2.2 算子和算子方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2 算子和算子方程
2.2.1 线性算子
1. 定义：设A D 和A D '都是线性函数集，且
H D A ⊂，若元素A D ∈φ经算子A 映射得唯一的确定的元素A D '∈ψ，其映射关系为
φψA =
并满足线性运算律(α、β为任意常数)
2121)(φβφαβφαφA A A +=+
则称A 为线性算子。其中：A D 是A 的定义域，A D '是A 的值域。
若对于任意的A D ∈φ，都有
i i
φφφφA A =→lim 成立，则称A 为线性连续算子。
若对于任意的A D ∈φ，都有
φφC ≤A (C 为有限常数)
成立，则称A 为线性有界算子。
可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。
2. 运算性质
设A 、B 为线性算子，A D 、B D 分别为其定义域
(1) 算子的和——若B A D D ⋂∈φ
φφφφ)()(A B B A B A +=+=+
(2) 算子的积——若B D ∈φ，A D ∈φB
)A (B )B (A )B (A φφφ≠=
(3) 算子的逆——若φφ=)(AB ，则
1-=A B ，1-=B A
称A 与B 互为逆算子。ψψ=-)(1AA 。
3. 线性算子方程：
可分为两种类型：
(1) 设A 是已知线性算子，若其值域中的已知点A D '∈ψ由定义域中相应未知点A D ∈φ映射而得，即
ψφ=A
则称之为确定性算子方程。
由算子方程的运算性质：
ψφφφ111)()(---===A A A A A
确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1-A 存在，则解答是唯一的，1-A 连续，则解答是稳定的。
(2) 设A 为已知线性算子，其值域等于定义域A A D D ='，且λφψ=(λ为待定常数)在值域中也是未知点，则
λφφ=A
称为本征值算子方程。
本征值算子方程的求解任务：
①确定n λ所取的待定的值{
} ,2,1=n n λ； ②求出n λ所对应的解{}
,2,1=n n φ。 2.2.2对称算子和正定算子
1. 对称算子
定义1：设)()(),()(22E L D x V E L D x U A ⊂∈⊂'∈A ，则
⎰>=<)(*)(,x E dx V U V U A A
称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。
定义2：若函数集)(2E L D ⊂中的任何两个元素U 和V 所构成含算子的内积都满足
>>=< 则称A 为D 上的对称算子。 定义3：若凡D U ∈都有 实数>= 则A 亦称为D 上的对称算子。 2. 正定算子 (1) 定义：若凡)(2E L D U ⊂∈都有 2