离散数学第十一章群和环习题答案

习题十五 30
设<G, · >是群，a是G中一个固定元素，定义映射f:G → G使得对任何x G，f(x)=a· a-1. 求证：f是G的 x· 自同构映射。
证明： 容易证明f是G的同态映射， f(x· =a· y· -1 =a· a-1· y· -1 y) x· a x· a· a =f(x) ·f(y) 再证明f是双射， 证单射：f(x)=f(y), a· a-1 = a· a-1 x=y x· y· 证满射：令a· a-1 = y, x=a-1· a x· y·
习题十六
2.
在<Z15, , >中求出满足方程x2-[1]=[0]的全部根。 解： 4个解：[1],[4],[11],[14]
习题十六
7
设<R, +, >为环，且R中每个元素都是乘法幂等元，证明： (1)对任何aR，a+a= . (2)<R, +, >为交换环. 证明： (1)因为R中每个元素都是乘法幂等元，(a+a)2=a+a, a2+ a2 + a2 + a2 =a+a, 所以a+a= (2)ab = (a+b)2- a2 - b2 – ba = a+b-a-b-ba =-ba 而ab+ab= , 即ab=-ab 所以ab=ba
习题十五 18
证明：群中的每个元素和它的逆元素有相同的周期. 证明： 设a的周期是k, a-1的周期是t, ak=e=(a-1)t=a-t, 即k|t =(a-1)-k , 即t|k 即t=k.
习题十五 22
3次对称群<S3, º>是4次对称群<S4, º>的子群，写出S3的所有 左陪集. 解：S3的所有左陪集是： ① S3 ={(a), (ab), (ac), (bc), (abc), (acb)} ② (ad) S3={(ad), (ad)(bc), (acd), (abd), (abcd), (acbd)} ③ (bd) S3={(bd), (ac)(bd), (adb), (bcd), (acdb), (adbc)} ④ (cd) S3={(cd), (ab)(cd), (adc), (bdc), (abdc), (adcb)}
证明下述结论 (1)群中指数为2的子群是正规子群. 证明： 群中指数为2的子群G=eH aH =He Ha 所以aH=Ha.
习题十五
27
设f是群<G, · >到群<H, º>的同态映射，S是G的子群，证明f(S) 是H的子群。 证明：
由于f是群<G, ·>到群<H, º >的同态映射, 要证明同 态像是子群， 因为S是G的子群，所以a,b S, a · b-1 S , f(a · b-1) = f(a) º f(b-1) = f(a) º f(b)-1 f(S) 即f(S)是H的子群。
c
c
c c
附加题：确定 2S，、 2S，、2S，各属于 哪一个层次？
• 2S，：闭，结，幺= S，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= ，无逆元，故含幺半群。 • 2S，：闭，结，幺= （ A=A, AA= ）A-1=A, 群。
习题十五 3.
习题十五
9
在整数集Z上用加法运算+和-定义新运算“”如下： a,b Z, a b=a+b-2. 证明: <Z, >是群。 证明： 封闭性、结合性证明略。 设幺元为e, e a=e+a-2=a, e=2. 对a的逆b，有a b=2，即a+b-2=2, 可见b=4-a 综上， <Z, >是群。
3
设A依次为下列数集合，试确定<A, +, >是否成环、整环或域。 (1)A={x|xZ且x 0}，无加法逆元，不是环 (2)A={a+b√3|a,bQ}，是域 (3)A={x|(y)[yZ且x=2y]}, 由偶数构成，是环，但无法幺元， 不是整环，不是域。 (4)A={a/b|a,b为正整数，且(a,b)=1}，既约分数，但无0，不构 成环。
习题十五
4.
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设半群<A, *>中任何两个不同元素关于运算“*”不可交换。证 明: 对任何a A, a*a=a 证明： 已知运算“*”不可交换，即a,bA, a b a*b b*a, 但<A, *>是半群，可结合，故(a*a)*a= a* ( a*a)，所以a*a=a
习题十五 6
证明: 群中只有幺元是幂等元。 证明： 设a是幂等元，即a*a=a= a*e 由消去律 a=e 所以e是唯一的幂等元。
在实数集R上定义二元运算“*”如下： a,b R,a*b=a+b+ab. 证明:<R, *>是含幺半群。 证明： 由定义 a*b=a+b+ab 首先， a*b=a+b+abR，闭； 其次， (a*b)*c= a*b + c + (a*b)*c = a+b+ab + c +ac+bc+abc a* ( b*c) = a+ b*c +a(b*c) = a+b + c+bc +ab +ac+abc, 可见，结合律成立 至于幺元，设为e， a A,a*e=a,即a+e+ae=a,即e+ae=0, (由于对任何a都成立),令a=0,则e=0,故0是幺元。 综上，<R, *>是含幺半群。
设S={a,b,c},运算“·”由下表定义，判断代数系统 <S, · >是否广群、半群，是否含幺半群、群。 解：由运算表可知，” · ”封闭。 · a b a a b 至于结合性，由表可知： b a b x,y A, x·y=y, 所以 (x·y)·z=z c a b x·(y·z)=y·z=z, 所以结合律成立。 最后由表可知，a,b,c皆为左幺元，故无幺元。 所以<S, · >是半群。
习题十四 6
下表中所列运算定义在实数集R上，该运算是否具 有指定的性质：
+ max min |x-y|
封闭性 可结合性 可换性 存在幺元 存在零元 每元有逆元






习题十四 4
习题十五 11
设<S, * >和<T, * >都是<G, * >的子群，(*可交换)，令S T={x|xS xT}, ST={s*t|sStT}.证明：< S T, * >和 <ST, * >也都是<G, * >的子群. 证明： 已知<S, * >和<T, * >都是<G, * >的子群，任取a,bS T, 所以a -1 -1 -1 * b S, a * b T, 即a * b S T, 所以< S T, * >是<G, * >的子群. 对于<ST, * >，已知ST=TS，任取s1 * t1, s2 * t2ST, (s1 * t1) * (s2 * t2)-1=(s1 * t1) * (t2-1* s2-1) = s1 * t3 * s2-1 = s1 * s3 * t4 = s4 * t4 ST 所以<ST, * >是<G, * >的子群.
习题十五
16
证明：每个阶数大于1的群必含有阶数大于1的交换子群. 证明： 因为G的阶数大于1，必有周期大于1的元aG，构造H=(a)，即 为所求。
习题十五
17
证明：循环群的子群必是循环群. 证明： 设G的生成元为a, H为G的子群，并且H中具有最小正幂的元是 ak, G=(a), HG, H={e, ak, ak2, ak3,…}，设ak是H中具有最小正指数 的元， amH，证明am=(ak)* ，H=(ak), 则 amH，令m=tk+r (0r<k), 则am=(ak)t ar, 由k的选择知，r=0, 即am=(ak)t , H由ak生成。
习题十五
23
找出同余类加群<Z9, >的全部三阶子群及相应的陪集. 解： <Z9, >共9个元素，唯一3阶子群，H={[0],[3],[6]} 陪集: ① H = {[0],[3],[6]} ② [1]H = {[1],[4],[7]} ③ [2]H = {[2],[5],[8]}
习题十五 25
习题十五
31
证明：循环群的同态像也是循环群。
证明： 因为把生成元映成生成元.
<A, · >的生成元是a, f是同态映射，要证<f(A), · >也是循环群
f(a)=f(a· )=f(a) · e f(e)=f(a) f(a2)= f(a)2 f(a3)= f(a)3 … f(ak)= f(a)k
习题十六