第五章弯曲应力

第五章 弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。

Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：
1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；
2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；
3. 由静力学关系得出正应力公式。

Ⅲ、中性层和中性轴
中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。

中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。

中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为
()()1
z
M x x EI ρ=
(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。

(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。

Ⅳ、梁的正应力公式
1. 横截面上任一点的正应力为
z
My
I σ=
(5-2) 正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。

2. 横截面上的最大正应力，为
max
max z
My I σ=
(5-3) max
z
z I W y =
(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。

3. 弯曲正应力公式的适用范围：
1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。

2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。

横力弯曲时，平面假设不成立，
公式为近似公式，当梁的跨高比
5l
h
≥时，误差2%≤。

Ⅴ、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
[]max
max z
M W σσ=
≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。

当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为
[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤
Ⅵ、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。

可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。

2)对于[][]t c σσ<的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使[]
[]
,max ,max t t c c y y σσσσ==
拉压，使,max t σ和,max c σ同时达到其许用应力。

3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。

二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。

横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。

Ⅰ、矩形截面梁
假设切应力τ的方向平行于剪力s F ，其大小沿宽度b 均匀分布(图b )，由图a 中带阴影线部分微段的平衡条件，得
x
s z z
F S bI τ= (5-6) 式中，s F 为横截面上的剪力，b 为横截面的宽度，3
12
z bh I =，x z S 为横截面上距中性轴
为y 的横向线以下(或以上)的部分面积2h b y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对中性轴z 的静面矩，其值为
2
224x z
b h S y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，可见切应力沿横截面高度h 按抛物线规律变化，2y h =±处，0τ=，
0y =(中性轴处)时，max ττ=，其值为
max 3322s s
F F bh A
τ=
=
(5-7) Ⅱ、工字形截面梁
1. 腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b )的平衡条件，得
x
s z z
F S dI τ= (5-8) 式中，s F 为横截面上的剪力，d 为腹板的宽度，z I 为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，x z S 为距中性轴z 为y 的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z 的静面矩
()211222x z h S b h d y δδδ⎡⎤⎛⎫
=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，
在腹板和翼缘交界处min τ，在中性轴处max τ，其值为
,max max s z z
F S dI τ=
(5-9)
式中，,max z S 为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z 的静面矩，计算min τ时，
x z S 为下(或上)翼缘的面积对中性轴z 的静面矩。

型钢时,max z z I S 为型钢表中的x x I S 。

腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。

2. 翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度δ均匀分布，由图c 所示微段的平衡条件得
1x
s z z
F S I τδ= (5-10) 式中，δ为翼缘的厚度，s F 和z I 的意义和(5-8)式相同，x z S 为距翼缘端部为η的部分
翼缘面积()ηδ对中性轴z 的静面矩，22x z h S δηδ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，022h δη⎡⎤
⎛⎫≤≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，可见1τ沿翼缘
宽度按线性规律变化(图5-2，d)。

3. 切应力流
根据剪力s F 的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设s F 的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。

根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。

Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力
对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。

Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁
图5-4a 所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为 max 43s
F A
τ=⋅
(5-11) 式中，2
4
A d π
=。

图5-4，b 所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力s F 平行，其值为
max 2
s
F A
τ= (5-12) 式中，02A R πδ=。

Ⅴ、切应力强度条件
对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力max F 所在的横截面上，一般位于该
该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即max τ所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为
[],max ,max
max s z z
F S bI ττ=
≤ (5-13)
式中，,max z S 为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b 为横截面在中性轴处的宽度，
z I 为横截面对中性轴电惯性矩。

梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。

三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心
Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件 梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy 内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a )或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b )。

梁产生平面弯曲。

当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c )。

Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A
1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A 表示。

当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。

若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。

图5-6a,b 中，弯心A 和形心C 重合；图5-6c 中，弯心A 位于对称轴z 上；图5-6d,e 中，弯心A 位于两狭长矩形中心线的交点处。

3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。

例5-1 一铸铁梁如图a 所示，已知材料拉伸时的强度极限为.150MPa b t σ=，压缩时的强度极限为.630MPa b c σ=。

试求梁的安全因数。

解：梁的弯矩图如图b 所示。

以横截面的下底边为参考轴，形心C 的y 坐标1y 为
()
()
1201604021201016053.3mm 16040210160y ⨯⨯+⨯⨯⨯=
=⨯+⨯
220053.3146.7mm y =-=
横截面对形轴z 的惯性矩为
()()3322
160401016053.32016040212053.3101601212z I ⎡⎤⨯⨯=+-⨯⨯++-⨯⨯⎢⎥⎣⎦
6429.01210mm =⨯
B 、
C 截面上正应力的分布规律如图 c 所示，最大拉应力发生在B 的上边缘或C 截面的下边缘，由于21B c M y M y >，所以最大拉应发生B 截面的上边缘。

由 ,2,max
b t
B t z t
M y I n σσ=≤
得 664
,33215010Pa 29.01210m 3.7810N m 146.710m b t z
t B I n M y σ--⨯⨯⨯≤==⨯⋅⨯⨯
式中，t n 为拉应力达到强度极限时的安全因数。

最大压应力显然发生在C 截面的上边缘， 由 ,2,max b c
c c z c
M y I σση=
≤ 得 664
,33
263010Pa 29.01210m 10.41210N m 146.710m
b c z
c c I n M y σ--⨯⨯⨯≤==⨯⋅⨯⨯
式中，c n 为压应力达到强度极限时的安全因数。

由于c n >t n ，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为
3.7t n n ==
例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为[t
]=30MPa ，许用压应
力[c ]=90MPa ，试确定截面尺寸值。

解：设形心C 距截面下底边的距离为1y
22122
681688163
y δδδδδδδ⋅+⋅==+ 于是
2822
1033
y δδδ=-=
截面对中性轴z 的惯性矩为
()
()3
3
2
2
2
2488288681618112
3123z I δδδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫=
+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C 截面的弯矩为
max 40kN 1m 40kN m M =⨯=⋅
由 ()3
6max
,max 14
3
84010N m 589.3N m
3
3010Pa 181t z
M y I δσδδ⨯⋅⨯⋅=
==
≤⨯
得 127mm δ=
由 ()36max
,max 24
3
224010N m 1620.6N m 39010Pa 181c o
M y I δ
σδδ
⨯⋅⨯
⋅=
==≤⨯
得 226mm δ= 由于12δδ>，所以取 27mm δ=。

讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。

[][]90330
c i σσ==，,max 2,max 122
1133843
c t y y δσδσ===<
A
C
B
80kN
F =1m
1m
52-例图
22
88δ
y
z
C
2δ
8δ23
y δ=
13
y δ
=
可知，
,max
t
σ选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定δ即可。

例5-3 一平顶凉台如图a所示，其长度6m
l=，顶面荷载集度2000Pa
f=，由间距1m
s=的木次梁AB支持。

木梁的许用弯曲正应力[]10MPa
σ=，木次梁为b×h的矩形截面，且2
h b
=。

试求：(1)在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置x值；(2)选择木次梁的尺寸。

解：1. 次梁的计算简图如图b所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为
2000Pa1m2000N m2kN m
q fs
==⨯==
用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示，当
D C
M M
=时，次梁用料最经济。

由()222
111
842
q l x qx qx
--=
22
520
x lx l
+-=
得 1.74m
x==
3. 选择b和h
当 1.74m
x=时
()2
2
max
11
2kN m 1.74m 3.03kN m
22
M qx
==⨯⨯=
由
()
[]
max max max
max23
63
2
2
z
M M M
W b
b b
σσ
===≤
得0.0769m=76.9mm
b≥==
2276.9mm154mm
h b
==⨯=
讨论：上面分析次梁用料最经济时，利用了
D C
M M
=，
D
M为梁的最大弯矩的近似值，
得到主梁位置 1.74m x =也是近似的，实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处，若用实际的最大弯矩等于C M ，得到的主梁位置 1.76m x =，可见二者误差甚小，但用第二种方法计算时，计算工作量较大。

例5-4 起重机大梁由两根25a 工字组成如图a 所示，起重机自重50kN W =，起重机起吊的重量为10kN P =。

梁材料的许用应力[]170MPa σ=，[]100MPa τ=，单根25a 号工字钢的33401.8810mm z W =⨯，8mm d =，215.8mm z z I S =，设全部荷载平均分配在两根梁。

试校核梁的正应和切应力强度。

解：1. 求起重机的支反力 起重机的受力图如图b 所示
由 0D M =∑ 得 10kN C F = 由 0C M =∑ 得 50kN D F = 2. 校核梁的正应力
梁的受力图如图c 所示，由于荷载是移动的，必须确定最不利位置，梁在集中力C F 和
D F 作用下，其最大弯矩必在C 或D 截面处，设C 轮距支座A 的距离为x ，梁的支反力为
506A F x =- (kN) ，106B F x =+ (kN) (1)
C 截面的弯矩为
()2506506C A M F x x x x x ==-=-
由
0C
dM dx
= ，得 50120 x -= 即 4.17m x =
()2
,max 50 4.176 4.17104.2kN m C M =⨯-⨯=⋅ (2)
D 截面的弯矩为
()()()()21028106880386D B B M F x F x x x x x =--=-=+-=+-
由
0D
dM dx
= ，得 38120x -= 即 3.17m x =
2,max 8038 3.176 3.17140.2kN m D M =+⨯-⨯=⋅ (3)
由于,max ,max D C M M >，所以最不利位置为 3.17m x =，梁的弯矩图如图d 所示。

()36max max
932140.210N m 174.410Pa 174.4MPa 22401.8810m
M W σ-⨯⋅===⨯=⨯⨯ max σ稍大于[]σ，但其误差<5%，所以梁满足正应力强度条件。

3. 校核切应力
当两个集中力移动至使D F 紧靠B 支座()8m x ≈时，为剪力的最不利位置，即8m x =时由(1)和(2)式，得2KN A F =，58KN B F =，梁的剪力图如图e 所示。

()()()
[]3,max
6
max
335810N 16.810Pa 16.8MPa 22810m 215.810m s z z F d I S ττ--⨯===⨯=<⋅⨯⨯ 梁满足切应力强度条件。

讨论：梁在两个移动的集中力作用下，最大弯矩部是发生集中力作用点处，最大剪力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。

例5-5 图所示吊车梁由36a 号工字钢在其中间区段焊上两块100mm 16mm ⨯的矩形钢板制成。

电葫芦重12kN W =，起吊的重物的重量为50kN P =，材料的许用应力为
[]160MPa σ=，[]100MPa τ=。

1. 校核梁的正应力强度；
2. 求加强板的长度1l ；
3. 校核梁的切应力强度。

解：由于梁上受移动荷载作用，必须确定荷载的最不利位置，在进行正应力强度校核时，集中
力应位于跨度的中间截面处；求加强板长度1l 时，集中力应位于C (或D )截面处；进行切应力强度校核时集中力应在紧靠支座处。

1. 校核正应力
梁上受到的移动的集中力为
12kN 50kN 62kN F W P =+=+=
设F 力位梁的跨度中央截面处，该截面的弯矩为
max 11
62kN 10.5m 162.75kN m 44
M Fl ==⨯=⋅
36a 号工字钢的64157.610mm z I =⨯，考虑加强板时整个截面的惯性矩为
36
4
246410016157.610mm 218810016mm 270.7710mm 12z I ⎡⎤
⨯=⨯++⨯⨯=⨯⎢⎥⎣⎦
跨中截面的最大正应力为
()()[]33
6max max max
6-124
162.7510N 19610m 117.810Pa=117.8MPa<270.771010m
z M y I σσ-⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 2. 求加强板长度1l
设集中力F 位于C (或D )截面处，
由 0B M =∑ ，得 62 (kN)A l x F l -=；()()62 kN m A l x
M x F x x l -==⋅
36a 号工字钢的3387510mm z W =⨯，梁在C 截面处的许用弯矩为
[][]66316010Pa 87510m 140kN m z M W σ-==⨯⨯⨯=⋅
令()[]M x M =，即
62
=140l x
x l
- 210.523.70x x -+=
解得 3.28m x = 加强板的长度为
1210.52 3.28 3.94m l l x =-=-⨯=
3. 校核梁的切应力
当集中力F 紧靠支座时，最大剪力为
,max 62kN s F =
36a 号工字钢的10mm d =，307mm z z I S =，梁的最大切应力为
()()
[]3,max
max
336210N
20.2MPa 1010m 30710m s z z F d I S ττ--⨯===<⨯⨯ 梁的正应力和切应力强度条件均满足，该梁是安全的。

例5-6 T 形截面外伸梁,受移动荷载F 作用,支座A 为滚轴支承(活动铰支座)。

支座B 为用销钉连接两块支承板(固定铰支座)，如图a 所示。

已知：25kN F =，T 形截面对形心轴z 的惯性矩6413.6710mm z I =⨯，销钉的直径20mm d =，许用切应力[]100MPa τ=。

1. 求梁的最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ；
2. 求梁的最大切应力；
3. 校核销钉的剪切强度。

解：1. 求,max t σ和,max c σ。

F 力位于C 截面和D 截面时， 梁的剪力图和弯矩图分别如图b 、c 、d 、e 所示，,max
t σ位于C 截面的下边缘，
()()3
3
,max
64
2510N m 8510m 155.4MPa 13.6710m t σ--⨯⋅⨯==⨯
由于12A C M y M y >，所以,max c σ发生在A 截面的下边缘，
()()3
3
,max
64
2010N m 8510m 124.4MPa 13.6710m c σ--⨯⋅⨯==⨯
2. 求梁的最大切应力。

由剪力图可见，当F 力位于D 时，,max 25kN S F =，最大切应力为，
()()()
3
333max max
max 46412510N 8510m 4010m 8510m 24010m 13.6710m 66.1MPa s z z
F S d I τ-----⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⎪⋅⎝⎭=
=⋅⨯⨯= 3. 校核销钉的切应力强度
当F 力位于B 支座处时，销钉受力最大，其剪切为2
s F F =。

()[]32223222510N 239.8MPa 2010m 4
s s F F F d A d ττπππ-⨯⨯=====<⨯ 销钉满足切应力强度条件。

例5-7 箱形截面悬臂梁由四块木板胶合而成如图所示。

已知横截面对中性的惯性矩
64478.810mm z I =⨯；材料为红松，其许用弯曲正应力[]10MPa σ=，许用顺纹切应力
[] 1.1MPa τ=；胶合缝的许用切应力0.35MPa τ⎡⎤=⎣⎦胶。

试校核梁的强度，并画出危险截面
上切应力的分布规律以及切应力流的指向。

解：1. 校核梁的正应力强度
max 18 1.527kN m M Fl ==⨯=⋅
()()[]33
6max max max
64
2710N m 17810m 10.010Pa=10MPa=478.810m
z M y I σσ--⨯⋅⨯===⨯⨯ 2. 校核顺纹切应力强度。

(),max 178mm 168mm 100mm 20mm 2178mm 50mm 2z S ⎛⎫
=⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭
631.92010mm =⨯
()()()()
[]3336
max max
364
1810N 1.92010m 0.7210Pa 0.72MPa<25010m 478.810m s z z F S dI ττ---⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯ 3. 校核胶合缝的切应力强度。

上水平板和两块竖直板有两条胶合缝，求其切应力1τ的公式中，*z S 为上水平板对中性轴z 的静面矩，因为有两胶合缝，其宽d 为250100mm ⨯=。

()()()()
3333*6
1364
1810N 15210m 30010m 2010m 0.3410Pa 0.34MPa<10010m 478.810m s z z F S dI ττ-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎡⎤===⨯=⎣⎦⨯⨯胶 下水平板和两块竖直板也有两条胶合缝，下水平板的dx 微段的分离体如图b 所示，
可见求胶合缝的切应2τ的公式中，z S 为下水平板对中性轴z 的静面矩，因为有两条胶合缝，
其宽度δ为22040mm ⨯=。

()()()()
[]3333*6
2364
1810N 16810m 10010m 2010m 0.3210Pa 0.32MPa<4010m 478.810m s z z F S I ττδ-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯胶 可见，梁满足正应力、顺纹切应力及胶合缝处的切应力强度。

4. 横截面上切应力的分布规律及切应力流的方向如图c 所示，上、下水平板中点处的水平切应力为零，可从分离体的平衡条件或水平切应力是反对称分布的，可以得到该结论。

例5-8 矩形截面悬臂梁，受均布荷载q 作用(图a)，沿梁的中性层截出其下半部分(图b)，试求：
1. 图b 中顶面上的切应力()x τ'及其由()x τ'组合的水平力x F '；
2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出梁的挤压应力y σ的公式。

解：1. 求图b 中顶面上的()x τ'及F x ' 梁的x 横截面上的剪力及切应力分别为
()() s F x qx =↑
()*2222s z z z F S qx h x y bI I τ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
(1) ()()max 3 2qx
x bh
τ=
↑ (2) 由切应力互等定理，得图b 顶面上的切应力为
()()()max 3 2qx
x x bh
ττ'==→ (3)
切应力()x τ'形成的合力为
()()2
0133 224l
ql ql F x x bdx bl bh h
τ⎛⎫''===→ ⎪⎝⎭⎰ (4) 2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出y σ的公式。

B 截面处的最大压应力为
()22max max 221632 z
ql M ql w bh bh
σ⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭=
==← 由B 截面处的压应力组合的合力为
()2
2max 2111313 22224x ql ql F bh bh bh h σ⎛⎫⎛⎫==⨯=← ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(5)
x F 的作用线距中性层的距离为 2323
h h
⨯=。

由(4)式和(5)式可见，x F '和x F 满足平衡方程 0x F =∑
B 截面上的剪力为 ()1 2
y F ql =↑
下半部分梁(图b)，仅在x F '、x F 及y F 作用下不能满足平衡方程 0y F =∑及
0z
M
=∑，要满足该两平衡方程，应在图b 的顶面上有y σ作用。

因为dx 微段(图c)上有
荷载q 作用，其左、右两侧的剪力不相同，图c 中带阴影线部分的立体图如图d 所示，其左、右两侧面上的剪力分别为
()()222
*2323342424h h
sI
y
y
z z qx h qbx F x bdy y bdy h h y y I I τ⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭
⎰⎰
(6) ()()*
3
233424sII z
qb x dx F h h y y I +=
-+ (7) 设图d 的顶面上有y σ作用，由
0y
F
=∑， **
sII sI y F F bdx σ-=
即 ()3
233424y z
qbdx h h y y bdx I σ-+= 梁的挤压应力为
()3233424y z
q
h h y y I σ=
-+ (8) 当2h y =+时，0y σ=；2h y =-时，y q
b
σ=；当0y =时，即中性层处的挤压应力为
2y q b
σ=。

中性层上y σ组成的合力为
()1
22
y y q F bl bl ql b σ'==
=↓ (9) 下半部分梁上各力如图e 所示，其平衡方程为
22330,044x x x ql ql
F F F h h '=-=-=∑
11
0,022
y y y F F F ql ql '=-=
-=∑ 2310,0234322z x y h ql h l l M F F ql h =-=⨯-⨯=∑
可见，图b 所示下半部分梁满足所有平衡方程。

*例5-9 矩形截面悬臂梁，其顶、底两面受大小相等、指向相反的切向均布荷载
()kN m q 作用。

试导出横截面上切应力τ的计算公式，并画出τ的指向和沿高度的变化规律。

解：用相距dx 的两个横截面及距中性层为y 的纵截面从梁中截取一微段如图b 所示，图中
()M x qhx =，()dM x qhdx =
()()**
1y
NI z A z z
M x M x F y dA S I I ==⎰
()()*
*NII
z z
M x dM x F
S I +=
式中， 2y h A b y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2*
224z C y b h S y A y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
由 **
0 0x NII NI F F F qdx bdx τ'=---=∑
()*
z z
dM x bdx S qdx I τ'=
- 得 *
2*226114
z z z z hS qh q q q h S y bI b b I b h τ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=
-=-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
2
2
6
1
4
q h
y
b h
ττ
⎡⎤
⎛⎫
'
==--
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎣⎦
当0
τ=时，得
6
y h
==±，0
y=时，0.5
q
b
τ=；
2
h
y=±时，
q
b
τ=-。

切应力指向和沿高度的变化规律如图
c所示。

*例5-10 开口薄壁圆弧形截面如图a所示，已知截面
上的剪力
s
F铅垂向下。

试求
1.截面上的切应力及其方向；
2.弯曲中心A的位置。

解：1. 截面上的切应力
取坐标Oyz如图b所示，dA rd
δθ
=，()
sin
y rαθ
=-
()()()
*2
sin cos cos
z A
S ydA r rd r
ϕ
αθδθδαϕα
==-=--
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⎰⎰
()()()
2
233
1
2sin2sin cos sin cos
22
z A
I y dA r rd r r
αα
αθδθδααδααα
⎛⎫
==-=-=-
⎡⎤ ⎪
⎣⎦
⎝⎭
⎰⎰
()
*cos cos
sin cos
s z s s
z
F S F
I r
αϕα
τ
δδααα
--
==⋅
-⋅
切应力的方向与截面的中线相切。

图中仅画出ϕ截面上τ的方向。

2. 弯曲中心位置。

由
()()
22
00
cos cos2sin cos
sin cos sin cos s s s
A
F e r dA r rd F r d F r
αααϕαααα
ττδϕϕ
αααααα
---
⋅====
--
⎰⎰⎰
所以
sin cos
2
sin cos
e r
ααα
ααα
-
=
-
例5-11 试判断图示各截面弯曲中心的大致位置。

若各截面上的剪力
s
F指向向下，试画出各截面切应力流的方向。

解：弯曲中心为截面上的剪应力所构成的合力作用点，各截面的弯曲中心A 的位置和切应力流的方向如图b 所示。

图b 中y 、z 为形心主轴。

例5-12 两根20a 号工字钢用螺栓连在一起组成组合梁如图a 所示。

螺栓的间距
90mm a =，直径22mm d =，[]100MPa τ=。

若梁横截面上的剪力200KN s F =。

试校核螺栓的剪切强度(不计工字钢之间的摩擦力)。

解：两根工字钢作为整体弯曲时，由于相邻两横截面上的弯矩不相等，使**
NII NI F F >，
上、下两工字钢有沿接触面相对错动的趋势(图b)，使螺栓受到剪力(图c)，由于梁的各横截面上剪力s F 相等，螺栓间距及直径分别相同，故每个螺栓受的剪力相等。

1
1
*
NI z A A z
z
M
M F dA ydA S I I σ==
=
⎰⎰
*NII z z
M M
F S I +∆=
式中，1A 为单根工字钢的面积，z S 为1A 对z 轴的静矩。

s M F a ∆=，研究图c 所示各力的平衡条件，由0x F =∑，即
**202
s NII NI F F F '
--⨯
= 得 s s z z z z
F a M
F S S I I ∆'== 螺栓的切应力为
122
224s s s z s
z
F F F a
S A d d I τππ''=
=
= 20a 工字钢的213550mm A =，144237010mm z I =⨯，1200mm h =。

331
135510mm 2
z h S A =
=⨯ 12
54112118410mm 2z z h I I A ⎡⎤⎛⎫
=+=⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()()()()()[]336362
2374220010N 9010m 235510m 7110Pa=71MPa<2210m 118410m s z z F a
S d I ττππ----⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯ 故螺栓是满足切应力强度条件的。

*例5-13 矩形截面的钢、木组合梁，其宽度b =10mm ，木材部分地高度h =200mm ，钢板
的厚度=5mm ，木材与钢板之间不能滑动。

已知M e =，木材的弹性模量E 1=10GPa ，钢材的弹性模量E 2=210GPa 。

试求木材与钢板中得最大弯曲正应力。

解：由于木材和钢板之间不能相对滑动，所以梁的横截面可以视为整体。

试验表明，平面假设依然成立，设y 为对称轴，z
为中性轴(位置待定)如图(b)所示，纵向线应变沿着横截面高度呈线性规律
变化如图(c)所示，任一点处地线应变为
y ερ
= 式中，为中性层得曲率半径。

由胡克定律得材料1、2两部分的正应力分别为
11
y
E σρ
=，22
y
E σρ
= (1)
正应力沿横截面高度变化规律如图(d )所示。

静力学条件为
1
2
120N A A dA dA F σσ+==⎰⎰ (2)
1
2
1122A A y dA y dA M σσ+=⎰
⎰ (3)
将(1)式带入(2)式，可得
1,12,20z z E S E S += (4)
式中，S z ,1、S z ,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z 的静面积。

由(4)式确定中性轴位置。

将(1)式带入(3)式，可得
1,12,2
1
z z M
E I E I ρ
=
+ (5)
11E A h
δb 22
E A 2m e
M e
M ()a 513-例图
式中，I z ,1、I z ,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z 的惯性矩。

将(5)式带入(1)式，可得
111,12,2
z z E yM
E I E I σ=
+，221,12,2z z E yM E I E I σ=+ (6)
设中性轴z 到横截面底边得距离为y 如图(b )所示，材料1、2两部分对中性轴z 的静面积分别为
,1200mm 100mm 200mm 5mm mm 22z h S bh y y δ⎛⎫⎛⎫
=-+-=-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6343= 2.110mm +210mm y -⨯⨯
,25mm 100mm 5mm mm 22z S b y y δδ⎛⎫⎛
⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
333=500mm 1.2510mm y -⨯
将E 1、E 2、S z ,1、S z ,2带入(4)式，得
()()9634393331010Pa 2.110mm +210mm 21010Pa 500mm 1.2510mm 0y y ⨯-⨯⨯+⨯-⨯= 解得 69.7mm y =
材料1、2两部分面积对中性轴z 的惯性矩[图(e )]分别为
()()3
2
64,1100mm 200mm 135.3mm 100mm 100mm 200mm=91.5910mm 12z I ⨯=+-⨯⨯⨯
()()3
264,2
100mm 5mm 69.7mm 2.5mm 100mm 5mm=2.25910mm 12
z I ⨯=+-⨯⨯⨯
由(6)式可得木材和钢板的最大弯曲正应力分别为
9332,max
9612496124
1010Pa 135.310m 810N.m
1010Pa 91.591010m 21010Pa 2.2591010mm σ---⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 67.810Pa=7.8MPa =⨯(压应力)
9331,max
9612496124
21010Pa 69.710m 810N.m
1010Pa 91.591010m 21010Pa 2.2591010mm σ---⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 684.210Pa=84.2MPa =⨯
两种材料的组合梁也可用相当截面求解 将()f 式的右端的分子和分母均除以2E ，并令
1
2
E n E = ()f 式成为
1212121211*
1222*12 z z z z z z z z MyE My My
n n E I E I nI I I
MyE My My
E I E I nI I I σσ⎫=
==⎪++⎪
⎬⎪
===⎪++⎭
(g)
式中12*z z I nI I =+。

将材料(1)截面的宽度b 折算为 b nb '=
材料(1)截面的高度和材料(2)的截面保持不变。

于是，将组合梁的截面变换成一种材料(材料2)的截面，该截面称为相当截面，其水平形心轴为原组合截面的中性轴，对水平形心轴的惯性矩称为相当惯性矩，记为*I 。

本例中，1210100 4.76mm 210
E b b E '=
=⨯=，相当截面如图f 所示。

设形心距下底边的距离为y
2.51005105 4.76200
69.7mm 500 4.76200
y ⨯⨯+⨯⨯=
=+⨯
相当惯性矩为
()()3322
*
64
4.76200100510569.7 4.7620069.7 2.51005
1212
6.61810mm I ⨯⨯=+-⨯⨯++-⨯⨯=⨯ 钢板(材料(2))中的最大弯曲正应力为
()3-3
62max 2,max
*64
810N m 69.710m 84.310Pa 84.3MPa 6.61810m
My I σ-⨯⋅⨯⨯===⨯=⨯ 木材(材料(1))中的最大弯曲正应力为
()()3-3
1min 11,max
*642810N m 135.310m 10GPa 7.8MPa 6.61810m 210GPa
My E I E σ-⨯⋅⨯⨯==⨯=⨯
例5-14 图示矩形截面悬臂
梁，由(1)和(2)两种材料组合而成，材料的弹性模量分别为1E 和
22
2E ，且12E E >。

若F 力作用在梁的纵向对称平面内。

试问梁是否发生平面弯曲求梁的弯曲
中心。

解：设(1)和(2)两部分梁的剪力分别为1s F 和2s F (图b)。

12s s F F F += (1)
弯矩为
()()11s M x F L x =-，()()22s M x F L x =- (2)
由于(1)、(2)两部分梁作为一个整体发生弯曲，所以它们的曲率相等，即
121
1
ρρ= 即 ()()
11212 z z
M x M x E I E I = (3) 将(2)式代入(3)式，并利用12z z I I =，得
()()121
2
s s F L x F L x E E --=
即 121
2
s s E F F E =
(4) 联立求解(1)和(4)式，得
1112s E F F E E =
+,22
12
s E F F E E =+ (5)
由于12E E >，所以12s s F F >，故1s F 和2s F 的合力作用线位置不在纵向对称平面内，但仍和形心主轴y 平行，梁仍然产生平面弯曲。

但同时还要产生扭转。

设1s F 和2s F 的合力s F 距y 轴的距离为e ，弯曲中心Ａ位于ｚ轴上， 由
120 44A
s s b b M
F e F e ⎛⎫⎛⎫
=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑
得 ()()
12124E E b e E E -=
+ (6) 当F 力通过弯曲中心A ，并平行于形心主轴y 时，梁只产生平面弯曲。