微分方程的应用举例

q |t = 0 = 200.
于是，初值问题是
q (t) k[q (t) 10], q |t0 200.
解此初值问题，得特解 q(t) = 10 + 190e-kt .
由于 q(40) = 100， 即 100 = 10 + 190e-40k ，
因此，得
k 1 ln 9 . 40 19
由题意列出初始条件
x
|t0
x0 ,
dx

dt
t 0

0 ,
于是，上述问题化为初值问题：
d2 x dt 2

2n
dx dt


2
x

0,


x
|t
0

x0
,
dx dt
t0
0.
下面分三种情况来讨论
1 大阻尼情形，即 n > .
这时 r1 n n2 2 , r2 n n2 2 ,
是两个不相等的实根. 所以方程的通解为
x C1e(n
C e n2 2 )t
( n 2
. n2 2 )t
2 临界阻尼情形，即 n = .
这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为 x (C1 C2t )ent .
3 小阻尼情形，即 n < .
相反；阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= mv, 其中 m 为
比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )，负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反，根据牛顿第二定律 F = ma，知
ma = - kx – mv,
其中
a
为加速度，a

d2 x dt 2
,
v 为速度， v dx , dt
那么，上式变为
O
x
其中 (X, Y) 是切线上动点,(x, y) 是曲线上任意固定的点.
令 X = 0 ，得切线在 y 轴上的截距为 Y = y - xy，
由题意得
y - xy = 3y，
这是一阶线性齐次方程，其通解为
y

C x2
.
因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得 C = 1. 所以曲线
方程为
y

1 x2
成正比. 试求物体温度 q 与时间 t 的函数关系, 并求物
体温度降到 20C 所需的时间.
解 设物体温度为 q = q (t)，则物体的冷却速率 为 q (t) . 由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程为
q (t) = - k[q (t) -10] (k > 0) ，
另由题意知 q(t) 所满足的初始条件为
C1 C2
.
对于 1， 2 情形，x(t) 都不是振荡函数， 且当 t + 时， x(t) 0， 即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置. 对于 3 的情形，虽 然物体的运动是振荡的， 但它仍随时间 t 的增 大而趋于平衡位置， 总之，这一类振动问题均 会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由 振动.
第五模块 微分方程及应用
第五节 一阶微分方程应用举例
例 1 设曲线过点 (1, 1)，且其上任意点 P 的切
线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程 y
为 y = y(x)，P(x, y) 为其上
P(x, y)
任意点，则过点 P 的切线方
L
程为
Y y y( X x),
O
成正比， 试求振动过程中位移
x 的变化规律.
解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t).
物体在振动过程中，受到两个力的作用：弹性恢
复力 f1 与阻力 f2，由胡克定律知， f1= - kx，其中 k 为 弹性系数大于 0，负号表示弹性恢复力与位移 x 方向
又由题意得初始条件 v |t = 0 = 0，
可见，初值问题
mv mg kv, v(0) 0
阶线性非齐次微分方程，其通解为
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mg kv Ce m . 由 v(0) = 0 得 C = mg. 所以，特解
v

mg
kt
(1 e m
)
k
即为所求的函数关系.
是一个一
例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却， 其介质(冷却剂)温度始终保持为 10C，物体的初始 温度为 200C ，且由 200C 冷却到 100C 需要 40 s. 已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差
从而得物体温度 q 与时间 t 的函数关系为
t ln 9
q (t) 10 190e40 19
t
ln 9 40
10 190e 19
t
10 190 9 40 19
最后，将 q = 20 代入上式， 并解出
t 40ln19 158 s. ln19 ln9
m
d2 x dt 2

m
dx dt

kx.
记 2n m ， 2 k , 这里 n， 为正常数， 则上
m
m
式方程可表示为
d2 x dt 2

2n
dx dt


2
x

0.
称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次
方程， 它的特征方程为 r2 + 2nr + 2 = 0， 其根为
r1,2 n n2 2 .
即物体温度降到 20C 大约需要 2 min38 s .
三、应用举例
例 12 弹簧振动问题
设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m
的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与
弹性恢复力大小相等，方向相反，
设给物体一个初始位移 x0 初速
度 v0，则物体便在其平衡位置附
近上下振动. 已知阻力与其速度
这时，特征根为共轭复数 n 2 n2i ,
所以方程的通解为
x ent (C1 cos 2 n2 t C2 sin 2 n2 t).
上式也可写成
x Aent sin(0t ),
其 中0
2 n2 , A
C12

C
2 2
,

arctan
.
例 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与 他下落的速度成正比 (比例系数为常数 k > 0)， 起跳时的速度为 0. 求下落的速度与时间之间的函 数关系.
解 设下落速度为 v(t)， 则加速度 a = v (t)运 动，物体所受的外力为：
F = mg – kv，
于是，由牛顿第二定律可得 mg - kv = mv ，