大学物理第十章

练习十八 阻尼 受迫 共振 波动方程
一.选择题
1.有一悬挂的弹簧振子，振子是一个条形磁铁，当振子上下振动时，条形磁铁穿过一个闭合圆线圈A(如图
18.1所示), 则此振子作
(A) 等幅振动. (B) 阻尼振动. (C) 强迫振动.
(D) 增幅振动.
2.频率为100Hz,传播速度为300m/s 的平面简谐波,波线上两点振动的相位差为π/3,则此两点相距
(A) 2m . (A) 2.19m . (B) 0.5 m .
(D) 28.6 m .
3.一圆频率为ω 的简谐波沿x 轴的正方向传播, t =0时刻的波形如图18.2所示. 则t =0时刻, x 轴上各质点的振动速度v 与坐标x 的关系图应为图18.3中哪一图？
4. 一平面简谐波沿x 轴负方向传播，已知x=x 0处质点的振动方程为y=A cos(ω t+ϕ0). 若波速为u ，则此波的波动方程为
(A) y=A cos{ω [t －(x 0－x )/u ]+ ϕ0} . (B) y=A cos{ω [t －(x －x 0)/u ]+ ϕ0} . (C) y=A cos{ω t －[(x 0－x )/u ]+ ϕ0} .
(D) y=A cos{ω t +[(x 0－x )/u ]+ ϕ0} .
5. 如图18.4所示为一平面简谐波在t = 0时刻的波形图，该波的波速u =200m/s ，则P 处质点的振动曲线为图18.5中哪一图所画出的曲线？
＜ ＜ k 图18.1
v (m/s)
O
1 x (m)
ωA
(A)
·
(D)
(C)
图18.3
二.填空题
1.一列余弦横波以速度u 沿x 轴正方向传播, t 时刻波形曲线如图18.6所示,试分别指出图中A 、B 、C 各质点在该时刻的运动方向:A ；B ; C .
2.已知一平面简谐波沿x 轴正向传播,振动周期T =0.5s, 波长λ=10m,振幅A =0.1 m . 当t =0时波源振动的
位移恰好为正的最大值. 若波源处为原点, 则沿波传播方向距离波源为λ/2处的振动方程为
y = ; 当t=T /2时, x=λ/4处质点的振动速度为 .
3.一简谐波的频率为5×104Hz, 波速为1.5×103m/s,在传播路径上相距5×10－3m 的两点之间的振动相位差为 .
三.计算题
1.图18.7所示一平面简谐波在t =0时刻的波形图,求 (1) 该波的波动方程 ;
(2) P 处质点的振动方程 .
2.某质点作简谐振动,周期为2s, 振幅为0.06m, 开始计时(t =0)时, 质点恰好处在负向最大位移处, 求
(1) 该质点的振动方程;
(2) 此振动以速度u =2m/s 沿x 轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动方程 ; (3) 该波的波长.
练习十九 波的能量 波的干涉
一.选择题
1．一平面简谐波，波速u =5m · s －1
. t = 3 s 时波形曲线如图19.1. 则x =0处的振动方程为
(A) y =2×10－2
cos(πt /2－π/2) ( S I ) . (B) y =2×10－2cos(πt ＋π ) ( S I ) .
(D)
(C)
(A)
(B)
图18.5
图18.6
－图18.7
u
x (m)
y (10－2
m)
· · · · · ·
· 0 5
10
15 20 25 －2
图19.1
图19.3
(C) y =2×10－2cos(πt /2+π/2) ( S I ) . (D) y =2×10
－ 2
cos(πt －3π/2) ( S I ) .
2.一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图19.2所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是：
(A) o ′, b , d, f . (B) a , c , e , g . (C) o ′, d . (D) b , f .
3.一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是
(A) 动能为零, 势能最大. (B) 动能为零, 势能为零. (C) 动能最大, 势能最大. (D) 动能最大, 势能为零.
4.如图19.3所示为一平面简谐机械波在t 时刻的波形曲线. 若此时A 点处媒质质元的振动动能在增大,则
(A) A 点处质元的弹性势能在减小. (B) 波沿x 轴负方向传播.
(C) B 点处质元的振动动能在减小. (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化.
5. 如图19.4所示，两相干波源s 1和s 2相距λ/4(λ为波长), s 1的位相比s 2的位相超前π/2 ,在s 1、s 2的连线上, s 1外侧各点(例如P 点)两波引起的两谐振动的位相差是:
(A) 0 . (B) π . (C) π /2 . (D) 3π/2 . 二.填空题
1.一列平面简谐波沿x 轴正方向无衰减地传播, 波的振幅为2×10-3
m, 周期为0.01s, 波速为400 m/s, 当t =0时x 轴原点处的质元正通过平衡位置向y 轴正方向运动,则该简谐波的表达式为 .
2.一个点波源位于O 点, 以O 为圆心作两个同心球面,它们的半径分别为R 1和R 2. 在两个球面上分别取相等的面积∆S 1和∆S 2 ,则通过它们的平均能流之比21 P P = .
3.如图19.5所示,在平面波传播方向上有一障碍物AB,根据
y
x 波速u
时刻t 的波形 · · ·
· · · ·
·
o
o ′ a b
c d
e
f g 图19.2
P
1 2
图19.4
A B
图19.5
惠更斯原理,定性地绘出波绕过障碍物传播的情况. 三.计算题
1.如图19.6所示,三个同频率,振动方向相同(垂直纸面)的简谐波,在传播过程中在O 点相遇,若三个简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3的振动方程分别为
y 1=A cos(ω t +π/2)
y 2=A cos ω t
y 3=2A cos(ωt －π/2)
且S 2O=4λ ,S 1O=S 3O=5λ(λ为波长)，求O 点的合成振动方程(设传播过程中各波振幅不变).
2.如图19.7,两列相干波在P 点相遇,一列波在B 点引起的振动是 y 10=3×10 –3cos2πt ( SI )
另一列波在C 点引起在振动是
y 20=3×10 –3
cos(2πt +π/2) ( SI )
BP =0.45m , CP =0.30m, 两波的传播速度 u=0.20m/s, 不考虑传播中振幅的减小,求P 点合振
动的振动方程.
练习二十 驻波 声波 多普勒效应
一.选择题
1.在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 (A) λ/4 .
(B) λ/2 . (C) 3λ/4 .
(D) λ .
2.某时刻驻波波形曲线如图20.1所示,则a 、b 两点的相位差是
(A) π. (B) π/2. (C) 5π /4. (D) 0.
3.沿相反方向传播的两列相干波，其波动方程为
y 1=A cos2π (νt －x /λ) y 2=A cos2π (νt + x /λ)
叠加后形成的驻波中,波节的位置坐标为
(A) x =±k λ . (B) x =±k λ/2 . (C) x =±(2k +1)λ/2 . (D) x =±(2k +1)λ/4 . 其中k = 0 , 1 , 2 , 3……
.
S
3 图19.6
图
19.7
图21.1
4.如果在长为L 、两端固定的弦线上形成驻波,则此驻波的基频波的波长为 (A) L /2 . (A) L . (B) 3L /2 . (D) 2L .
5.一机车汽笛频率为750 Hz , 机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者听到声音的频率是(设空气中声速为340m/s) ：
(A) 810 Hz . (A) 699 Hz . (B) 805 Hz . (D) 695 Hz . 二.填空题
1.设平面简谐波沿x 轴传播时在x = 0 处发生反射,反射波的表达式为
y 2=A cos[2π (νt －x /λ) +π /2] .
已知反射点为一自由端,则由入射波和反射波形成驻波波节的位置坐标为 .
2.设沿弦线传播的一入射波的表达式是
y 1=A cos[2π (νt －x /λ) +ϕ]
在x =L 处(B 点)发生反射,反射点为固定端(如图20.2), 设波在传播和反射过程中振幅不变,则弦线上形成的驻波表达式为 y = .
3.相对于空气为静止的声源振动频率为νs ,接收器R 以速率v R 远离声源,设声波在空气中传播速度为u , 那么接收器收到的声波频率νR = . 三.计算题
1.在绳上传播的入射波方程为 y 1=A cos (ω t +2π x /λ).入射波在x =0处的绳端反射, 反射端为自由端,设反射波不衰减,求驻波方程.
2.设入射波的方程式为 y 1=A cos2π (x /λ+t /T ) .在x =0处发生反射,反射点为一固定端,设反射时无能量损失,求:(1)反射波的方程式; (2)合成的驻波方程式; (3)波腹和波节的位置 .
练习二十一 振动和波习题课
一.选择题
1.图21.1中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ,速度v,加速度a ,下面哪个说法是正确的？
(A) 曲线3, 1, 2分别表示x , v , a 曲线. (B) 曲线2, 1, 3分别表示x , v , a 曲线.
图20.2
(C) 曲线1, 3, 2分别表示x , v , a 曲线. (D) 曲线2, 3, 1分别表示x , v , a 曲线. (E) 曲线1, 2, 3分别表示x , v , a 曲线.
2.用余弦函数描述一简谐振子的振动,若其速度－时间(v －t )关系曲线如图21.2所示,则振动的初相位为
(A) π / 6 . (B) π / 3. (C) π / 2. (D) 2π / 3. (A) 5π / 6 .
3.一质点作简谐振动,周期为T , 质点由平衡位置向x 轴正方向运动时,由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为
(A) T / 4 . (B) T /12 . (C) T / 6 . (D) T / 8 .
4.一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 (A) 它的势能转换成动能. (B) 它的动能转换成势能.
(C) 它从相邻的一段媒质质元获得能量,其能量逐渐增加. (D) 它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元,其能量逐渐减小.
5.在弦上有一简谐波,其表达式是
y 1=2.0×10-2cos[2π ( t / 0.02－x / 20) +π / 3] ( SI )
为了在此弦线上形成驻波, 并且在x =0处为一波节,此弦线上还应有一简谐波, 其表达式为:
(A) y 2=2.0×10-2cos[2π ( t / 0.02 + x / 20) +π / 3] ( SI ) (B) y 2=2.0×10-2cos[2π ( t / 0.02+x / 20) +2π / 3] ( SI ) (C) y 2=2.0×10-2
cos[2π ( t / 0.02+x / 20) +4π / 3] ( SI ) (D) y 2=2.0×10-2cos[2π ( t / 0.02+x / 20)－π / 3] ( SI )
二.填空题
1.在静止的升降机中,长度为l 在单摆的振动周期为T 0 ,当升降机以加速度a =g /2竖直下降时,摆的振动周期T = .
2. .如图21.3所示,一平面简谐波沿
O x 轴负方向传播,波长为
λ, 若P 处质点的振动方程是
图21.3
y P =A cos(2πνt +π /2) .
则该波的波动方程是 .P 处质点 时刻的振动状态与O 处质点t 1 时刻的振动状态相同.
3一平面简谐波沿O x 轴传播,波动方程为
y =A cos[2π (νt －x /λ) +ϕ]
则: x 1=L 处介质质点振动初相位是 ;与x 1处质点振动状态相同的其它质点的位置是 ;与x 1处质点速度大小相同,但方向相反的其它各介质质点的位置是 . 三.证明题
1. 如图21.4所示,在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上,放一小物体,使其静止于轨道的最低处,然后轻碰一下此物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动,试证:
(1) 此物体作简谐振动.
(2) 此简谐振动的周期 T =2πg R . 四.计算题
1.在实验室中做驻波实验时,使一根长3m 张紧的弦线的一端沿垂直长度方向以60H Z 的频率作简谐振动,弦线的质量为60×10－3kg , 如果在这根弦线上产生有四个波腹很强的驻波,必须对这根弦线施加多大的张力？
练习十八 阻尼 受迫 共振 波动方程
一.选择题B C D C A
二.填空题
1. 向下,向上; 向上.
2. 0.1cos(4πt -π) (SI); -1.26m/s.
3. π/3.
三.计算题
1.(1)原点处质点在t =0时刻
y 0=A cos ϕ0=0 v 0=-A ωsin ϕ0＞0
所以 ϕ0=-π/2. 而 T=λ/v=0.40/0.08=5(s) 故该波的波动方程为
y=0.04cos[2π( t/5-x/0.4)-π/2] (SI)
(2) P 处质点的振动方程
y P =0.04cos[2π( t/5-0.2/0.4)-π/
2]
图21.4
= 0.04cos(0.4π t -3π/2) (SI)
2.(1)取该质点为坐标原点O. t =0时刻
y 0=A cos ϕ0=-A v 0=-A ωsin ϕ0=0
得ϕ0=π. 所以振动方程为
y O =0.06cos(2π t/2+π)=0.06cos(π t +π) (SI)
(2) 波动方程为
y =0.06cos[π(t -x/u )+π]
=0.06cos[π(t -x/2)+π] (SI)
(3) λ=uT =4(m)
练习十九 波的能量 波的干涉
一.选择题A B C B B
二.填空题
1. y =2×10-3cos(200πt -πx/2-π/2).
2. R 22/R 12.
3.
三.计算题
1. y 1=A cos[ω(t -l 1/u )+π/2]
= A cos[2π(t/T -l 1/λ)+π/2]
= A cos[2π(t/T -5λ/λ)+π/2] = A cos(ω t +π/2)
同理 y 2=A cos ω t
y 3=2A cos(ωt －π/2) 利用旋转矢量图和矢量加法的多边形法(如图),则可知合振动振幅及初
位相为A ，-π/4.故合振动方程为
y =2A cos(ωt －π/4)
2. 两列相干波在P 点引起的振动分别是 y 1=3×10-3cos[2π(t -l 1/u )]
=3×10-3cos(2πt -9π/2) =3×10-3cos(2πt -π/2)
y 2=3×10-3
cos[2π(t -l 2/u ) +π/2]
=3×10-3cos(2πt -3π+π/2)= 3×10-3cos(2πt -π/2)
所以合振动方程为
y = y 1+ y 2= 6×10-3cos(2πt -π/2) (SI)
练习二十 驻波 多普勒效应
A 1
A 2
A 3 A
y O -π/4 ⎭
一.选择题B C D D B
二.填空题
1. x=(k+1/2)(λ/2), k=0,1,2,3,….
2.2A cos(2πx/λ±π/2-2πL/λ)·
cos(2πνt±π/2+ϕ-2πL/λ) .
3. νs(u-v R)/u.
三.计算题
1. 入射波在x =0处引起的振动为
y10=A cos (ω t+2π 0/λ)= A cosω t
因反射端为自由端，所以反射波波源的振动
y20= A cosω t
反射波方程为y2=A cos (ω t-2πx/λ)
驻波方程为y= y1+ y2
= A cos (ω t+2πx/λ)+ A cos (ω t-2πx/λ)
=2A cos 2πx/λcosω t
2.(1) 入射波在x =0处引起的振动为
y10=A cos2π(0/λ+ t/T)= A cos2πt/T
因反射端为固定端，所以反射波波源的振动为y20= A cos(2πt/T-π) 反射波方程为y2=A cos[2π(t/T- x/λ)-π]
= A cos[2π(x/λ- t/T)+π]
(2)合成的驻波方程式
y=y1+y2
=A cos[2π(x/λ+t/T)]+A cos[2π(x/λ-t/T)+π]
=2A cos(2πx/λ+π/2)cos(2πt/T-π/2)
(3)对于波腹,有2πx/λ+π/2=nπ
故波腹位置为x= (n-1/2)λ/2 (n=1,2,3,…)
对于波节,有2πx/λ+π/2=nπ+π/2
故波节位置为x= n λ/2 (n=1,2,3,…)
练习二十一振动和波习题课
一.选择题 E A B C C
二.填空题
1. 2T0.
2. -2πL/λ+ϕ·; L±kλ(k=1,2,3,…);
L±(k+1/2)λ(k=1,2,3,…).
3. y=A cos{2π[νt+( x+L) /λ]+π/2}
t1+L/(λν)+ k/ν(k=0,±1,±2,±3,…)
{或t1+L/(λν)}
三.计算题
1.设绳张力为T ，线密度为μ，则波速为
u=()m Tl l m T T ==μ=λν
T=λ2ν2m/l
因弦线上产生有四个波腹很强的驻波，所以
l=4·λ/2=2λ λ=l/2 T=λ2ν2m/l=l ν2
m/4=162N
四.证明题
1.(1) 设小球向右摆动为角坐标θ正向.摆动过程中小球受重力和弧形轨道的支持力. 重力的切向分力使小球获得切向加速度.当小球向右摆动θ角时, 重力的切向分力与θ相反,有
-mg sin θ=ma t =mR d 2θ/d t 2
当作小幅度运动时,sin θ ≈θ, 有
d 2θ/d t 2
+(g/R ) θ=0
故小球作间谐振动 θ=θA cos(R g t +ϕ) (2)周期为 T=2π/ω=2π /R g =2πg R
Ⅳ 课堂例题
一.选择题
1. 一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1．若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为2m 的物体，则系统振动周期T 2等于
(A) 2 T 1 (B) T 1
(C) T 12/ (D) T 1 /2 (E) T 1 /4
2. 一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ．
(C) 2.20 s ． (D) 2.00 s ．
3. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为：
(A)
)3
232cos(2π+π=t x ．
(B) )3
232cos(2π-π=t x ．
(C) )3
234c o s (2π+π=t x ．
(D)
)3
23
4c o s (2π-π=t x ．
--
(E) )4
13
4cos(2π-π=t x
4.一平面简谐波的表达式为 )3cos(1.0π+π-π=x t y (SI) ，t = 0时的波形曲线如图所示，则
(A) O 点的振幅为-0.1 m ． (B) 波长为3 m ． (C) a 、b 两点间相位差为2π ． (D) 波速为9 m/s ．
5. 两相干波源S 1和S 2相距λ /4，（λ 为波长），S 1的相位比S 2的相位超前2π，在S 1，S 2
的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：
(A) 0． (B) 2π． (C) π． (D) 23π．
6. 在波长为λ 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 (A) λ /4． (B) λ /2． (C) 3λ /4． (D) λ ． 二.填空题
1.质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T. 当它作振幅为A 自由简谐振动时，其振动能量E = ____________．
2.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为φ –φ1 = π/6．若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅为___________________ cm ，第一、二两个简谐振动的相位差φ1 - φ2为____________．
3.一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：
)3
14
c o s (05.01π+π=t x (SI) ， )3
24c o s (03.02π-
π=t x (SI)
合成振动的振幅为__________________m ．
4.一平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速u = 100 m/s ，t = 0时刻的波形曲线如图所示．可知波长λ = ____________； 振幅A = __________； 频率ν = ____________．
5.设沿弦线传播的一入射波的表达式为
S 1
S 2
P
λ/4
)
-y (m )
]2c o s [1λ
ωx
t A y π
-=，
在处（B 点）发生反射，反射点为自由端（如图）.设波在传播和反射过程中振幅不变，则弦上形成的驻波的表达式是
y = ______________________________．
6.一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率分别为____________和__________（设空气中声速为340 m/s ）．
三.计算题
1.图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求 (1) 坐标原点处介质质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式．
2.图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式； (2) P 处质点的振动方程．
3.一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π= 求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程； (2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式．
(m ) -
4.如图，一角频率为ω，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动．M是垂直于x轴的波密媒质
反射面．已知OO＇= 7 λ /4，PO＇= λ /4（λ为该波波长）；设反射波不衰减，求：
(1) 入射波与反射波的表达式;；
(2)P点的振动方程．
附Ⅴ振动和波习题课课堂例题解答
一.选择题 DBCCCB 二.填空题
1、 222/2T mA π
2、 10 、π-
2
1
3、 0.02
4、 0.8 m 0.2 m 125 Hz
5、 )2cos()22cos(2λ
ωλ
λL
t L
x
A π
-π
-π
6、 637.5 Hz 、 566.7 Hz
三.计算题
1、解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时 刻，O 处质点φcos 0A =， φωs i n 00A -=<v ，故2πφ-= 又t = 2 s ，O 处质点位移为 )24c o s (2/
ππ-=νA A
所以244πππ-=-ν， ν = 1/16 Hz 振动方程为)28/cos(0ππ-=t A y (SI) (2) 波速u = 20 /2 m/s = 10 m/s
波长λ = u /ν = 160 m 波动表达式
]21
)16016
(2
c o s [π-+
π=x
t A y (SI)
2、解：(1) O 处质点，t = 0 时
0cos 0==φA y ， 0sin 0>-=φωA v
所以 2π-=φ 又==u T /λ 5 s 故波动表达式为
]2
)4
.05(
2cos[04.0π-
-
π=x t y (SI)
(2) P 处质点的振动方程为
]2
)4
.02.05(2
c o s [04.0π-
-π=t y P )234.0c o s (04.0π-
π=t (SI)
3、解：(1) x = λ /4处
)22cos(1ππ-=t A y ν , ))22cos(22ππ+=t A y ν ∵y 1，y 2反相
∴合振动振幅 A A A A s =-=2,
且合振动的初相φ 和y 2的初相一样为2π． 合振动方程 )22cos(ππ+=t A y ν
(2)x = λ /4处质点的速度
)
2cos(2)
2 2sin(2/d d v ππππππ+=+-==t A t A t y νννν
4、解：设O 处振动方程为)cos(0φω+=t A y
当t = 0时， y 0 = 0，v 0 < 0，∴ 2π=φ ∴ )2cos(0π+=t A y ω 故入射波表达式为
)22c o s (λωx t A y ππ-+=
在O ′处入射波引起的振动方程为 )c o s ()4
7
22
c o s (1πππ-=⋅-
+
=t A t A y ωλλω由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变π．
∴ )cos(1
π+π-='t A y ωt A ωcos = 反射波表达式
)](2cos[x O O t A y -'π
-='λ
ω)]4
7
(2cos[x t A -π-=λλω ]2
2cos[π+
π+
=x t A λω
合成波为 y y y '+=
]2
2cos[]2
2cos[π+
π
++π+π
-
=x t A x t A λ
ωλ
ω)2
cos(2cos
2π+
π
=t x A ωλ
将P 点坐标 λλλ2
34
14
7=
-=x 代入得P 点的振动方程)2cos(2π+-=t A y ω。