∴∠2＝∠ODA ，
∴∠1＝∠2，
∴AD 平分∠BAE ；
（2）解：连接BD ，如图，
∵AB 为直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵∠2+∠ABD ＝90°，∠3+∠ABD ＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin ∠1=DE AD ，sin ∠3=DC BC ，
而DE ＝DC ，
∴AD ＝BC ，
设CD ＝x ，BC ＝AD ＝y ，
∵∠DCB ＝∠BCA ，∠3＝∠2，
∴△CDB ∽△CBA ，
∴CD ：CB ＝CB ：CA ，即x ：y ＝y ：（x +y ），
整理得x 2+xy +y 2＝0，解得x =
−1+√52y 或x =−1−√52y （舍去）， ∴sin ∠3=DC BC =√5−12，
即sin ∠BAC 的值为√5−12
．
22．（10分）（2020•武汉）某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的总成本y （万元）与产品数量x （件）之间具有函数关系y ＝ax 2+bx ．当x ＝10时，y ＝400；当x ＝20时，y ＝1000．B 城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a ，b 的值；
（2）当A ，B 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A ，B 两城各生产多少件？
（3）从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为m 万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A ，B 两城总运费的和的最小值（用含有m 的式子表示）．
【解答】解：（1）由题意得：{100a +10b =400400a +20b =1000
， 解得：{a =1b =30
． ∴a ＝1，b ＝30；
（2）由（1）得：y ＝x 2+30x ，
设A ，B 两城生产这批产品的总成本为w ，
则w ＝x 2+30x +70（100﹣x ）
＝x 2﹣40x +7000，
＝（x ﹣20）2+6600，
由二次函数的性质可知，当x ＝20时，w 取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A 城生产20件，B 城生产80件；
（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，
则从A 城运往D 地的产品数量为（20﹣n ）件，从B 城运往C 地的产品数量为（90﹣n ）件，从B 城运往D 地的产品数量为（10﹣20+n ）件，
由题意得：{20−n ≥010−20+n ≥0
，
解得10≤n ≤20，
∴P ＝mn +3（20﹣n ）+（90﹣n ）+2（10﹣20+n ），
整理得：P ＝（m ﹣2）n +130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m ≤2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而减小，
则n ＝20时，P 取最小值，最小值为20（m ﹣2）+130＝20m +90；
②当m ＞2，10≤n ≤20时，P 随n 的增大而增大，
则n ＝10时，P 取最小值，最小值为10（m ﹣2）+130＝10m +110．
答：0＜m ≤2时，A ，B 两城总运费的和为（20m +90）万元；当m ＞2时，A ，B 两城总运费的和为（10m +110）万元．
23．（10分）（2020•武汉）问题背景 如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；
尝试应用 如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD =√3，求DF CF 的值；
拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC ∽△ADE ，
∴AB AD =AC AE ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，AB AC =AD AE ，
∴△ABD ∽△ACE ；
尝试应用
解：如图1，连接EC ，
∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，
∴△ABC ∽△ADE ，
由（1）知△ABD ∽△ACE ，
∴AE EC =AD BD =√3，∠ACE ＝∠ABD ＝∠ADE ，
在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，
∴
AD AE =√3， ∴AD EC =AD AE ×AE CE =√3×√3=3．
∵∠ADF ＝∠ECF ，∠AFD ＝∠EFC ，
∴△ADF ∽△ECF ，
∴DF CF =AD CE =3．
拓展创新
解：如图2，过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，
∵∠BAD ＝30°，
∴∠DAM ＝60°，
∴∠AMD ＝30°，
∴∠AMD ＝∠DBC ，
又∵∠ADM ＝∠BDC ＝90°，
∴△BDC ∽△MDA ，
∴BD MD =DC DA ，
又∠BDC ＝∠ADM ，
∴∠BDC +∠CDM ＝∠ADM +∠ADC ，
即∠BDM ＝∠CDA ，
∴△BDM ∽△CDA ，
∴BM CA =DM AD =√3，
∵AC ＝2√3，
∴BM ＝2√3×√3=6，
∴AM =√BM 2−AB 2=√62−42=2√5，
∴AD =12AM =√5．
24．（12分）（2020•武汉）将抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1，再将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．
（1）直接写出抛物线C 1，C 2的解析式；
（2）如图（1），点A 在抛物线C 1（对称轴l 右侧）上，点B 在对称轴l 上，△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；
（3）如图（2），直线y ＝kx （k ≠0，k 为常数）与抛物线C 2交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线y =−4k
x 与抛物线C 2交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．
【解答】解：（1）∵抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1， ∴C 1：y ＝（x ﹣2）2﹣6，
∵将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．
∴C 2：y ＝（x ﹣2+2）2﹣6，即y ＝x 2﹣6；
（2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，如图1， 设A （a ，（a ﹣2）2﹣6），则BD ＝a ﹣2，AC ＝|（a ﹣2）2﹣6|， ∵∠BAO ＝∠ACO ＝90°，
∴∠BAD +∠OAC ＝∠OAC +∠AOC ＝90°，
∴∠BAD ＝∠AOC ，
∵AB ＝OA ，∠ADB ＝∠OCA ，
∴△ABD ≌△OAC （AAS ），
∴BD ＝AC ，
∴a ﹣2＝|（a ﹣2）2﹣6|，
解得，a ＝4，或a ＝﹣1（舍），或a ＝0（舍），或a ＝5， ∴A （4，﹣2）或（5，3）；
（3）把y ＝kx 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2﹣kx ﹣6＝0，
∴x E +x F ＝k ，
∴M （k 2
，k 22）， 把y =−4k x 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2+4k x ﹣6＝0，
∴x G +x H =−4k ，
∴N （−2k ，8k 2），
设MN 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 {k 2m +n =k 22−2k m +n =8k 2，解得，{m =k 2−4k n =2， ∴直线MN 的解析式为：y =k 2−4k x +2， 当x ＝0时，y ＝2，
∴直线MN ：y =k 2
−4k x +2经过定点（0，2）， 即直线MN 经过一个定点．。