高中数学知识点精讲精析 换底公式

3.4.2 换底公式
1.对数换底公式：
证明：设 a log N = x , 则 x a
两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ a
N N m m a log log log =2.两个常用的推论:
①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b m
n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b
a a
b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n
a m log lg lg lg lg log ===
常用对数换底公式：
换底公式的一个简单的证明：设，由对数定义可知：，代入右式得：，故左边=右边，得证
换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则． 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56
解：因为2log 3 = a ，则
2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1
312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab lg log (0,1,0)lg a N N a a N a =
>≠>log a N x =N a x =log log log log log log x b b b b b b N a x a x a a a ===
例2计算：①3log 12.05- ② 421
9432log 2log 3log -⋅ 解：①原式 = 153
155555
31log 3log 52.0===
②原式 = 2
345412log 452log 213log 21232=+=+⋅例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==
1︒ 求证 z
y x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3 证明1︒：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k
取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6
lg lg k z = ∴z
k k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4
lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164
lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<
又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169
lg
lg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<
∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 解法一：
由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ⋅=log b a c ⋅=
解法二：
由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知：
b a
c x = b a c x ⋅=∴解法三：
b a a b log = b a a a a
c x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g b a c x ⋅=∴。