幂级数展开

w ( z ) 各项的模 | wk ( z) | mk , （ mk
k 0 k

是与 z 无关的正常数)，而正的常数项级数
m
k 0
k 0

k
收敛，则 wk ( z ) 在区域B (或曲线 l )上绝对 且一致收敛。
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§3.2 幂级数
（一）定义 最简单的解析函数项级数是幂级数，其各项均 为幂函数
记级数和为w (z)。 在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项 wk(z) 都是B内的连续函数，则级数的和w (z)也是B内 的连续函数。 逐项求积分 —在曲线 l 上一致收敛的级数，如果 级数的每一项 wk(z)都是l上的连续函数，则级数的 和w (z)也是l上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项 求积分。
可由 wk ( z ) 逐项求导数得到，即：
k 0
(n) w( n ) ( z ) wk ( z) k 0

且最后的级数 wk( n) ( z ) 在 B 内的任意一个闭区域
k 0

中一致收敛。
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（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass） 判别法（p34）
如果对于某个区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 复 变项级数
k 0 k 1 2 k

的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个
确定值，复变项级数变成一个复数项级数。 复变函数项级数有一个定义域 B 。 收敛-复变函数项级数在其定义域 B 中每一点都收 敛，则称在 B 中收敛。
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柯西收敛判据 (复变项级数收敛的充分必要条件)： 对B内每点 z，任给小正数 ε>0，必有 N(ε,z) 存在，
w( z)dz w ( z) dz w ( z)dz
l l k 0 k k 0 l k


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逐项求导数—设级数 w ( z ) 在 B 中一致收敛，
k 0 k

wk(z) (k=0,1,2 ,… )在 B 中单值解析，则级数的和
w (z)也是 B 中的单值解析函数, w (z) 的各阶导数
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（二）收敛性问题
1、收敛定义：
前n+1项和
S n wk , 当n → ∞，有确定的极限，便称
k 0 n
级数收敛， S lim S n S称为级数和；若极限不存在，
n
则称级数发散。 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，
k 2 | a || ( z z ) | | a | | a || ( z z ) | | a || ( z z ) | , k 0 0 1 0 2 0 k 0
(3.2.2)
| ak 1 || z z0 |k 1 ak 1 | z z0 | lim lim | z z0 | , k k | a || z z | k a R k 0 k
n p
k n 1
w
k
,
4
式中 p 为任意正整数。
3、绝对收敛级数
若
2 2 收敛，则 | w | u v k k k k 0 k 1
w 绝对收敛.
k 0 k

绝对收敛级数改变各项先后次序，和不变. 两个绝对收敛级数逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛 的，级数的和为两级数和之积.
使得当 n>N(ε,z) 时，
n p
k n 1
w ( z) ,
k
式中 p 为任意正整数。N一般随 z不同而不同。 但如果对任给小正数 ε>0，存在与 z无关的 N(ε) , 使得 n>N(ε)时，上式成立，便说 wk ( z ) 在B内
k 1
一致收敛。
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（四）一致收敛级数的性质
3、幂级数在收敛圆内部绝对且一致收敛
作
CR1 ( R1 R) ，在 | z z0 | R1
k 2 a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z ) , k 0 0 1 0 2 0 k 0
(3.2.1)
其中 z0, a0 , a1 , a2 , … 为复常数。这样的级数叫 作以 z0为中心的幂级数。
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（二）幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）
p
k 0

k
A,

q
k 0

k
B,

p q p q c
k 0 k k 0 k k 0 l 0 k l n 0



n
AB
cn pk qn k
k 0
5
n
(三) 复变函数项级数
w ( z) w ( z) w ( z) w ( z)
，绝对收敛 ，发散 R：收敛半径 CR: 收敛圆
R
收敛
z z0 R
CR
z0
发散
2、根式判别法：
| z z0 | | z z0 | lim | ak || z z0 | k 1 R lim k k | a | k
k k
R lim k
k
1 |ak |
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引入记号 R lim ak
k
ak 1
(3.2.3)
若 | z z0 | 1 | z z0 | R (3.2.4) R 则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛 若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
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故当 当
z z0 R
w
k 0

k
w1 w2 wk
wk uk ivk
k 0 k 0
原级数成为
w u
k 0 k k 0
k 0 k


k
ivk uk i vk

ห้องสมุดไป่ตู้
这样复级数 w 归结为两个实级数 u k 与 vk ， k 0 k 0 实级数的一些性质可移用于复级数。
第三章 幂级数展开(4)
函数有精确表示和近似表示：
精确表示（解析表示）
表示为初等函数通过四则运算；
近似表示（逼近）：将简单/复杂的问题，
用通用的方法来表示。简化计算，节省时 间。
级数表示 –研究如何用幂级数不断的逼近 原函数。 1
§3.1 复数项级数
（一）复数项级数的概念
级数是无穷项的和, 复无穷级数