高等数学第一章函数

余集 ，或称为补集 ，记作
。
第一节 函数及其性质
集合的并、交、差运算满足下面的基本法则． 设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立： （1）交换律 A∪B=B∪A， A∩B=B∩A （2）结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C=A∩（B∩C） （3）分配律 （A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）
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图1-1-1
第一节 函数及其性质
邻域也是一个经常遇到的概念.设a与δ 是两个 实数，且δ ＞0，数集
{x||x-a|＜δ } 称为点a的δ 邻域，记作U（a，δ ），即
U（a，δ ）={x||x-a|＜δ }。
第一节 函数及其性质
邻域用数轴表示如图1-1-2所示。
图1-1-2
第一节 函数及其性质
由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集
（简称 交 ），记作A∩B， 即 A∩B={x|x∈A 且x∈B}
由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的 差
集 （简称 差 ），记作A\B，即 A\B={x|x∈A 且x ∉B}
特别地，若集合B包含于集合A(即BA)，则称A\B为B关于A的
（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C） （A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C） （4）幂等律 A∪A=A， A∩A=A
（5）吸收律 A∪⌀=A， A∩⌀=⌀
A∪B=B， A∩B=A，其中A⊂B A∪（A∩B）=A， A∩（A∪B）=A （6）对偶律 （A∪B）C=AC∩BC （A∩B）C=AC∪BC
例2 在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的距 离为s，如果取开始下落的时刻t=0，那么s和t之间的关系由公式
（g为重力加速度） 表示，若物体到达地面的时刻t=T，则在时间区间［0，T］上 任取一个数值时，由上面的公式都可以确定出s的对应值。
第一节 函数及其性质
设A，B是两个集合，如果集合A中的元素都是集合B中 的元素，则称集合A是集合B的 子集 ，记作
A ⊂B（读作A包含于B） 或 B‫ﬤ‬A（读作B包含A） 如果集合B与集合A互为子集，即A⊂B且B⊂A，则称集 合B与集合A 相等 ，记作
A=B
特别地，不包含任何元素的集合称为空集 记作⌀．并
第一节 函数及其性质
如果一个集合只含有有限个元素，那么称这 个集合为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 例如，全体英文字母组成的一个集合是有限集，全 体整数组成的集合是无限集。
第一节 函数及其性质
习惯上，全体实数组成的集合记作 R，即R ={x|x 为 实数}；全体有理数组成的集合记作Q，即Q ={x|x 为有理 数}；全体整数组成的集合记作 Z，即Z ={x|x 为整数}；全 体自然数组成的集合记作 N，即N ={x|x 为自然数}。
二、 函数的基本概念
在对自然现象与社会现象的观察与研究过程中，人们会碰 到许多用来表示不同事物的量，通常可将它们分为两类：一类是 在某个问题的研究过程中保持不变的量，称之为常量；一类是在 某个问题的研究过程中会出现变化，即可以取不同的值的量，称 之为变量。
第一节 函数及其性质
例1 正方体的体积V与其边长x之间的关系为V=x3，这里V 和x都是变量，当边长x变化时，其体积V也随之作相应的变化。
第一节 函数及其性质
在许多问题中还经常用到乘积集合的概念．设A，B是任意两个 非空集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元 素y，把有序对（x，y）作为新的元素，它们的全体组成的集合称为 集合A与集合B的直积，记作A×B，即
A×B={（x，y）|x∈A，y∈B} 例如，设A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d}，则
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高等数学
第一章 函 数
A×B={（x，y）|a<x<b，c<y<d} 它表示xOy平面上以（a，c），（b，c），（b，d），（a，d）
R × R ={（x，y） |x∈ R ，y∈ R }就表示整个坐标平面，记作 R 2。
第一节 函数及其性质
2. 区间及点的邻域
区间就是实数轴上的一些实数的集合，它是用得较多的一类数集。 设a、b都是实数，且a＜b，则
（1）开区间：（a，b）={x|a＜x＜b}，这里a、b∉（a，b），a和
b分别称为区间（a，b）的左、右端点。 （2）闭区间：［a，b］={x|a≤x≤b}，这里a、b∈［a，b］。 （3）半开区间：（a，b］={x|a＜x≤b};［a，b)={x|a≤x＜b}。
第一节 函数及其性质
区间用数轴表示如图1-1-1所示。
函数及其性质 反函数与复合函数
初等函数
第一节 函数及其性质
一、 集合、区间及点的邻域
1. 集合
集合概念是数学中的一个最基本的概念，一般可以把集合 （简称集）理解为具有某种特定性质的事物的总体。例如，某学 校全体师生组成的一个集合；某学校某个班级的全体同学组成的 一个集合；全体实数组成的一个集合；全体正整数组成的一个集 合等。集合中的每个事物称为集合的元素（简称元）。
规定空集是任何集合的子集。
第一节 函数及其性质
注意
以后用到的集合主要指数集，即元素都是数的合。如 果没有特别声明，以后提到的数都是指实数。
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第一节 函数及其性质
设A，B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集
合，称为A与B的 并集 （简称 并 ），记作A∪B，即
A∪B={x|x∈A 或x∈B}