第五章_第2节_微积分基本公式详解
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第二节微积分基本公式
dx ( a x b ) ( x ) f ( t ) dt f ( x ) 数 是 , a dx y x x 证 ( x x ) f ( t ) dt a
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
第五章定积分2
a x
x
果 限 如 上 x 在 间 a, b]上 意 动 则 于 区 [ 任 变 ， 对 每 个 定 x值 定 分 一 对 值 所 一 取 的 ， 积 有 个 应 ， 以 它 [a, b]上 义 一 函 ， 在 定 了 个 数
记 Φ( x) = ∫ f (t )dt . 积分上限函数 a
x
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Q F( x) − ∫a f (t )dt = C, ∴ ∫a f (t )dt = F( x) − F(a),
令 x=b ⇒
x x
a
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
b
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结束
铃
f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]b ∫a a
(a ≤ x ≤ b)
∆Φ = Φ( x + ∆x) − Φ( x)
=∫
x+∆x a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
a
x
Φ(x)
o a
x
x + ∆xb
x
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铃
= ∫a f (t )dt + ∫x
=∫
x+∆x x
x
x+∆x
f (t )dt − ∫a f (t )dt
y
Φ(x Φ(x))
设 5、 I1 =
π
∫−π cos mx ⋅ cos nxdx ,
π
∫−πsinmx ⋅ sinnxdx，
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1、 m （ ） 当 = n 时 I1 =__ ,I2 =_____ ， ， （ ） 当 ≠ n 时 I1 =___ ,I2 =_____ . 2、 m ， ___ 设 cos mx ⋅ sin nxdx, 6、 1、 m （ ） 当 = n 时 I3 =____ , ， （ ） 当 ≠ n 时 I3 =_____ . 2、 m ， 7、∫4 x(1 + x)dx = _____ . 3 dx = _____ . 8、∫ 1 2 3 1+ x
x
果 限 如 上 x 在 间 a, b]上 意 动 则 于 区 [ 任 变 ， 对 每 个 定 x值 定 分 一 对 值 所 一 取 的 ， 积 有 个 应 ， 以 它 [a, b]上 义 一 函 ， 在 定 了 个 数
记 Φ( x) = ∫ f (t )dt . 积分上限函数 a
x
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Q F( x) − ∫a f (t )dt = C, ∴ ∫a f (t )dt = F( x) − F(a),
令 x=b ⇒
x x
a
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
b
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铃
f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]b ∫a a
(a ≤ x ≤ b)
∆Φ = Φ( x + ∆x) − Φ( x)
=∫
x+∆x a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
a
x
Φ(x)
o a
x
x + ∆xb
x
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= ∫a f (t )dt + ∫x
=∫
x+∆x x
x
x+∆x
f (t )dt − ∫a f (t )dt
y
Φ(x Φ(x))
设 5、 I1 =
π
∫−π cos mx ⋅ cos nxdx ,
π
∫−πsinmx ⋅ sinnxdx，
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1、 m （ ） 当 = n 时 I1 =__ ,I2 =_____ ， ， （ ） 当 ≠ n 时 I1 =___ ,I2 =_____ . 2、 m ， ___ 设 cos mx ⋅ sin nxdx, 6、 1、 m （ ） 当 = n 时 I3 =____ , ， （ ） 当 ≠ n 时 I3 =_____ . 2、 m ， 7、∫4 x(1 + x)dx = _____ . 3 dx = _____ . 8、∫ 1 2 3 1+ x
第二节 微积分基本公式
x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
高等数学(上)第5章.第2节 牛顿-莱布尼兹公式
解
原式
d dx
x
x
cos tdt
a
x a
t
cos
t
dt
x
a cos t dt x cos x x cos x
x
a cos t dt
例 4 设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1,
证明:
2
x
x
0
f (t)dt 1在[0,1]上只有一个解.
(x) lim lim f () lim f () f (x)
x x0
x0
x
若 x a ，取 x 0 ，则同理可证 (a) f (a) ； 若 x b ，取 x 0 ，则同理可证 (b) f (b) ;
即
d (x) dx
定理5.4（原函数存在定理）
如果 f ( x) 在[a, b]上连续，则积分上限的函
有一质点在一直线上运动，在这直线上取定原点、正向及长度单位，
使它成一数轴.设时间 t 时物体在位置函数为 s(t) ,速度为 v(t) ，
在时间间隔[T1,T2 ] 上的位移为 s
T2 v(t)dt .
T1
另一方面，该位移又可以通过位移函数 s(t) 在区间[T1, T2] 上的增量 s(T2 ) s(T1) 来表达.
例1
已知
y
x2
sin tdt
，求
0
解
dy sin( x2 )( x2 ) 2 x sin ( x 2 ) dx
例2 已知 y cos x cos( t 2 )dt ， 求 dy
sin x
dx
解 dy cos( cos 2 x)(cos x) cos( sin 2 x)(sin x)
第五章微积分基本公式56089
0
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解
2
1
2
0 f ( x)dx 0 f ( x)dx 1 f ( x)dx
y
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5 ,
原式
1
2xdx
2
5dx 6
0
1
o 12x
例7 求 1 1dx.
2 x 解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．称之为微积分基本公式。
注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x) 连续 （2）F（x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
F ( x)ba
注 微积分基本公式表明：
(1) 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于
它在该区间上的任意一个原函数在区间[a, b] 上的
增量. （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题—— 不定积分与定积分两者之间的内在联系
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题.
f b(x)b(x) f a(x)a(x)
dx a( x)
三、Newton-Leibniz公式
（微积分基本公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
§5、2 微积分基本公式
0
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
第五章 积分 5-2 原函数与微积分基本定理
f (x) d x.
如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则不定积分 积分变量
积分号 f (x) d x F (x) C
积分常数
被积函数 被积表达式 f (x) 的一个原函数
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 5 求 x d x ( 1).
解 由 1 x 1 是 x 的一个原函数,
《高等数学》课件 (第五章第二节)
若 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数, 则对任意常数 C, F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.
若 G (x) 是 f (x) 在 I 上的另一原函数, 则在 I 上 (F (x) G (x))' 0,
从而 G (x) F (x) C (C 为常数), 即 f (x) 在 I 上的任何一个原函 数都可以表示成 F (x) C 的形式.
y =F (x) + C
x
《高等数学》课件 (第五章第二节)
性质 1 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数, 则
( f ( x) d x) f ( x)
或
d ( f (x) d x) f (x) d x.
性质 2 若 f (x) 的导函数在区间 I 上可积, 则
f ( x) d x f ( x) C
得到积分中值定理.
又当积分中值定理成立时, 存在 [a, b] 使得
b
F (b) F (a) a f ( x) d x
f ( ) (b a) F ( ) (b a).
得到微分中值定理.
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 cos x 是 sin x 的一个原函数, 所以
0 sin x d x cos cos 0 2.
如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则不定积分 积分变量
积分号 f (x) d x F (x) C
积分常数
被积函数 被积表达式 f (x) 的一个原函数
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 5 求 x d x ( 1).
解 由 1 x 1 是 x 的一个原函数,
《高等数学》课件 (第五章第二节)
若 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数, 则对任意常数 C, F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.
若 G (x) 是 f (x) 在 I 上的另一原函数, 则在 I 上 (F (x) G (x))' 0,
从而 G (x) F (x) C (C 为常数), 即 f (x) 在 I 上的任何一个原函 数都可以表示成 F (x) C 的形式.
y =F (x) + C
x
《高等数学》课件 (第五章第二节)
性质 1 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数, 则
( f ( x) d x) f ( x)
或
d ( f (x) d x) f (x) d x.
性质 2 若 f (x) 的导函数在区间 I 上可积, 则
f ( x) d x f ( x) C
得到积分中值定理.
又当积分中值定理成立时, 存在 [a, b] 使得
b
F (b) F (a) a f ( x) d x
f ( ) (b a) F ( ) (b a).
得到微分中值定理.
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 cos x 是 sin x 的一个原函数, 所以
0 sin x d x cos cos 0 2.
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
高等数学 第五章 第2节 换元积分法(中央财经大学)
f (u ) ∈ C ( I ), 又 u = ϕ ( x) 在区间 J 上可微 , 且 ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ (x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C. 该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
∫
f ( x) d x = F (ϕ −1 ( x)) + C ,
其中， −1 ( x) 是 ϕ (t ) 的反函数； 是积分常数。 ϕ C 该定理描述的是不定积分第二换元法。
例 解
计算
∫
dx x2 + a2
(a > 0).
此题可以用 第一换元法 计算。
现在采用第二换元法计算。
2
π π 令 x = a tan t，则 d x = a sec t d t， － < t < ，故 2 2
(u = cos x) ;
(8)
(u = sin x) ;
(9) (10)
(u = tan x) ; (u = tan x) ;
∫
例 解
计算
∫
sin 10 x cos 3 x d x.
令 u = sin x, 则 d u = cos x d x, 于是 sin 10 x cos3 x d x = ∫ u 10 (1 − u 2 ) d u = ∫ (u10 − u 12 ) d u 1 11 1 13 = u − u +C 11 13 1 11 1 = sin x − sin 13 x + C . 11 13
(u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ; (u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ;
第二节 微积分基本公式
上可导, 设 α ( x ) 在 [a, b] 上可导, 则
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
5.2 微积分基本公式
例5 求
∫1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
作业 习题二十九: 二（1, 4），四，六
数
两者有何 关系呢？
如何研究？？
x
∫a f ( x)dx
x
∫a f (t)dt
积分上限函数
一、积分上限函数及其导数
设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续，x 为区间 [ a , b ]
内的问任题意：一积点分，上则限f函(x数) 在Φ([xa)是, x否]可上导也？连若续能，，其
∫ ∫ 考察导积数分等于什么？x f ( x)d x =
2
32
2
= 2+π3 −π .
∫ 24 2 π 2 (2cos x + x2 − 1)dx 0
= [2sin x +
x3 3
−
π
x]02
= 2+π3 −π .
24 2
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
解：先去被积函数中的绝对值
|2−
x
|=
2− x−
F(b) − F(a)
二、牛顿 － 莱布尼兹公式
定理3 设函数 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上连续， F(x) 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数，则
b
∫a
f (x)d x
= F(b) − F(a)
记为
=
[F
(
x
)]
b a
（1）
公式（1）称为牛顿—莱布尼茨公式(微积分基本公式)
第二节 微积分基本公式
x x0
x
9
定理1指出: (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分和
积分联结为一个有机的整体 — 微积分, 所以它是微积分学基本定理. (2) 连续函数 f (x) 一定有原函数,
函数 ( x) x f (t)dt 就是f(x)的一个原函数. a
10
推论 设f ( x) C[a, b], 函数g( x)可导,x [a,b].
a
a
25
b a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注 当a b时,
b f ( x)dx F(b) F(a)仍成立. a
26
例 2 (2cos x sin x 1)dx 0
f
(t )dt
(x
x)
f
(x)
0
对吗?
dx 0
错!
42
分析 在 d x ( x t ) f (t )dt中, 其中的x对积分过程 dx 0
是常数, 而积分结果 x ( x t) f (t)dt 是x的函数. 0
注意 若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的 变量 x 及积分变量 t 的函数时, 应注意 x与t 的区别. 对 x求导时, 绝不能用积分上限(或下限)的变量x替 换积分变量.
f (t)dt
f (x)
18
证
d dx
x
tf (t)dt
0
xf ( x),
d dx
x 0
f (t)dt
f (x)
5.2微积分基本公式
x0
2x
1 2e
例2. 求
0
0
9x2 4 729x18 2x 4 x12
解: 原式 lim
x0
4x
lim 9x 4 729x18 2 4 x12
x0
4
1
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式 3. 利用定积分计算极限
思考题： 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a f (x)dx F(x) F(a)
得
记作
例3. 计算
解:
5.2微积分的基本公式
在 [a,b] 上 具 有
导数
，且
它的
导数是
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
(a x b)
y
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
y
x x
f (t)dt, x
由积分中值定理得 ( x)
f ( )x [x, x x], o a
x x x b x
f ( ),
x
lim lim f ( )
x0 x x0
x 0, x
( x) f ( x).
变上限定积分的导数等于被积函数，这表明变
上限定积分是被积函数的原函数，这揭示了微分 （或导数）与（变上限）定积分之间的内在联系， 因而定理1称为微积分基本定理。
y=f(x)
ΦΦ((xx))
Oa
x bx
如果上限 x在区间[a,b]上任意变动，则对于每
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
[a, b]上定义了一个函数。
积分上限函数的性质
定 理 如 果 f ( x) 在 [a,b] 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
(x)
x
a
f
(t )dt
0
1
arcsin x 2 2 0
3 6
例8 计算
2 0
f ( x)dx, 其中
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
b
1 b ∴ m≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使 即
1 b f (ξ ) = ∫a f ( x )dx , ba
f (ξ )(b a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释:
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
∵ f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ∫a f ( x )dx ≥ 0,
b
于是
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )xi λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi
b
∑ f ( ξ i ) x i ≥ 0, i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
i =1
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结束
例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
2
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xf ( x)
x f (t)dt f ( x)
x
tf (t)dt
F( x)
0
0
( x f (t )dt )2
0
x
f ( x) ( x t) f (t)dt
F( x)
0
( x f (t )dt )2
0
0
x
0 f
(
xt )dxt
0
( x 0)
x
( x t) f (t)dt 0 0
故 F ( x)在(0, )内为单调增加函数.
23
1 et2dt
例8
lim
x0
cos x
x2
分析 这是 0 型不定式, 应用洛必达法则 0
解 d 1 et2dt d cos x et2dt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x
lim
x0
1 cos x
e t 2 dt
lim
sin
x
e cos2
当0 x 1 时, x(2x 1) 0; 2
当 1 x 1时, x(2x 1) 0. 2
原式
1
1
1
2x(2x 1)dx
0
x(2x 1)dx
1
4
2
41
练习4
设
f
(x)
2x 5
0 x1 1 x2
2
, 求 0 f ( x)d. x
练习5：计算
1 cos 2x d x .
0
abg(x)dx
.
性质 2
abkf
(x)dx
k
b
a
f
(x)dx
.
性•性质质32
b
a
f
(x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
.
•性性质质43 ab1dx abdx ba .
•性质4 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
b
a
f
(x)dx
0
(ab).
•性质5
m(b
a)
b
a
f
(x)dx
M
(b
a)
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
x
sin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x2
2
2
2 sin
5
x2
4.
5
05
5
2
例5 求 2 max{ x, x2 }dx. 2
0
y y sin x
cos x [11] 2 o
x
0
练习1： 2 (2cos x sin x 1)dx 0
解
原式
2sin
x
cos
x
x
2
0
3
2
33
例3. 计算
34
35
练习2：
36
练习3：
37
38
例4 计算 sin3 x sin5 xdx. 0 3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
解: 由图形可知
y
y x2
f ( x) max{ x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
o 1 2x
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11 .
2
0
1
2
1
例6：
x(2x 1) dx
0
解 令x(2x 1) 0 x 0, x 1 . 2
x
1
x2
x0
2x
2e
24
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
25
牛顿 – 莱布尼茨公式
26
27
28
29
30
31
例1. 计算
解:
3 dx 1 1 x2
arctan x13
arctan
3 arctan(1)
( ) 7
3 4 12
例2. 计算正弦曲线
的面积 .
解:
A
sin x dx
复习 ❖1. 定积分的定义
b
n
a
f
( x) dx
lim
0
i 1
f
(i ) xi
❖2. 定积分的几何意义
一般地, f(x)在[a, b]上 的定积分表示介于x轴、曲 线yf(x)及直线xa、xb之 间的各部分面积的代数和.
3、定积分的性质
•性性质质11
ab[
f
(x)
Байду номын сангаас
g(x)]dx
b
a
f
(x)dx
(ab).
•性质6(定积分中值定理)
b
a
f
(x)dx
f
( )(b a)
.
第二节
第五章
微积分基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例
4
5
6
二、积分上限的函数及其导数
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
例7 设f ( x)在[0, )内连续且f ( x) 0. 证明函数
0
解:
1 cos 2x d x 2cos2 x d x
0
0
2 0 | cos x | d x
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
44
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
0 f (t)dt
在(0, )内为单调增加函数.
证
d dx
x
tf (t)dt
0
xf ( x),
d dx
x 0
f (t)dt
f (x)
xf ( x)
x f (t)dt f ( x)
x
tf (t)dt
F( x)
0
0
( x f (t )dt )2
0
22
f (x) 0
42
练习4
设
f
(x)
2x 5
0 x1 1 x2
2
, 求 0 f ( x)d. x
解:
2
1
2
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0
0
1
y
在[1,2]上规定当 x 1时， f ( x) 5 ,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
43
练习5：计算
1 cos 2x d x .