第一章随机事件及其概率

§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 随机事件（简称事件）
随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题
用大写 A,字 B,C母 , 表.示 随机事件
事件 必然事件 (记作U) 不可能事件(记作V )
在例2中: 特别地，
A { 正 ,反 反 } 正 1 ,
B { 正 ,正 正 ,反 反 } 1 正 .
U ,V .
基本事件就是样本空间的仅由单个样本点构成的
子集.
在例2中:
A { 1 } 2.
§1.2 样本空间 小结
1. 主要概念：样本点，样本空间. 2. 用样本空间的子集表示随机事件：该子集中任意一个样本点发生时事件就发生.
根据定义有：
0fn(A )1, fn(V)0, fn(U)1.
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 频率的稳定性 人类长期的经验表明,在大量重复试验中,随机事件的频率具有稳定性(即统计规律性).
例：英文文档中字母的使用频率
字母 频率
空格 0.2
E 0.105
T 0.072
O 0.0654
A 0.063
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
[例1] 试验 E1：抛,观 硬察 币.结果
或
A: 出现正面;
（事件的两种表达方式）
A{出现正}面 .
[例2] 试验E2：掷骰子，观察.点数 A:出现 5点; B:出现 的点数3能 整被 除 ; C: 出现的点数不超6过 ( 必然事件).
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
A发生.
A { 1 } 2.
§1.2 样本空间
B : ②
至少正面朝上一次
对1, B { 正 ,正 正 ,反 反 } 正 1 .
对2,
B {1 , 2 } 2 .
§1.2 样本空间
随机事件可以用样本空间的子集来描述，该子集
中任意一个样本点发生时事件就发生，即
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
[例3] 试E 验 3:产品抽 (一样 批产 10 品 件 0共 ，其 正品 95件，次 5件品 ，任 10件 取，观察 ).次
A : 全是正品; B : 至少有一件是次品; C : 至多有一件是次品.
[例4] 试E 4 验 :一箱 ,任 灯 取 ,泡 观 一 察 .只 寿
A: 寿命不5超 00小 过 0 时 ;
B: 寿命6在 00小 0 时以 . 上
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 3.频率▪频率的稳定性▪概率的统计定义
随机事件的频率(简称频率)
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生 m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
记作 :fn(A),于是
fn
(
A)
m. n
(4) 路边打出租车,车牌号的奇偶性.
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 统计规律性
人类的大量实践表明,在相同条件下,对随机现象进行大量的重复观测,其结果总能呈现出某种规律性.
例：抛一枚硬币,观察正面朝上情况.[历史上,一些著名统计学家曾经亲手做过一些掷硬币试验.]
试验者
De Morgan Buffon Fisher Pearson Pearson
件(或逆事件).
B
B
A
记作： BA或 AB.
§1.3 事件的关系及运算
完备事件组
如果n个事件 A1, A2,, An中至少有一个事件一定发
n
生,即 Ai ,则称这n个事件构成完备事件组. i1 设n个事件 A1, A2,, An满足下面的关系式：
A iA j ( 1 i j n ) , n Ai , i1
⑥ A, B,C至多有一个发生；
A B C A B C A B C A B C
⑦ A, B,C不都发生.
ABC 或 ABC
§1.3 事件的关系及运算 2.事件的运算律
（1） 交换律： （2） 结合律：
AB BA
AB BA
( A B ) C A ( B C )
( A B )C A (B C )
则称这n个事件构成互不相容完备事件组.
§1.3 事件的关系及运算 事件的差（运算）
“事件 A发生但事件B不发生”称为 A与B的差.
记作 A： B.
B
A
AB
[常用公式]
A B A B A A B .
§1.3 事件的关系及运算 事件运算与集合运算的对应
AB A 事件 包含于事件
B
AB A 事件 等于事件
§1.3 事件的关系及运算 互不相容（关系）
如果事件 A与B 不可能同时发生,即 AB ,则称二
事件 A与B是互不相容的(或互斥的).
A B 两个互不相容事件 与 的并，记作： .
AB
n 如果 个事件
A,A, ,A 中任意两个事件不可能同时发生,即
12
n
A iA j ( 1 i j n ),
② 观察正面朝上的次数
:i
正面朝上 次
i
(i0,1,2),
2 { 0 , 1 , 2}.
以上皆为有限样本空间
§1.2 样本空间 （3）测量某一零件的长度，考察其测量结果与真正长度的误差
[M,M],
可列的无限样本空间 （4）考察灯泡的寿命
M 为最大正误差
x : 灯泡的寿 x(0命 x为 ),
B
B A
§1.3 事件的关系及运算
相等（关系）
如果事件 A包含事件B且事件B包含事件 A,即 A B 且 B A ;
也就是说,二事件 A与B中任一事件的发生必然导致另 一事件的发生,则称事件 A与B相等.
记作 A： B.
§1.3 事件的关系及运算
事件的并（和）（运算）
“事件 A与B中至少有一事件发生”这一事件叫做事
用表示.
样本空间
试验的所有样本点
, , , , 构成的集合称为样本空间，
12
n
用字母 表示.
{1 ,2 , ,n , }.
§1.2 样本空间
[例1]
（1）抛硬币一次
: 正面朝上, 1
: 反面朝上， 2
（2）抛硬币两次
{1,2}.
① 观察正、反面朝上的情况
1 { 正 ,正 正 ,反 反 ,反 正 }. 反
抛硬币次数n
2048 4040 10000 12000 24000
正面朝上次数m
1061 2048 4979 6019 12012
m/n
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 2.随机试验与随机事件
随机试验（简称试验） 具有以下三个特点的试验,称为随机试验： (1) 可以在相同的条件下重复进行； (2) 结果不止一个,但事先知道全部可能的结果； (3) 每次试验前不知道发生什么结果.
AB A 事件 与事件 的并
AB A 事件 与事件 的交
B B B
AB 事件 B A 与 互不相容
A
A 事件 的对立事件
A B 集合 是集合 的子集 A B 集合 与集合 相等 A B 集合 与集合 的并集 A B 集合 与集合 的交集 A B 集合 与 不相交 A 集合 的余集
§1.3 事件的关系及运算
{ x0x} .
不可列的无限样本空间
（样本空间由试验内容决定，而不由试验形式决定）
§1.2 样本空间 2. 随机事件与样本空间的关系
[例2]
上面的例1(2)：一枚硬币抛两次
①
A :恰好正面朝上一次
对1, 当出现“正反”或“反正”时，
A发生.
A ｛,反 正 } 正 反 1 .
对2,
当出现 时， 1
随机事件={导致该事件发生的所有样本点的集合}.
第一章 随机事件及其概率
§1.3 事件的关系及运算
§1.3 事件的关系及运算 1.事件的关系与运算
包含（关系）
如果事件 A的发生必然导致事件 B的发生,则称事
件B包含事件 A或称事件 A包含于事件B.
记作： BA或 AB .
A 此时， 的样本点都是 的样本点.
件 A与B的并. 记作A ： B.
AB是由至少属于
A与B
中一个的样本点组成的集合
AB B A
“ n 个事件 A1, A2,, An中至少有一事件发生”这一
事件叫做事件 A1, A2,, An的并.
记作：
A 1 A 2 A n . (简记为：
n
) Ai
i1
§1.3 事件的关系及运算 事件的交（积）（运算）
第一章随机事件及其概率
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你是坚持1号门还是改选2号门？
分析一：改或不改都一样，每种选择的成功率都为50%； 分析二：改变选择后成功率要高。
概率论产生于17世纪，本来是由保险事业发展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学家们思考概率 论问题的源泉. 早在1654年，有一个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使他苦恼了很久的问题： “两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m) 局的时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、
(2) 水加热后温度必定升高.
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 随机现象（偶然现象）
在完全相同的条件下,进行一系列观察或试验,结果未必相同.
例如： (1) 抛一枚硬币,落下时可能正面朝上也可能反面朝上；
(2) 一次射击击中靶的次数； (3) 同一仪器测量同一物体重量,由于受各种偶然因素的影响,不同的人测得不同结果；
N 0.059
I 0.055
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 概率的统计定义
随机事件发生的可能性可以用一个数来表示, 这
个刻画随机事件
A在试验中发生的可能性大小的、介
于0与1之间的数叫做随机事件 的概率,
A
根据定义有： 0P(A )1,
P(V)0, P(U)1.
记作: P(A).
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 小结
[例1] 设有A , B , C三个事件，用 A , B , C的运算表
示以下事件：
① A, B,C至少有一个发生；
ABC
② A, B,C都发生；
ABC
③ A, B,C都不发生；
ABC
§1.3 事件的关系及运算
④ 仅 A发生；
A BC
⑤ A, B,C仅有一个发生；
A B C A B C A B C
医学等学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广泛。
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义 1.随机现象与统计规律性
确定性现象（必然现象） 在一定条件下,必然会出现的某种确定的结果. 例如：
(1) 向上抛一枚硬币,硬币上升到一定高度后必然会下落；
1. 主要概念：随机现象，随机试验，随机事件，随机事件的频率.
2. 及其概率
§1.2 样本空间
§1.2 样本空间 1. 样本点与样本空间的概念
样本点 随机试验的每一个直接可能出现的，而且是试验中最简单的不能再分的结果，叫做试验的样本点，
n 则称这 个事件是互不相容的(或互斥的).
此时， A1, 的A并2,记 作 , An
n
A 1A 2 A n或
Ai.
i1
§1.3 事件的关系及运算
对立（关系）
A B 如果事件 与 互不相容且它们中必有一事件发生，即二事件 与 中有且仅有一事件发生,即
AB
AB 且 AB,
A B A 则称事件 与 是对立的(或互逆的),称事件 是事件 的对立事件(或逆事件);同样,事件 也是事件 的对立事
§1.3 事件的关系及运算
（3） 分配律：
A (B C )A B AC A ( B C ) ( A B )A (C )
（4） 德摩根(De morgan)定律：
ABAB, ABAB
“二事件 A与B都发生”这一事件叫做事件 A与B的交.
记作 AB ： 或 A.B
A B 是由同时属于
A与B
的样本点组成的集合
B
A
AB
“ n 个事件 A1, A2,, An中都发生”这一事件叫做事
件 A1, A2,, An的交.
记作： A 1A 2 A n (简记为：
或 A1A2 An.
n
) Ai i1