机械强度的可靠性设计

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实际上强度条件式中的各个量都不是确 定量，而是服从于一定规律的随机变量。作 用于机械零件上的载荷的变化，实际上是一 个随机的过程，受许多因素的影响，具有离 散型，不能预言其准确值，但却呈现一定的 规律。因此，从概率论与数理统计的观点来 研究强度问题，便成为发展强度理论及方法 的一个重要途径。
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所以乘积F(s)g(s)ds即为对于确定的s 时，零件中的工作应力刚刚大于强度值得概 率。我们把应力s值在它一切可能值的范围内 进行积分，即得零件的破坏概率p(c<s)的近 似值为：
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应用此法必须先根据实验及相应的理论 分析，找出f(c)及g(s)，才能进行计算。有时 所得公式难于积分，就采用近似的数值计算 方法来求p(c<s)的近似值。
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ຫໍສະໝຸດ Baidu引言
机械零件的习用强度计算法，是按工作 状态最大荷载进行静强度计算，按非工作状 态最大载荷及特殊载荷（安装载荷、运输载 荷及冲击载荷等）进行静强度验算；对于受 变载荷作用的零件，当应力变换循环次数足 够多时，按工作状态正常载荷（等效载荷进 行疲劳强度计算，一般采用许用应力法，
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以均值计算的安全系数 是大于1 的，但就总体来说，计算安全系数大于1的概 率是小于1的。反过来说， <1的概率也不等 于零，即 或
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对于机械零件的疲劳强度，零件的承载能力将 随时间而衰减，强度-应力关系如图c所示。在t=0 时，f(c)与g(s)曲线不重叠或重叠区不大，随着应 力循环次数的增加，零件的承载能力下降，曲线重 叠区逐渐增大，强度破坏概率增大，最终导致疲劳 破坏。目前常用的安全系数，实质上就是以均值计 算的安全系数 ，因此设计时原认为安全的零 件，实际上不一定安全，其安全程度将随f(c)与g(s) 而变。
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为了确定零件的实际安全程度，应先根 据实验及相应的理论分析，找出f(c)与g(s)， 然后应用概率论及数理统计理论来计算零件 破坏的概率，从而可以求得零件不破坏的概 率，即零件的可靠度。
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三、零件强度破坏概率的计算 对于图b所示的强度-应力关系，当f(c)与 g(s)已知时(关于f(c)与g(s)的确定方法将在3-3 及3-4分别加以讨论)，可以用下列两种方法来 计算零件破坏的概率：
其强度条件为：
或
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这种计算方法的基本出发点是认为材料的极 限应力 （对静强度计算：塑性材料为屈服极 限 ；脆性材料为强度极限 ，对疲劳强度计算 则为材料的疲劳极限 ），作用于零件上的载荷 以及零件的截面尺寸都是确定量，认为保证强度 的准则是，使零件危险截面上的最大计算应力 小于或等于材料的许用应力 ，也即使零件的计 算安全系数 大于或等于预定的设计安全系数n。
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（二） 强度差概率密度函数积分法 令强度差 Z＇=c — s (3-5) 由于c和s均为随机变量，所以强度差Z＇ 也为一随机变量。零件破坏的概率很显然等 于随机变量Z＇小于零的概率，即p(Z＇<0)。
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从已求得的f(c)及g(s)可找到Z＇的概率密 度函数p（ Z ＇ ）,从而可按下式求得零件的 破坏概率为：
则式（3-9）变为：
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为了便于实际使用，将式（3-12）的积 分值制成数表（正态分布数值表），在计算 式可直接查用。
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四、零件强度可靠度的计算
在求得了零件强度破坏的概率后，零件 的强度可靠性以可靠度R来衡量，在正态分布 条件下，R按下式计算：
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z

c

s
KN =（42-35）
2 / cm =7 KN / cm
2
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查附表3，对应于 即
=1.77的表值为0.0384，
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即该螺栓的破坏概率为3.84%， 可靠度为96.16% 。
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本章应用机械强度计算的统计方法，讨 论机械零件强度的可靠性设计理论及方法， 以便较精确更接近实际地解决有关机械的强 度计算问题。
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强度概率计算法的基本理论
一、基本出发点 强度概率计算法的基本出发点是，认为 零件材料的强度c是服从于概率密度函数f(c) 的随机变量，而作用于零件危险截面上的工 作应力s，使服从于概率密度函数g(s)的随机 变量。
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（一） 概率密度函数联合积分法 零件破坏的概率为：p(c<s)，即当零件的 强度c小于零件工作应力s 时，零件发生强度 破坏。图3-2列出了强度破坏计算原理图。从 距原点为s的a-a线看起。曲线f(c)以下，a-a 线以左（即变量c小于s时）的面积 ，表示 零件的强度值小于s的概率，他按下式计算：
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曲线g(s)下，位于s到s+ds之间的面积， 他代表了工作应力s处于s～s+ds之间的概 率，他的大小为g(s)ds。 零件的强度和工作应力两个随机变量， 一般是看做相互独立的随机变量。根据概率 乘法定理： 两独立事件同时发生的概率是两孤立事 件单独发生的的概率的乘积，即 P(AB)=P(A)P(B)
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二、强度—应力关系 对于按强度条件（3-1）或（3-2）设计 出的属于安全的零件或结构，具有如图所示 的几种强度-应力关系。图a所示为两概率密 度曲线不重叠，及最大可能的工作应力多要 小于最小可能的极限应力。因此工作应力大 于零件强度是不可能事件。即工作应力大于 零件强度的概率为零。
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根据概率论的研究，当c和s均为正态分 布的随机变量时，其差Z ＇ =c - s也为一正态 分布的随机变量，其数学期望 及均方差 分别为：
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Z＇的概率密度函数p（Z＇）为：
将式（3-8）带入式（3-6），即可求 得零件的破坏概率为：
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为了计算方便，现作变量代换，令 :
例
某螺栓中所受的应力为一正态分布的随机变 2 量，其数学期望 s =35kN/c m ,均方差 s =2.8 2 kN/c m 。螺栓材料的疲劳极限亦为一正态分布 2 的随机变量，其数学期望 c = 42 kN/c m ，均方 2 差 c=2.8kN/c m。求该零件的破坏概率及强度可 靠度。 解：应用强度差概率密度函数积分法，得：
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如用安全系数的概念来表达，则计算安 全系数小于1的概率等于零，即
具有这样强度-应力关系的机械零件是 安全的，不会发生强度破坏。
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图b所示为两概率密度曲线有相互重叠的 部分。在此情况下，虽然工作应力的均值仍 远小于极限应力（强度）的平均值。但不能 绝对保证工作应力在任何情况下都不大于极 限应力。即工作应力大于零件强度的概率大 于零，