解析几何与平面向量相结合问题

的值为______；当 λ 变化时，动点 L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．
16．（2020·江苏高考模拟）已知点 Q0,5 ，若 P、R 分别是 O : x2 y2 4 和直线 y 3 x 上的动点，则 4
QP QR 的最小值为_____.
17．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设 F
15．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0），M（-4，0），N（4，0），
P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段 OM 上的动点 A 满足 OA OM 0，1 ；线段 HN 上的动点 B
满足 HB HN ．直线 PA 与直线 QB 交于点 L，设直线 PA 的斜率记为 k，直线 QB 的斜率记为 k'，则 k•k'
近线的直线 ，若直线 交线段 于点 ，且
，则双曲线 的离心率 ( )
A．
B．
C．
D．
9．（2020 重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线 ：
，圆 ：
，过 焦点 的直
线从上至下依次交 ， 于点 ， ， ， .若
， 为坐标原点，则
（）
A．-2
B．1
C．4
D．
10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线 x2 a2
为直线 l
上一点，且满足 CB
5 CA ，若 2
M
为线段
AB
的中点， O
为坐标原点，则 OC OM
的值为（
）
A．3
B． 2 3
C．2
D．-3
6
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12（. 2020 桂林高三质检）已知
为椭圆
上三个不同的点， 为坐标原点，若
，
则
的面积为（ ）A． B． C． D．
13．（2020 上海市金山区高三）正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足
（）
A． xy 1 B． xy 1 C． y2 x2 2 D． y2 x2 1
【举一反三】
1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆 x2 y2 1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 C ，其左右焦 95
点分别是 F1, F2 ，已知点 M 的坐标为 (2,1) ，双曲线 C 上的点 P(x0 , y0 ) (x0 0, y0 0) ，满足
为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（ a
0 ，b 0 ）的右焦点，过 F
且
斜率为
a b
的直线
l
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
A
，
B
两点，且
|
AF
|
2
|
BF
|
，则双曲线
C
的离心率
为________.
7
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18．（2020·河南高考模拟（理））物线 x2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，已知点 A, B 为抛物线上的两个动点，
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的右顶点为 A ，抛物线 C
:
y2
8ax 的 焦点为
F ．若在 E 的渐近线上存在点 P ，使得 AP FP ，则 E 的离心率的取值范围是 （ ）
A． 1,2
B．
1,
3
2 4
C．
3
2 4
,
D． 2,
2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆 C1 ： (x 5)2 y2 1 ， C2 ： (x 5)2 y2 225 ，动圆 C 满足与 C1
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7．（2020 柳州市高考模拟）已知双曲线
的左、右焦点为 、 ，双曲线上的点 满足
恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．
B． C．
D．
8．（2020 葫芦岛市高三联考）已知 ， 分别是双曲线
的左、右焦点，过点 的
直线交双曲线 的右支于 ， 两点，且
．过双曲线 的右顶点作平行于双曲线 的一条渐
且垂直于 x 轴的直
线与双曲线交于 A, B 两点，若 ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）
A． 1, B． 1,2 C． 1,1 2 D． 2,
类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题
【例 6】如图，椭圆 C :
x2 a2
y2 4
1a 2 ，圆 O : x2
具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，
从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.
二．解题策略 类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题
【例
1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆 C :
满足
，均能使
成立 ，则 的最小值是_________.
三．强化训练
4
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一、选择题
1．已知过点 0,1 的直线与圆 x2 y2 4 相交于 A 、B 两点，若 OA OB OP ，则点 P 的轨迹方程是（ ）
A．
x2
y
1 2
2
1
B． x2 y 12 1
AB 且满足 AFB 60 ，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD ，垂足为 D ，则 的最小值为
CD
8
PF1 MF1 PF1
F2F1 MF1 F2F1
，则 SPMF1
SPMF2
（
）
A．2
B．4
C．1
D． 1
2.直角坐标系 中，已知两点
，
，点 满足
，其中
，且
．则
点 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题
【例 4】（2020·兰州高考模拟（理））设 F1 ， F2 分别是椭圆 C：ax22
x2 a2
y2 b2
1（a
0 ，b 0 ）的左右焦点为 F1 ， F2 ，渐近线分别为
l1
，
l2
，过点
F1
且与
l1
垂直的直线分别交
l1
及
l2
于
P
，
Q
两点，若满足
OP
1 2
OF1
1 2
OQ
，则双曲线的离
心率为（ ）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程
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授课对象 授课时间 课型 教学目标 教学重点和难点
100-120 分 专题 梳理知识点
授课教师 授课题目 使用教具
解析几何与平面向量相结合问题
人教版教材
参考教材
一．方法综述
教学流程及授课详案
向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。它们
y2
a2
4 ，椭圆 C 的左右焦点分别为 F1、F2 ，过
椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M , N 两点，若 PF1 PF2 6 ，则 PM PN 的值为
___________． 【举一反三】
1.（2019 上海市闵行区七宝中学高三）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量 在
y2 b2
1 a
0, b
0 的左右焦点，若双曲线上存在点 P
满足 PF1 PF2 a2 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． 3,
B． 2，+
C． 1，+
D．，1 1，
4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线 l 过抛物线 C ： y2 3x 的焦点 F ，交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准
焦点，延长 B1F2 与 A1B2 交于点 P ，若 B1PB2 为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（
）
A．
5 2
2
,1
B． 0,
52 2
பைடு நூலகம்
C． 0,
5 1 2
D．
5 1 2
,1
2.已知点 F
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F
y2
a2 4
的切线 l ，切点为 M ，且直线 l 与双曲线 C 的一个交点 N 满足 NF1 NF2 2a ，设 O 为坐标原点，若
QN OF1 2OM ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A． y 3 x 2
B． y 3x
C． y 6 x 2
D． y 6x
5
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类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题
【例 2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆 C : x2 y2 1，点 P x0, y0 是直线 l：3x 2y 4 0 上
的动点，若在圆 C 上总存在不同的两点 A，B 使得 OA OB OP ，则 x0 的取值范围是_____．
C．
x2
y
1 2
2
2
D． x2 y 12 2
2．（2020 烟台市届高三高考一模）已知 、 分别为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线右支上一
点且满足
，若直线 与双曲线的另一个交点为 ，则
的面积为（ ）
A．12
B．
C．24
D．
3．（2020·河南高考模拟（理））F1 ，F2 是双曲线
x2 a2
【举一反三】
1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线 C ：x2 2 py p 0 的焦点为 F ，点 A 1,0 ，直线 FA 与抛物线 C 交
于点 P （ P 在第一象限内)，与其准线交于点 Q ，若 PQ 2 FP ，则点 P 到 y 轴距离为（ ）
A． 2 2 1
B． 2 2 2
C． 3 2 1
1
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外切且 C2 与内切，若 M 为 C1 上的动点，且 CM C1M 0 ，则 CM 的最小值为（ ）
A． 2 2
B． 2 3
C． 4
D． 2 5
3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线
的左焦点
，作倾斜角为 的
直线 交该双曲线右支于点 ，若
，且
，则双曲线的离心率为__________．
y2 b2
1 （a＞0，b＞0）的离心率为 2，F1，F2 分别是双曲线
的左、右焦点，点 M（-a，0），N（0，b），点 P 为线段 MN 上的动点，当 PF1 PF2 取得最小值和最大值时，
△PF1F2 的面积分别为
S1，S2，则
S2 S1
=(
)A．2 3
B．4
C．4 3
D．8
11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线 l 与圆 x2 y2 4 相交于 A ，B 两点，且满足 AB 2 ，点 C
，
若
，其中 m、n R，则 的最大值是________
14．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆 C : (x 2)2 ( y 1)2 1，点 P 为直线 x 2y 9 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA, PB ，其中 A, B 为切点，则 PA• PB 的取值范围为__________．
线于点 P ，若 AF FP ，则 AB （ ）
A．3
B．4
C．6
5.（2020 莆田市高三）已知直线 过抛物线 ：
D．8 的焦点 ，交 于 两点，交 的准线于点 .
若
，且
，则 （）
A．
B．
C．
D．
6.已知双曲线 C ： x2 a2
y2 b2
1（ a
0 ，b 0 ）的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，过点 F1 作圆 ：x2
2
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【例 3】（2020 荆州模拟）已知对任意平面向量 AB x, y ，把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向
量 AP xcos ysin, xsin ycos ，叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 角得到点 P ．设平面内曲
线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线 x2 y2 2 ，则原来曲线 C 的方程是 4
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ，点 P
是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若 M 是线段 PF1 上一点，且满足 MF1 2PM, MF2 OP 0 ，则椭圆
离心率的取值范围为______________. 【举一反三】
1.（2020
南宁模拟）已知双曲线 E :
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点，直线 l
过 F1 交椭圆 C
于 A，B 两点，交
y
轴于 C
点，若满足 F1C
3 2
AF1 且 CF1F2
30
，则椭圆的离心率为 (
)
A． 3 3
B． 3 6
C． 1 3
D． 1 6
【举一反三】
3
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1.（2020 锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， A1, A2 , B1, B2 为椭圆的顶点， F2 为右
D． 3 2 2
2（. 2020 南充模拟）已知 A, B, P 为双曲线 x2 y2 1上不同三点，且满足 PA PB 2PO（ O 为坐标原点）， 4
直线 PA, PB 的斜率记为 m, n ，则 m2 n2 的最小值为（ ） 4
A． 8 B． 4 C． 2 D． 1
3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线