高中数学第一章计数原理.排列与组合..时组合的综合应用课件人教版
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归纳升华 (1) 解 答 有 限 制 条 件 的 组 合 问 题 ， 要 先 明 确 限 制 条 件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接 分步处理；当限制条件中有“至多”“至少”的要求时， 可分类求解或用间接法求解． (2)用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特 殊位置优先安排的原则．
18
解：(1)分三步．先选 1 本有 C16种选法，再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法，最后余下的 3 本全选有 C33种
选法． 由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C16·C25·C33＝
60(种)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，
5
解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
答案：B
6
2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
解析：因为先从 3 个信封中选一个放标号为 1，2 的
卡片，有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个标号的卡片中
选两个放入一个信封有 C24＝6(种)，余下的放入最后一个 信封，所以共有 3C24＝18(种)．
答案：18
10
类型 1 有限制条件的组合问题(自主研析)
[典例 1] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了 初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件 下，有多少种不同的选法？
12
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步：先从 甲、乙、丙中选 1 人，有 C13种选法，再从另外的 9 人中 选 4 人，有 C49种选法，故不同的选法共有 C13C49＝378(种)．
(5)法一(直接法) 可分为三类． 第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C13C49种选 法；
15
[变式训练] 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选 派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、 乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的 发言顺序的种数为( )
A．360 B．520 C．600 D．720 解析：根据题意，分 2 种情况讨论．若甲、乙只有一
人参加，发言顺序有 C12·C35·A44＝480(种)；若甲、乙两人 都参加，发言顺序有 C22·C25·A44＝240(种)，
3
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
4
[思考尝试·夯基] 1．在直角坐标系 xOy 平面上，平行直线 x＝m(m＝0， 1，2，3，4)，与平行直线 y＝n(n＝0，1，2，3)组成的图 形中，矩形共有( ) A．100 个 B．60 个 C．48 个 D．20 个
1.2 排列与组合 1.22 组合
第 2 课时 组合的综合应用
1
[学习目标] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单 实际问题(重点)． 2.能解决有限制条件的组合问题(重 点、难点)．
2
[知识提炼·梳理]
解组合应用题的总体思路 (1) 区 别 排 列 与 组 合 的 重 要 标 志 是 “ 有 序 ” 与 “ 无 序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题． (2)对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要 做到各类的并集等于全集，各类的交集等于空集．计算 结果时，使用分类计数原理．
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第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C23C39种选 法；
第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，共有 C33C29种选法． 故不同的选法共有 C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)． 法二(间接法) 12 人中任意选 5 人，共有 C512种选法， 甲、乙、丙三人都不参加，有 C59种选法， 所以不同的选法共有 C512－C59＝666(种)．
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)Leabharlann Baidu、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加；
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(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
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其中甲、乙相邻的发言顺序有
C
2 2
·
C
2 5
·
A
3 3
·
A
2 2
＝
120(种)．则不同的发言顺序的种数为 480＋240－120＝
600. 答案：C
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类型 2 组合中的分组、分配问题
[典例 2] 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，则 分别有多少种不同的分配方式？
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
7
π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两 个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成 ________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距 在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝ 5(条)． 答案：5
8
4．凸十边形的对角线的条数为________． 解析：从 10 个顶点中每次取出两个，得出所有线段 条数，再减去边数即为所求结果，所以对角线条数为 C210 －10＝35. 答案：35
9
5．将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．
归纳升华 (1) 解 答 有 限 制 条 件 的 组 合 问 题 ， 要 先 明 确 限 制 条 件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接 分步处理；当限制条件中有“至多”“至少”的要求时， 可分类求解或用间接法求解． (2)用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特 殊位置优先安排的原则．
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解：(1)分三步．先选 1 本有 C16种选法，再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法，最后余下的 3 本全选有 C33种
选法． 由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C16·C25·C33＝
60(种)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，
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解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
答案：B
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2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
解析：因为先从 3 个信封中选一个放标号为 1，2 的
卡片，有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个标号的卡片中
选两个放入一个信封有 C24＝6(种)，余下的放入最后一个 信封，所以共有 3C24＝18(种)．
答案：18
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类型 1 有限制条件的组合问题(自主研析)
[典例 1] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了 初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件 下，有多少种不同的选法？
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(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步：先从 甲、乙、丙中选 1 人，有 C13种选法，再从另外的 9 人中 选 4 人，有 C49种选法，故不同的选法共有 C13C49＝378(种)．
(5)法一(直接法) 可分为三类． 第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C13C49种选 法；
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[变式训练] 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选 派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、 乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的 发言顺序的种数为( )
A．360 B．520 C．600 D．720 解析：根据题意，分 2 种情况讨论．若甲、乙只有一
人参加，发言顺序有 C12·C35·A44＝480(种)；若甲、乙两人 都参加，发言顺序有 C22·C25·A44＝240(种)，
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(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
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[思考尝试·夯基] 1．在直角坐标系 xOy 平面上，平行直线 x＝m(m＝0， 1，2，3，4)，与平行直线 y＝n(n＝0，1，2，3)组成的图 形中，矩形共有( ) A．100 个 B．60 个 C．48 个 D．20 个
1.2 排列与组合 1.22 组合
第 2 课时 组合的综合应用
1
[学习目标] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单 实际问题(重点)． 2.能解决有限制条件的组合问题(重 点、难点)．
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[知识提炼·梳理]
解组合应用题的总体思路 (1) 区 别 排 列 与 组 合 的 重 要 标 志 是 “ 有 序 ” 与 “ 无 序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题． (2)对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要 做到各类的并集等于全集，各类的交集等于空集．计算 结果时，使用分类计数原理．
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第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C23C39种选 法；
第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，共有 C33C29种选法． 故不同的选法共有 C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)． 法二(间接法) 12 人中任意选 5 人，共有 C512种选法， 甲、乙、丙三人都不参加，有 C59种选法， 所以不同的选法共有 C512－C59＝666(种)．
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)Leabharlann Baidu、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加；
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(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
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其中甲、乙相邻的发言顺序有
C
2 2
·
C
2 5
·
A
3 3
·
A
2 2
＝
120(种)．则不同的发言顺序的种数为 480＋240－120＝
600. 答案：C
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类型 2 组合中的分组、分配问题
[典例 2] 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，则 分别有多少种不同的分配方式？
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
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π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两 个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成 ________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距 在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝ 5(条)． 答案：5
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4．凸十边形的对角线的条数为________． 解析：从 10 个顶点中每次取出两个，得出所有线段 条数，再减去边数即为所求结果，所以对角线条数为 C210 －10＝35. 答案：35
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5．将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．