一元二次方程的应用PPT课件
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北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
一元二次方程的应用课件
34
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
38
中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
38
中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
一元二次方程的应用,免费课件下载PPT
直接开平方法、配方法、公式 法、因式分解法． 2.解方程
(80－2x)(60－2x)＝1500
解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0． (2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式
练习：一块长方形铁板，长是宽 的2倍，如果在4个角上截去边 长为5cm的小正方形， 然后把 四边折起来，做成一个没有盖 的盒子，盒子的容积是3000 3 cm ，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就 缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问 该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
设………..x千米…………y小时。
①实际时间 +
②实际时间 +
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
实际时间=甲乙两地间的距离 / 速度
4、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千 米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问 甲地与桥相距多远？用了多长时间？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？ ①审题 ②找等量关系 ③列方程 ④解方程 ⑤答。
• 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的 薄钢片，在四个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为1500cm2的 没有盖的长方体盒子．求截去的小正方 形的边长．
(80－2x)(60－2x)＝1500 得x1＝55，x2＝15
(80－2x)(60－2x)＝1500
解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0． (2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式
练习：一块长方形铁板，长是宽 的2倍，如果在4个角上截去边 长为5cm的小正方形， 然后把 四边折起来，做成一个没有盖 的盒子，盒子的容积是3000 3 cm ，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就 缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问 该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
设………..x千米…………y小时。
①实际时间 +
②实际时间 +
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
实际时间=甲乙两地间的距离 / 速度
4、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千 米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问 甲地与桥相距多远？用了多长时间？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？ ①审题 ②找等量关系 ③列方程 ④解方程 ⑤答。
• 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的 薄钢片，在四个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为1500cm2的 没有盖的长方体盒子．求截去的小正方 形的边长．
(80－2x)(60－2x)＝1500 得x1＝55，x2＝15
24.4 一元二次方程的应用 - 第2课时课件(共14张PPT)
巩固练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 .
解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （不合题意，舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;
（2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
300(1＋x)2＝363
B
3.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
解：设甲商场的月平均上升率为x.则依题意得：解得 x1=0.1，x2=-2.1 (不合题意，舍去). ∴x=0.1=10%.设乙商场的月平均上升率为y.则依题意得：200（1+y）2=288解得:y1=0.2，y2=-2.2(不合题意，舍去).∴y=0.2=20%.∵0.1＜0.2，∴乙商场的月平均上升率较大.
18
3
3.6
21.6
15×（1+x）2=21.6
解方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：年增长率为20%.
例
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 .
解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （不合题意，舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;
（2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.
300(1＋x)2＝363
B
3.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
解：设甲商场的月平均上升率为x.则依题意得：解得 x1=0.1，x2=-2.1 (不合题意，舍去). ∴x=0.1=10%.设乙商场的月平均上升率为y.则依题意得：200（1+y）2=288解得:y1=0.2，y2=-2.2(不合题意，舍去).∴y=0.2=20%.∵0.1＜0.2，∴乙商场的月平均上升率较大.
18
3
3.6
21.6
15×（1+x）2=21.6
解方程，得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：年增长率为20%.
例
一元二次方程应用题分类讲练优质课件幻灯片课件
x 1 1 97 1 1 97 .
答
:
两条直角边
分别
2 为
1
97
2 cm和
1
97 cm.
常见的图形有下列几种：
练习：
3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最 大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
答 : 这个两位数为25,或36.
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数字与方程
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数, 两个两位数的积为736.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
练习:
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量
为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
答 : 这 次 到 会 的 人 数 为12人 .
开启 智慧
美满生活与方程
2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出 50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按 一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后 本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) .
【课件二】24.4一元二次方程的应用
2003年我国政府工作报告指出：为解决 农民负担过重问题，在近两年的税费改革中， 我国政府采取了一系列政策措施.2001年中 央财政用于支持这项改革试点的资金约为 180亿元，2003年达到304.2亿元.2001年到 2003年，中央财政每年投入支持这项改革资 金的平均增长率是多少？
2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担 过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了 一系列政策措施.2001年中央财政用于支持这项改革试 点的资金约为180亿元，2003年达到304.2亿元.2001年 到2003年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平 均增长率是多少？
Ｃ．1185x2 580
Ｄ． 1185 1 x2 580
某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工 作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该 工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2． 求：（1）该工程队第一天拆迁的面积； （2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积 比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
时间 利润基数／万元 去年 1000 今年 1000（1+x）
利润增长率 x x+0.1
利润／万元 1000（1+x） 1000(1+x)(1+x+0.1)
某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降
到580元．设平均每次降价的百分率x为，则下面
列出的方程中正确的是（ Ｂ ）
Ａ．5801 x2 1185 Ｂ． 11851 x2 580
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改 革试点的资金
（1）2002年比2001年增加了180x亿元，增加到180(1 +x)亿元. （2）2003年比2002年增加了180(1 +x)亿元， 增加到180(1 +x)2 亿元. （3）根据提议，列方程得 180(1 +x)2＝304.2 .
2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担 过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了 一系列政策措施.2001年中央财政用于支持这项改革试 点的资金约为180亿元，2003年达到304.2亿元.2001年 到2003年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平 均增长率是多少？
Ｃ．1185x2 580
Ｄ． 1185 1 x2 580
某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工 作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该 工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2． 求：（1）该工程队第一天拆迁的面积； （2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积 比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
时间 利润基数／万元 去年 1000 今年 1000（1+x）
利润增长率 x x+0.1
利润／万元 1000（1+x） 1000(1+x)(1+x+0.1)
某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降
到580元．设平均每次降价的百分率x为，则下面
列出的方程中正确的是（ Ｂ ）
Ａ．5801 x2 1185 Ｂ． 11851 x2 580
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改 革试点的资金
（1）2002年比2001年增加了180x亿元，增加到180(1 +x)亿元. （2）2003年比2002年增加了180(1 +x)亿元， 增加到180(1 +x)2 亿元. （3）根据提议，列方程得 180(1 +x)2＝304.2 .
一元二次方程在实际问题中的应用课件
由题可得 ( x + 0.6 + x ) ·( x – 0.4) ÷ 2 = 0.78，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
一元二次方程的应用课件
02
一元二次方程的应用场景
几何问题
直角三角形问题
在直角三角形中，常常需要利用一元 二次方程来求解某一边的长度。例如 ，已知直角三角形的两个直角边长度 ，求斜边的长度。
勾股定理问题
勾股定理是一元二次方程在几何中应 用的一个典型例子。已知直角三角形 的两条直角边，我们可以利用勾股定 理来求解斜边的长度。
检验解的有效性
解出方程后需要进行检验，确保解是 有效的，避免出现不符合原方程的解 。
解法的拓展与提高
拓展解法的应用范围
通过学习更多的一元二次方程的解法，可以拓展解法的应用范围 ，解决更多的问题。
提高计算能力
通过不断的练习和总结，可以提高计算能力，减少计算失误，提高 解题效率。
掌握多种解法
掌握多种一元二次方程的解法，可以更加灵活地解决问题，根据实 际情况选择最合适的解法。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
详细描述
一元二次方程的应用ppt 课件
• 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的应用场景 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程的实际应用案例 • 一元二次方程的解法总结与反思
01
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式包含了三个项：ax^2、bx 和 c，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。这个形式是所有一元二次方程的基础。
初中数学《一元二次方程的应用》公开课课件
根据本节课所学从情景剧 中自己提炼出一个数学问 题并加以解决。
10(1+x)2=40
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
当堂检测
今年，我市某中学响应习“足球进校园”的号召， 开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品 牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2022年 单价为200元，2024年单价为162元． 求2022年到2024年该品牌足球单价平均每年降低的 百分率
解：设这种环保汽车的数量平均每年 增长的百分率为x。 由题意得，325（1+x）2=637 解得：x1=0.4 =40％，
x2=-2.4(不合题意，舍去) 答：这种环保汽车的数量平均每年 增长的百分率为40％
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
尝试解决
0＜降低率＜ 1
3. 开发区某商厦某服装超市一款秋装搞促销，衣服的原价为 100元，连续两次降价后为81元，求这款衣服平均每次降低的百 分率.
解：设平均每次降低的百分率为x 由题意得
100（1-x）2 =81 解得：x1=0.1=10%
x2=1.9(不合题意，舍去) 答：平均每次降低的百分率为10%.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳总结
（1）增长问题 设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 a(1+x) 。
5月份每份小饼的售价为 5(1+20%) 6 元； 6月份每份小饼的售价为 7.2 元。
6(1+20%)=5(1+20%)(1+20%) =5(1+20%)2 2.今年4月份烧烤小饼5元一份，非常畅销，于是店家决定涨 价销售，若平均每月增长率为x，则: 5月份每份小饼的售价为 5(1+x) 元； 6月份每份小饼的售价为 5(1+x)2 元。（填含x的式子）
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2、教学目标
知识目标： 能用一元二次方程解决简单的几何 型应用问题。
能力目标： 进一步提高数学建模的能力，培养学 生动手操作、观察归纳能力，培养学 生问题意识能力。
情感目标： 帮助学生体验数学学习活动中的成功 与快乐，使他们认识到数学来源于生 活，在生活中学习数学，学好数学更 好地为生活服务。
3、重难点分析：
）
又AC=AC （
）
所以△ABC≌△CDA （
）
所以： AB=CD，AD=B 平（行四边形的）性质定理：平行四边形 的两组对边分别相等。
❖（1）定义、命题、公理、定理的概 念。
❖（2）命题的真假。
❖（3）命题的形式与命题的题设和结 论。
(4) 说明一个命题是假命题,只需举 一反例
❖
（假）
3、圆的切线垂直于圆的半径。 （假）
4、等腰三角形的底角必是锐角。 （真）
5、正数与负数的和仍是负数。
（假）
6、一个数的平方必是正数。
（假）
7、一个三角形的两个角、一边和另一三角形的两个
角、一边分别相等的三角形全等。
（假）
阅读理解
阅读教材P93第二段及以后的内 容并回答下列内容： ❖ 1、公理与定理有什么区别？ ❖ 2、公理与定理有什么相同的？ 有什么作用？ 3、你能说出一个学过的定理吗？
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
小考卷3
判断下列命题的真假：
细心！
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。
等
（假）
(4)3＜2
（真）
(5)三角形的内角和等于180（0不是命题）
(6)x＞2
1、错误的命题也是命 题如。：“3〈 2”是一个命题
2、命题必须是对某种事情作 出判断，如问句，几何的作 法等就不是命题。
小考卷1（每 题指分出下）列命题哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）同位角相等 （2）两直线平行，同旁内角互补 （3）在同圆或等圆中，圆心角的度数等于圆 周角的度数的一半。
解:设高为xcm,可列方程为 （40－2x)(25 -2x)=450
解得x1=5, x2=27.5
２、练习反馈，巩固新知
若已知纸片长与宽之比为5：2，在四个角剪 去边长为5厘米的正方形，折成的无盖纸盒的容 积为200平方厘米（纸盒的厚度略去不计）问这 张纸片的长与宽分别为多少？
３、合作交流，师生互动
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时, 则：令 (400-30t)2+(300-20t)2=2002
t1 8.35 t2 19.34
问：(1) 这方程解得的t1,t2的实际意义是什么？
(2) 从t1,t2的值中，还可得到什么结论？
(3) 如何才能避免轮船不进入台风影响区？
4．变式练习，体验成功
❖
知识拓展
定理有判定定理和性质定理。如： “两组对边分别相等的四边形是平 行四边形”是判定定理，而“平行 四边形的两组对边分别相等”是性 质定理。
如图：四边形ABCD是平行四边形，
试说明：AB=CD，AD=BC （提示：连结AC）
A 3
D
12
解：因为四边形ABCD是平行四边
4
形
BC
(
)
所以∠1=∠2，∠3=4 （
一元二次方程的应用2
1、教材的地位和作用
本节课为《一元二次方程的应用2》 ,是浙江版 八年级数学下册第二章 《一元二次方程》第三节内 容.是在学习了一元二次方程的概念解法之后安排的 本应用课，在此之前学生已经历了三次列方程解应 用题，它们在思想方法和解题步骤上有许多共同之 处，为学生学习本课提供了有益的经验，通过本课 的学习，让学生再次体验方程建模的实际应用价值.
以自主探索,合作交流为主,引导学生立 足于自身已有的生活经验，通过操作、观 察、分析、抽象等途径进行共同探讨，体 会数学建模的思想，形成“用数学”的良好 习惯．
实验操作，以趣导学 练习反馈, 巩固新知 合作交流，师生互动 变式练习，体验成功 归纳小结，布置作业
1、实验操作，以趣导学
包装盒是同学们非常熟悉的，手工课上， 老师给同学发下一张长４０厘米，宽２５厘米 的长方形硬纸片，要求做一个无盖纸盒，请问 你该如何做？(可以有余料) 生１：可分别剪出五个适当的长方形，
(4) 船是否受到台风 影响与什么有关?
(5) 在这现象中 存在 哪些变量?
３、合作交流，师生互动
(6)若设经过t小时后,轮船和台风中心 位置分别在B1和C1的位置那么如何表示 B1C1？ (7) 当船与台风影响 区接触时B1C1符合 什么条件？
（8）船会不会进入 台风影响区？如果你 认为会进入，那么从接 到警报开始，经过多少 间就进入影响区？
重点：继续探索一元二次方程的应用。 难点: “合作学习”的问题较为复杂，
计算量较大。
我采用引导点拨式，讨论式相结合的方法来完 成这节课的教学，努力为学生创设自主探索、合 作学习的氛围，老师只是课堂的组织者、引导者。 教学中让学生尝试提出问题，解决问题，注意问 题解决后的再思考，达到培养学生“问题意识” 的目的。
华师大版九年级上24.3《命题与定理》
定义、命题与定理
试一试
观察下列图形，找出其中的平行 四边形、梯形
（
（
1） 2）
（3） （4）
（
（
（7） （8）
6）
是平行四边形的有： （2）、（3）、（5）
是梯形的有： （1）、（6）
一地,能明确指出概念含义或特征的句子,称 为定义.
请给它们下定义
直角三角形: 有一个角为直角的三角形叫直 角三角形.
2、在一个三角形中，等角对等边。
解：1、如果两个角是 对顶角，那么，这两个
角相等。题设是：结论 是2、：如果在一个三角 形中有两个角相等，
那么这两个角
A
B
C
添加“如果”、“那么”后，命题的 意义 不能改变，改写的句子要完整，语句
要通顺，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可生搬硬套。
能求出AC吗？
A C
(3)显然当轮船接到台风警报时,
没有受到台风影响，为什么？
B
３、合作交流，师生互动
一轮船以30km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报, 台风中心正以20km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心 200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风 警报时,测得BC=500km,BA=300km.
（4）过圆心的线段是直径 （5）若a＜b，则a+c＜b+c 解：真命题有（2）、（5） 假命题有（1）、（3）、（4）
命题
如果……
那么……
题设
结论
提示：这可 是假命题哟
若（x-2）（x-1）=0 则：x=1
把下列命题改写成“如果,那么”的形 式,并分别指出命题的题设与结论.
1、对顶角相等。
12
解：(6)不能.(1)、（3）、（5）为正确， （2）、（4）是错误的。
正确的命题称为 真命题
错误的命题称为 假命题
这样可以 判断它是 正确的或 是错误的 句子叫做 命题.
看下面的句子，哪些是真命题，哪些是假命题？
(1)对顶角相等
（真）
(2)内错角相等
（假）
(3)如果两直线被第三直线所截,那么同位角相 （真）
一轮船以30km/h的速度由西向东航行在途中接到 台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动, 已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台 风影响区,当轮船接到台风警报时,测得 BC=500km,BA=300km.
(1)图中C表示什么?B表
示什么?圆又表示什么?
(2) ABC是什么三角形？
再粘贴而成， 生２：在纸片四个角各裁去边长相等的正方形
然后折叠而成．
1、实验操作，以趣导学
1、实验操作，以趣导学
问题： １、为什么同学做的纸盒大小不同？与什么 有关？
1、实验操作，以趣导学
2、若确定小正方形边长为５厘米，你还能 计算哪些量？
1、实验操作，以趣导学
X
3、若折成的无盖纸盒的底面积是450平方 厘米，那么纸盒的高是多少？
锐 角:
大于00且小于900 的角叫锐角.
圆周角:
顶点在圆上,两边与圆相交 的角叫圆周角.
你能举出一些老师在教学上重点提 示的一些不确切的定义吗?
注意！
定义的严密性
看下面的句子: (1)对顶角相等 (2)内错角相等 (3)如果两直线被第三直线所截,那么同位角相等 (4)3＜2 (5)三角形的内角和等于1800 (6)x＞2 能判断真假吗?哪能是正确的?哪些是错误的?
如果船速为10 km/h, 结果将怎样?
５． 归纳小结，布置作业
通计
2.3一元二次程的应用2
1.范例解答
2.合作学习问题解答
（上面是大投影幕）
学生板演区
本节课通过设置丰富的问题情境,激发学 生的学习兴趣. 让学生合作讨论,引导学生去 做去看,去想,把学生带入数学探索的过程中, 让学生去解决问题,再提出问题,再解决问题, 从而体现数学的实用价值,也培养学生的问 题意识.