§3.1.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其运算

学习目标：

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律意义；

3. 体验数学发现的过程，体会类比、数形结合的思想．

重难点：空间向量的概念，掌握其表示方法；空间向量的加法、减法及它们的运算律。 ◆ 预习案 ※ 复习：（温故而知新）

1.你知道平面向量基本概念吗?请完成以下内容.

平面内,具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）. 叫零向量，记作 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记作 .

叫相等向量.

向量的表示方法有 .

2.你知道平面向量平面向量加减运算吗?会用几何表示平面向量有加减运算吗?

1)向量的加法和减法的运算法则有 和 .

2)平面向量加法交换律：a b b a +=+,平面向量加法结合律：()()a b c a b c ++=++,你能证明它们吗?

※预习（学习即思考）：

阅读书本第84页至第86页的3.1.2课题前,找出疑惑之处?

◆ 探究案

※探究任务一：空间向量的相关概念

1．阅读书本第84页至第85页的第二段； 2．问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？

4. 问题：空间任意两个向量是否都能够平移到同一平面内？为什么？

结论：空间任意两个向量都能够平移到同一个平面（该平面不唯一）内，成为同一平面内的两个向量。

※探究任务二：空间向量的加法和减法运算及运算律 1.阅读书本第85页的第三段至探究； 2.空间向量如何实行加减运算？

如图，分别用平行四边形法则和三角形法则求a b +，a b -

3.空间向量加法有如下运算律吗？你能证明它们吗？证明加法结合律时与平面向量加法结合律有什么不同？你能找到空间图形模型来说明吗？ ⑴加法交换律：a b b a +=+

⑵加法结合律：()()a b c a b c

++=++；

※ 典型例题

例 1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图）， （1）写出向量AB 的相等向量； （2）写出向量AC 的相反向量；

（3）在图中标出'AB AD AA ++, 'AB AA AD ++表示的向量.从中你

能体会加法交换律及结合律吗？一般

地，三个不共面的向量和与这三个向量有什么关系？你能找到空间图形模型来说明吗？ 变式：

a b

()1223341223311____

(2)____(3)_____

(4______

AB BC AB BC AD A A A A A A A A A A A A +=+-=++=++=填空：）

你能对（3）（4）结论实行推广吗？

结论：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2. 化简下列各式：

⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.

变式：化简下列各式：

⑸ OA OC BO CO +++;⑹ AB AD DC --; ⑺ NQ QP MN MP ++-.

小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则实行运算，加法和减法能够转化. ※ 知识拓展

1.平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

2.思考：一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,同时用三个与对应边成60度角且大小为200N 的力去拉三角形钢板，问钢板将如何运动？

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ◆检测案

当堂检测：（时量：5分钟 满分：10分） (做一做,你一定能过关!)

1. 下列说法中准确的是（ ）

A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;

B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;

C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.

2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=

3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式准确的是（ ）

A. 00a b =

B. 00a b =或00a b =-

C. 01a =

D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法准确的是（ ） A. 零向量没有方向

B. 空间向量不能够平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 ◆教与学的反思：

课后作业

1．在空间四边形OABC 中， OA AB CB +-等于( )

A ．OA

B ．AB

C ． OC

D ．AC

2．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式中运算结果为向量1AC 的共有 （ ）